劉 彬，王紅蕾

(貴州大學 電氣工程學院，貴州 貴陽 550003)

近年來，混沌理論這門新興學科在科學研究中的地位日漸凸顯?；煦缱鳛橐粋€新的研究方向，已滲透到自然科學和社會科學的各個領(lǐng)域。對于混沌，目前尚無通用的嚴格定義，一般把不是由隨機性外因引起的，而是由確定性方程 (內(nèi)因)直接得到的具有隨機性的運動狀態(tài)稱為混沌。也就是說：混沌是確定性系統(tǒng)表現(xiàn)出來的貌似隨機的運動，是對初始條件十分敏感的長期有界的動態(tài)行為?；煦绮皇菬o序，而是包含著嚴格的內(nèi)在規(guī)律?；煦缪芯勘砻鳎杭词故亲詈唵蔚姆蔷€性系統(tǒng)仍然可以表現(xiàn)出非常復雜的動力學行為。在電力系統(tǒng)領(lǐng)域，已有大量混沌性質(zhì)方面的研究。例如：電力經(jīng)濟中的混沌，機電系統(tǒng)混沌振蕩，分叉、混沌與電壓驟降，水輪發(fā)電機組調(diào)速系統(tǒng)中控制器參數(shù)誘發(fā)的混沌，靜態(tài)負荷模型辨識，電站經(jīng)濟運行最優(yōu)負荷分配，模糊電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的參數(shù)優(yōu)化，短期負荷預測，以及電氣設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測中信號的檢測方面等。通過研究混沌，人們對事物有了更加深入的了解。目前，電力系統(tǒng)對混沌現(xiàn)象分析主要采用的方法有：龐加萊映射、Lyapunov(李雅普諾夫)指數(shù)計算、Melnikov(梅爾尼科夫)方法和頻譜分析等。本文運用李雅普諾夫指數(shù)法對貴州電網(wǎng)短期負荷時間序列展開研究[1]。

1 李雅普諾夫指數(shù)

混沌運動的基本特點是運動對初值條件極為敏感。兩個很靠近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨時間推移按指數(shù)方式分離，Lyapunov指數(shù)就是定量描述這一現(xiàn)象的量。

1.1 概念及性質(zhì)

本文研究的貴州電網(wǎng)短期負荷時間序列屬于一維動力系統(tǒng)。

對于一維映射：

由于一維映射下只有一個拉伸或折疊的方向，因此可以考慮初值 x0和它的近鄰值 x0+δx0。由映射式(1)作一次迭代后，這兩點之間的距離為：

n次迭代后，這兩點之間的距離則變?yōu)椋?/p>

式(3)說明這兩點要以指數(shù)分離，這就是敏感的初始條件，如圖 1所示。式(3)中 λ稱為 Lyapunov指數(shù)，它表示系統(tǒng)在多次迭代中平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)。

圖1 李雅普諾夫指數(shù)的定義

由式(3)可得

所以λ代表相鄰點之間距離的平均輻射率。利用復合函數(shù)的微分規(guī)則，有

其中：x1=f(x0)，x2=f(x1)=f(2)(x0)…

則 式(4)變?yōu)槭?5)或式(6)：

一維映射只有一個李雅普諾夫指數(shù)，它可能大于、等于或小于零。由上面的討論得知，若λ＜0，則意味著相鄰點最終要靠攏合并成一點，這對應于穩(wěn)定的不動點和周期運動；若 λ=0，則各點對應周期倍分岔點；若 λ＞0，則意味著相鄰點最終要分離，根據(jù)敏感的初始條件，其對應于混沌運動?？梢姡擞韶撟?yōu)檎砻髁诉\動向混沌的轉(zhuǎn)變，故λ＞0可作為系統(tǒng)混沌行為的一個判據(jù)[2]。

1.2 小數(shù)據(jù)量方法

計算李雅普諾夫指數(shù)的方法有：定義法、wolf方法、Jacobian方法、p-范數(shù)方法、小數(shù)據(jù)量方法等。綜合各種方法的難易度以及計算李雅普諾夫指數(shù)的準確度，決定采用小數(shù)據(jù)量方法計算最大李雅普諾夫指數(shù)[3]。該方法的優(yōu)點在于：(1)對小數(shù)據(jù)組可靠；(2)計算量并不大；(3)相對容易操作；(4)計算精度較其他方法有明顯的改善。小數(shù)據(jù)量方法的整個計算過程如圖2所示。

圖2 小數(shù)據(jù)量方法流程圖

2 最大李雅普諾夫指數(shù)計算

目前，人們計算最大Lyapunov指數(shù)常用wolf的軌線算法，但是軌線法具有明顯的缺陷。首先，用此法計算所得結(jié)果經(jīng)常不準確。原因在于按軌線算法尋找不到滿足條件的新的鄰域軌道時，研究者必須使用較差的軌道，不難想到，較差的軌道使得后來計算出現(xiàn)誤差。其次，軌線算法受嵌入?yún)?shù)的影響明顯，這是因為嵌入?yún)?shù)影響了重構(gòu)相空間的形狀。但此方法不可避免地要對嵌入?yún)?shù)作出猜測。除此，有人也用矩陣算法來計算最大Lyapunov指數(shù)，而矩陣算法的一個明顯缺陷是計算過程過于繁難，不易實施。因此，本文采用另一種新方法——小數(shù)據(jù)量法來計算最大Lyapunov指數(shù)值。在混沌研究和實際應用中，有時并不需要計算出時間序列的所有Lyapunov指數(shù)譜，而只要計算出最大Lyapunov指數(shù)就足夠了。故判斷一個時間序列是否為混沌系統(tǒng)，只要看最大Lyapunov指數(shù)是否大于零就能得出結(jié)論。

2.1 用快速傅里葉變換(FFT)估計時間延遲τ和平均周期P

本文收集貴州電網(wǎng)短期負荷時間序列為：貴州電網(wǎng)2009年7月1日到8月31日的負荷值。每隔一個小時取一個負荷值，共1 488個值。

對貴州電網(wǎng)負荷時間序列進行描點，畫出貴州電網(wǎng)短期負荷時間序列圖，如圖3所示。從圖中可以看出，貴州電網(wǎng)短期負荷時間序列波形變化具有一定的相似性。

不直接考慮氣候等隨機因素，利用貴州電網(wǎng)短期負荷時間序列進行FFT變換，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)法：對負荷時間序列，先寫出其自相關(guān)函數(shù)，然后作出自相關(guān)函數(shù)關(guān)于時間τ的函數(shù)圖像，如圖4所示。由數(shù)值試驗結(jié)果，當自相關(guān)函數(shù)(縱坐標)下降到初始值的 1－1/e(大約為0.63)時，所得的時間 τ(橫坐標)就是重構(gòu)相空間的時間延遲 τ(τ取正整數(shù))。

由圖4中看出，當自相關(guān)函數(shù)下降至大約0.63時，所對應的時間大約為3.6，所以得出短期負荷時間序列的時延為4 h。平均周期通過能量光譜的平均頻率的倒數(shù)估計出來，由MATLAB編程計算得出P為24。

2.2 計算嵌入維數(shù)m

由Grassberger和Procaccia提出的G-P算法計算關(guān)聯(lián)維數(shù)d。通過關(guān)聯(lián)維數(shù)d與嵌入維數(shù)m的關(guān)系：m≥2d+1確定m的值[4]。

圖4 自相關(guān)函數(shù)法求時延

圖5 不同m時的lnC-lnr曲線

圖6 d隨m的變化曲線

此算法依據(jù)的方法是：寫出時間序列的關(guān)聯(lián)函數(shù)C(r)，r為一個給定的值。對于 r的某個適當范圍，滿足d(m)=ln C(r)/ln r。通過增加嵌入維數(shù)m，重復計算C與d，直到相應的維數(shù)估計值d不再隨m的增長而增長，在一定誤差范圍內(nèi)不變?yōu)橹?。從而由擬合求出對應于m的關(guān)聯(lián)維數(shù)估計值d。由MATLAB編程調(diào)試繪出不同m下d的ln C-ln r曲線(為方便編程，ln C等同于ln C(r))，如圖5所示，其直線部分的斜率就是關(guān)聯(lián)維數(shù)d。得出 d=1.808 9，2.185 7，2.404 7，2.303 9，2.301 4，2.331 9，2.341 0，2.348 5，2.355 5，2.356 6，2.359 9，2.374 3，2.386 1，2.398 8，2.406 3，2.416 2，2.418 9，2.434 0，2.443 7。

對應d隨m變化的曲線圖如圖6所示。m從2開始，根據(jù)圖 6得出：當 m為 10、11、12時，關(guān)聯(lián)維數(shù) d趨于平穩(wěn)，故m取 11。

2.3 重構(gòu)相空間

相空間重構(gòu)是從時間序列出發(fā)創(chuàng)建一個多維狀態(tài)空間，它保持了原系統(tǒng)的許多幾何不變量不變，這些幾何不變量包括不動點的特征值、吸引子的分維數(shù)和軌線的 Lyapunov指數(shù)等[5]。

根據(jù)時間延遲τ和平均周期P重構(gòu)相空間Yj，并且找最近點，限制短暫分離。對相空間中每個點Yj，計算出該鄰點對經(jīng)過i個離散時間步長后的距離dj(i)；之后對每個i，求出所有j的ln dj(i)平均值y(i)，測量平均分離，即：

其中，q是非零 dj(i)的數(shù)目，△t為采樣周期。

最后用最小二乘法作出擬合直線，該直線的斜率就是最大 Lyapunov指數(shù) λ1，如圖7所示。

根據(jù)MATLAB編程調(diào)試，作擬合直線計算得出λ1為0.003 1。

由最大 Lyapunov指數(shù) λ1＞0，得出貴州電網(wǎng)短期負荷時間序列具有混沌性。這也為今后利用混沌理論更加深入地對貴州電力系統(tǒng)作出進一步的研究打下了基礎(chǔ)。針對電網(wǎng)短期負荷的研究，現(xiàn)在應用最多的就是短期負荷預測。短期負荷預測是電力系統(tǒng)的一項基本工作，是安排開停機機組計劃的基礎(chǔ)，其預測精度直接影響電力系統(tǒng)的經(jīng)濟效益[6]?；煦缋碚撛诙唐陔娏ω摵深A測中的應用也逐漸增多?；煦缋碚搶ω摵尚蛄心苓M行相空間重構(gòu)、分形維數(shù)計算、最大李雅譜諾夫理論指數(shù)計算以及不確定性檢驗，對影響負荷變化因素的復雜性和隨機性有更強的適應性，這可以彌補其他方法在收斂性和魯棒性等方面的局限性。

圖7 最大Lyapunov指數(shù)λ1

[1]黃潤生，黃浩.混沌及其應用(第二版)[M].武漢:武漢大學出版社，2005:118-178.

[2]呂金虎，陸君安，陳士華.混沌時間序列分析及其應用[M].武漢:武漢大學出版社，2002:72-109.

[3]ROSENSTEIN M T， COLLINS J J， DE LUCA C J.A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets[J].Physica D，1993(65):117-134.

[4]GRASSBERGER P，PROCACCIA I.Measuring the strangeness of strange attractors[J].Physica D，1983(9):189-208.

[5]王海燕，盧山.非線性時間序列分析及其應用[M].北京:科學出版社，2006:12-43.

[6]劉晨輝.電力系統(tǒng)負荷預測理論與方法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社，1987:77-112.