孫小鈞，姜明，趙春明，吳曉富,2

(1.東南大學(xué) 移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096; 2解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007 )

1 引言

近年來(lái)，無(wú)線(xiàn)中繼技術(shù)領(lǐng)域成為人們研究的熱點(diǎn)。在協(xié)同中繼系統(tǒng)中，一個(gè)傳輸時(shí)隙被分為2個(gè)階段。在第一個(gè)傳輸階段，即廣播階段，源節(jié)點(diǎn)首先廣播信號(hào)。在第二個(gè)傳輸階段，即中繼階段，中繼節(jié)點(diǎn)對(duì)接收信號(hào)或者進(jìn)行放大轉(zhuǎn)發(fā)(AF)，或者進(jìn)行譯碼轉(zhuǎn)發(fā)(DF)給終端[1]。雖然DF方式的復(fù)雜度較 AF方式高，但在低信噪比時(shí)性能較優(yōu)異[1]?；诘兔芏刃ｒ?yàn)碼(LDPC)的DF中繼通信系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛研究，碼率兼容LDPC碼可以通過(guò)鑿孔或者擴(kuò)展來(lái)得到[2～7]。由于碼字的不同部分的信噪比不同，修正的密度進(jìn)化(density evolution)算法在文獻(xiàn)[4,6,7]中被提出。本文考慮了半雙工中繼通信系統(tǒng)并且在中繼階段，中繼節(jié)點(diǎn)和源節(jié)點(diǎn)都發(fā)送相同的信息[3,6,7]。

非規(guī)則重復(fù)累積(IRA)碼是 LDPC碼和 Turbo碼共有的一個(gè)特殊子類(lèi)，IRA碼能夠用Tanner圖表示，通過(guò)節(jié)點(diǎn)度的分布來(lái)確定碼結(jié)構(gòu)，可以應(yīng)用和積譯碼算法迭代譯碼。LDPC碼的各種譯碼算法已被廣泛研究[8～12]。與LDPC碼相比，IRA碼的譯碼性能同樣逼近香農(nóng)限，并且具有線(xiàn)性時(shí)間的編碼復(fù)雜度，便于硬件實(shí)現(xiàn)；與Turbo碼相比，優(yōu)化的IRA碼的誤碼平層比較低[13～16]。逼近香農(nóng)限的碼率兼容IRA碼可以通過(guò)鑿孔來(lái)獲得從低碼率到高碼率一系列碼字[14]，也能通過(guò)校驗(yàn)分裂(check-splitting)構(gòu)造從高碼率到低碼率一系列碼字[15]。與上述DF中繼系統(tǒng)采用的碼率兼容LDPC碼不同，本文將校驗(yàn)分裂技術(shù)引入了DF中繼系統(tǒng)，并對(duì)得到的碼率兼容IRA碼 C=[C1,Ce]和子碼C1進(jìn)行優(yōu)化。

在譯碼轉(zhuǎn)發(fā)半雙工中繼系統(tǒng)中，IRA碼的設(shè)計(jì)本質(zhì)上是設(shè)計(jì)一個(gè)碼率兼容IRA碼，并且碼字的不同部分經(jīng)歷不同的信噪比，這與傳統(tǒng)的碼率兼容IRA碼不同。對(duì)于譯碼轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，中繼節(jié)點(diǎn)首先對(duì)接收的比特C1進(jìn)行譯碼，如果成功譯碼，中繼節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生新的校驗(yàn)比特Ce傳給終端節(jié)點(diǎn)；終端節(jié)點(diǎn)將新的校驗(yàn)比特與在廣播階段接收的比特形成一個(gè)低碼率碼字C。這個(gè)低碼率碼字C通過(guò)對(duì)高碼率碼字C1進(jìn)行校驗(yàn)分裂來(lái)得到?？紤]到信噪比在一個(gè)通過(guò)校驗(yàn)分裂得到的碼字內(nèi)是不同的，本文給出了修正的高斯近似的密度進(jìn)化算法，如EXIT圖[16]，來(lái)分析校驗(yàn)分裂IRA碼的門(mén)限。本文利用差分進(jìn)化(differential evolution)算法來(lái)同時(shí)優(yōu)化這2個(gè)碼字C和C1。與傳統(tǒng)的密度進(jìn)化算法設(shè)計(jì)的碼率兼容IRA碼相比，基于校驗(yàn)分裂的修正的密度進(jìn)化算法優(yōu)化得到的碼字有0.5dB的增益。

2 半雙工DF中繼系統(tǒng)模型

本節(jié)主要簡(jiǎn)單介紹時(shí)分半雙工DF中繼通信系統(tǒng)模型及其信道容量[3]。如圖1所示，3節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn)S，中繼節(jié)點(diǎn)R與終端節(jié)點(diǎn)D)時(shí)分半雙工中繼通信系統(tǒng)需要2個(gè)時(shí)隙t和t′=1-t來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文假設(shè)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都只有一個(gè)天線(xiàn)。

圖1 中繼系統(tǒng)模型

在廣播階段，源節(jié)點(diǎn)向中繼節(jié)點(diǎn)與終端節(jié)點(diǎn)廣播信號(hào)x1；在中繼階段，終端節(jié)點(diǎn)同時(shí)接收來(lái)自源節(jié)點(diǎn)與中繼節(jié)點(diǎn)的信息，表示為x2，假設(shè)終端節(jié)點(diǎn)沒(méi)有同步誤差的問(wèn)題。{S,D}的距離設(shè)為1，{S,R}的距離表示為d，{R,D}的距離表示為1-d；相應(yīng)的路徑損耗分別是，α表示信道衰減指數(shù)，文中設(shè)定α=2。D和R在廣播階段接收的信號(hào)分別為

D在中繼階段接收的信號(hào)為

其中，P表示S在廣播階段的發(fā)射功率；為了保證廣播階段和中繼階段的發(fā)射功率相同，本文采用了簡(jiǎn)單的平均功率分配方案，即S和R在中繼階段的發(fā)射功率是S在廣播階段的發(fā)射功率的一半；nr和nd是加性高斯白噪聲，均值為零，方差N0，即 N(0,σ2)。

文獻(xiàn)[3]給出的DF中繼系統(tǒng)的信道容量表達(dá)式為

其中， I(x ; y)表示為x與y的互信息。當(dāng)RDF確定時(shí)，信道容量界(CB,capacity bound)是指滿(mǎn)足式(3)所需的最低信噪比。

3 DF中繼系統(tǒng)基于校驗(yàn)分裂的遞增冗余IRA碼設(shè)計(jì)

本節(jié)首先簡(jiǎn)要介紹IRA碼[13,14]及其高斯近似的密度進(jìn)化算法[16]。為了得到碼率兼容遞增冗余IRA碼，校驗(yàn)分裂技術(shù)[15,17]被引入。由于碼字的不同部分經(jīng)歷的信噪比不同，適用于DF中繼系統(tǒng)的基于校驗(yàn)分裂的高斯近似的密度進(jìn)化算法在本節(jié)中被提出并用來(lái)分析IRA碼的門(mén)限。最后，差分進(jìn)化算法被用來(lái)同時(shí)尋找性能優(yōu)良的IRA碼C和子碼C1。

3.1 IRA碼簡(jiǎn)介

如圖 2所示，參數(shù)是（f3,…, fJ;a） 的 IRA碼Tanner圖，有k個(gè)信息節(jié)點(diǎn)，m個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和m個(gè)奇偶節(jié)點(diǎn)。 fi＞ 0表示與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的有i條邊的信息節(jié)點(diǎn)占總信息節(jié)點(diǎn)的百分比，且滿(mǎn)足為了實(shí)現(xiàn)任意低的碼字錯(cuò)誤概率，信息節(jié)點(diǎn)的度i必需滿(mǎn)足i＞2[14]。a,b是與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的信息節(jié)點(diǎn)數(shù)，除了第一個(gè)奇偶節(jié)點(diǎn)的度是 1外，其余每個(gè)奇偶節(jié)點(diǎn)的度是2。本文只討論系統(tǒng)IRA碼，奇偶節(jié)點(diǎn)位于校驗(yàn)矩陣的右半部分，排列成雙對(duì)角形式。

圖2 IRA碼的Tanner圖及Check-Splitting的Tanner圖

函數(shù)J(μ)由文獻(xiàn)[16]給出。在差分優(yōu)化算法中，式(4)被用于分析子碼的門(mén)限xa。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大值lmax后，結(jié)束進(jìn)化并記錄 xa=xlmax。

3.2 校驗(yàn)分裂簡(jiǎn)介

文獻(xiàn)[15,17]提出了對(duì)已有碼字的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分裂來(lái)得到新的碼率兼容碼字，即校驗(yàn)分裂，如圖2所示?；旧?，一個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)連接a個(gè)信息節(jié)點(diǎn)，2個(gè)奇偶節(jié)點(diǎn)。所謂校驗(yàn)分裂，即一個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)分裂成 2個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)(每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)連接b=a/2個(gè)信息節(jié)點(diǎn))，分別與1個(gè)新的奇偶節(jié)點(diǎn)相連。高碼率子碼C1碼經(jīng)過(guò)校驗(yàn)分裂后，產(chǎn)生m個(gè)新的奇偶節(jié)點(diǎn)，從而得到了低碼率的母碼C，碼率是并且信息節(jié)點(diǎn)的分布函數(shù)λ(x)保持不變，新的校驗(yàn)矩陣仍然保持雙對(duì)角特性。由于 IRA碼的上述特性，大大簡(jiǎn)化了聯(lián)合優(yōu)化子碼C1和母碼C的計(jì)算量。

3.3 基于校驗(yàn)分裂的DF中繼IRA碼的密度進(jìn)化算法

在基于校驗(yàn)分裂的半雙工DF中繼系統(tǒng)中，碼率兼容遞增冗余IRA碼 C=[C1,Ce]由2部分構(gòu)成，高碼率的子碼C1和校驗(yàn)分量Ce。子碼C1在廣播階段被S發(fā)射出去，假設(shè)R譯碼成功，則在中繼階段，S和R發(fā)射校驗(yàn)分量Ce。R接收的子碼C1經(jīng)歷的信噪比是。而D接收碼字的不同部分經(jīng)歷的信噪比是不同的，即子碼C1經(jīng)歷的信噪比是，而校驗(yàn)分量Ce經(jīng)歷的信噪比是。而傳統(tǒng)的碼率兼容 IRA碼的不同部分經(jīng)歷的信噪比是一樣的。DF中繼系統(tǒng)碼率兼容IRA碼的設(shè)計(jì)實(shí)際上是聯(lián)合設(shè)計(jì)子碼C1和C，使得子碼C1接近{S,R}信道容量，而C逼近DF中繼系統(tǒng)的信道容量。

由于子碼C1和校驗(yàn)分量Ce經(jīng)歷的信噪比不同，而式(4)描述的密度進(jìn)化算法假設(shè)碼字經(jīng)歷的信噪比是相同的，所以本小節(jié)推導(dǎo)了適用于DF中繼的校驗(yàn)分裂的IRA碼密度進(jìn)化算法。由文獻(xiàn)[16]的譯碼信息更新機(jī)制，令ui表示信息節(jié)點(diǎn)的初始信息對(duì)數(shù)似然比，ur,p和us,p表示新的和舊的奇偶節(jié)點(diǎn)的初始信息對(duì)數(shù)似然比。第l次迭代時(shí)，令表示從校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)輸出到新的和舊的奇偶節(jié)點(diǎn)的外信息，表示從校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)輸出到與之相連的第k個(gè)信息節(jié)點(diǎn)的外信息；類(lèi)似地，表示新的，舊的奇偶節(jié)點(diǎn)和第k個(gè)信息節(jié)點(diǎn)輸出到校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的外信息。譯碼過(guò)程中，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息更新機(jī)制為

設(shè)C1經(jīng)歷的AWGN信道分布服從，Ce經(jīng)歷的 AWGN信道分布服從。令μ=2/σ2，μ=2/σ2。令 P表示第l次迭代時(shí)，信息節(jié)點(diǎn)傳輸給校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的外信息概率分布密度；Ql表示第l次迭代時(shí)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳輸給信息節(jié)點(diǎn)的外信息概率分布密度；表示第l次迭代時(shí)，舊（新）奇偶節(jié)點(diǎn)傳輸給校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的外信息概率分布密度；)表示第l次迭代時(shí)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳輸給舊（新）奇偶節(jié)點(diǎn)的外信息概率分布密度； Γ(Γ-1)表示概率密度函數(shù)映射(逆映射)。假設(shè)Tanner圖無(wú)圈，由式(5)及概率密度卷積性質(zhì)，可得密度進(jìn)化迭代關(guān)系式：其中，F(xiàn)o表示子碼C1經(jīng)歷的信道初始消息分布的概率密度，F(xiàn)n表示校驗(yàn)分量Ce經(jīng)歷的信道初始消息分布的概率密度，?表示卷積，?m表示m重卷積，基于EXIT圖的高斯近似密度進(jìn)化算法滿(mǎn)足如下遞推公式：

在差分優(yōu)化算法中，式(7)被用于分析子碼的門(mén)限xb。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大值lmax后，結(jié)束進(jìn)化并記錄 xb=xlmax。高斯近似算法計(jì)算速度快，精度損失在可以接受的范圍內(nèi)，因而被廣泛運(yùn)用。

3.4 DF中繼IRA碼的優(yōu)化

差分進(jìn)化算法作為一種簡(jiǎn)單有效的優(yōu)化算法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用來(lái)搜索碼的最優(yōu)分布[6,18]。本小節(jié)用差分進(jìn)化算法來(lái)同時(shí)優(yōu)化C和高碼率的子碼C1。在優(yōu)化IRA碼的分布{λi, a}之前，首先要去掉參數(shù)之間的相關(guān)性[18]。由于λ3、λdv可以由其他參數(shù)確定，則優(yōu)化參數(shù)表示成一個(gè)L維向量 q=(λ4,…,λdv-1,a)。差分進(jìn)化算法的流程如圖3所示，具體的優(yōu)化步驟如下。

圖3 差分優(yōu)化算法的流程圖

1) 初始化：令G表示差分進(jìn)化的次數(shù)。對(duì)于初始進(jìn)化G=0，隨機(jī)產(chǎn)生NP=10L個(gè)進(jìn)化向量qg,G(g=1,…,NP)。對(duì)于每個(gè)向量qg,G計(jì)算式(4)和式(7)，直到達(dá)到預(yù)設(shè)最大迭代次數(shù)（如1 000次），記錄 xg,G=min(xa,xb)，從中選出最大值xbest,G對(duì)應(yīng)的向量，記為qbest,G。

2) 交叉：在qg,G的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的進(jìn)化向量qg,G+1。隨機(jī)選擇4個(gè)不同的向量qr1,G，qr2,G，qr3,G和qr4,G，F(xiàn)是控制交叉變異的實(shí)常數(shù)，一般賦值F=0.5，則新的向量按照式(8)計(jì)算

對(duì)于 qg,G+1，迭代計(jì)算式(4)和式(7)，然后記錄xg,G+1=min(xa,xb)。

則 qg,G+1=qg,G，xg,G+1=xg,G。從xg,G+1中選出最大值 xbest,G+1對(duì)應(yīng)的向量，記為 qbest,G+1。

4) 停止判斷：如果 xbest,G+1小于預(yù)定值并且差分進(jìn)化次數(shù)沒(méi)有達(dá)到最大次數(shù)(條件1)，則返回步驟2；如果xg,G+1大于預(yù)定值或差分進(jìn)化次數(shù)達(dá)到最大次數(shù)(條件2)，則在調(diào)整后，返回步驟1。當(dāng)xg,G+1大于預(yù)定值時(shí)，其對(duì)應(yīng)的分布 qbest,G+1被稱(chēng)為最佳分布如果調(diào)整前后的差值比較小(如10-4，條件3)，則停止進(jìn)化，輸出最佳分布。

4 仿真結(jié)果

為了與基于傳統(tǒng)密度進(jìn)化算法得到碼字相比較，傳統(tǒng)遞增冗余IRA碼的分布是[14]稱(chēng)之為高斯IRA碼。

分布(λDF,a=6)和(λGS,a=8)對(duì)應(yīng)高碼率的子碼C1，而分布(λDF,b=3)和(λGS,b=4)對(duì)應(yīng)低碼率的IRA碼C。為了得到遞增冗余的2個(gè)校驗(yàn)矩陣，首先用 PEG算法構(gòu)造出高碼率子碼C1的校驗(yàn)矩陣H1=[Ξ Π]（Ξ 代表信息節(jié)點(diǎn)子矩陣，Π 代表奇偶節(jié)點(diǎn)子矩陣并且是雙對(duì)角結(jié)構(gòu)），然后將Ξ子矩陣的每行分裂成2行，即將Ξ每行a個(gè)信息節(jié)點(diǎn)的一半(b個(gè))信息節(jié)點(diǎn)組成新矩陣 H的信息節(jié)點(diǎn)子矩陣的一行。這樣得到的低碼率母碼C的校驗(yàn)矩陣H未必是最佳矩陣，但仿真表明其譯碼性能仍然比較優(yōu)秀。下一步將研究如何構(gòu)造好的分裂校驗(yàn)矩陣H。

具有強(qiáng)大糾錯(cuò)能力的Turbo碼也被DF中繼系統(tǒng)廣泛應(yīng)用[19]，本節(jié)也比較了分布式 Turbo碼和DF-IRA碼的性能。仿真的分布式Turbo碼的分量碼是生成矩陣為(1 3,15 )8的遞歸系統(tǒng)卷積碼，廣播階段使用了0.5碼率的Turbo碼，如果中繼節(jié)點(diǎn)譯碼成功，D在中繼階段接收新的校驗(yàn)比特，最后分布式Turbo碼的碼率是1/3。

為了合理比較采用不同碼字的DF中繼系統(tǒng)的性能，首先分析了DF-IRA碼，高斯IRA碼和分布式Turbo碼的譯碼復(fù)雜度。IRA碼的最大譯碼迭代次數(shù)為100，Turbo碼的迭代次數(shù)為14。對(duì)于1/3碼率的 DF-IRA碼，每個(gè)信息比特每次譯碼需要(2 b+3)×2+2+ 4次加法，需要(b+2)×4次查表，即總共需要54次運(yùn)算，而1/3碼率的高斯IRA碼總共需要66次運(yùn)算[14]?？梢钥闯鯠F-IRA碼的運(yùn)算量大約是高斯IRA碼的82%。對(duì)于Turbo碼，每個(gè)信息比特每次Log-MAP譯碼大約需要205次運(yùn)算。即DF-IRA碼的最大運(yùn)算量與Turbo碼的最大運(yùn)算量基本相同，但在并行譯碼方面，IRA碼有明顯優(yōu)勢(shì)，而停止準(zhǔn)則進(jìn)一步降低了譯碼復(fù)雜度。

圖4比較了DF-IRA碼，高斯IRA碼和分布式Turbo碼的誤幀率。仿真時(shí)，信息長(zhǎng)8 192bit。本文假設(shè)高斯IRA碼在R節(jié)點(diǎn)總能成功譯碼，而DF-IRA碼和分布式Turbo碼在R節(jié)點(diǎn)譯碼失敗時(shí)，R節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)發(fā)信息位。從圖4中可以看出，針對(duì)DF中繼系統(tǒng)優(yōu)化得到的 DF-IRA碼的性能優(yōu)于傳統(tǒng)的 IRA碼，當(dāng)誤幀率是 2×10-3時(shí)，與高斯 IRA碼相比，DF-IRA碼大約有 0.5dB的增益。當(dāng)誤幀率是 10-1時(shí)，與 DF-IRA碼相比，分布式 Turbo碼大約有0.15dB的增益；但當(dāng)誤幀率是 10-3時(shí)，分布式Turbo碼已經(jīng)出現(xiàn)了誤碼平層，而DF-IRA碼沒(méi)有出現(xiàn)誤碼平層。當(dāng)誤幀率是 2×10-3時(shí)，本文得到的IRA碼與DF中繼信道容量對(duì)應(yīng)的CB界 CB=-5 dB 相比，大約有1.1dB的差距。進(jìn)一步的工作將是尋找能夠更好的逼近CB界的DF-IR A碼的分布。

圖4 DF-IRA碼、高斯IRA碼和分布式Turbo碼的誤幀率

5 結(jié)束語(yǔ)

DF中繼系統(tǒng) IRA碼的設(shè)計(jì)實(shí)際是尋找一個(gè)遞增冗余碼字，使其在中繼系統(tǒng)中性能優(yōu)良的同時(shí)子碼在{S,R}信道中性能仍然優(yōu)良。遞增冗余 IRA碼可以通過(guò)對(duì)子碼使用校驗(yàn)分裂技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。針對(duì)譯碼轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)的特點(diǎn)，即非規(guī)則重復(fù)累積碼(IRA)的不同部分經(jīng)歷不同的信噪比，本文給出了基于校驗(yàn)分裂的修正的高斯近似的密度進(jìn)化算法，并且用差分進(jìn)化算法來(lái)同時(shí)搜索母碼和子碼好的分布。當(dāng)誤幀率是 10-3時(shí)，與傳統(tǒng)的密度進(jìn)化算法得到的IRA碼相比，本文優(yōu)化得到的碼字大約有0.5dB的增益。

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