劉傳美

(北方工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院自動化系，北京 100144)

電容層析成像(ECT)技術(shù)是基于電容敏感原理的過程層析成像技術(shù)，運用傳感器陣列形成旋轉(zhuǎn)的空間敏感場，從不同的觀測角度獲得被測物場的介電常數(shù)分布信息，利用圖像重建算法，顯示被測物場的二維或三維介質(zhì)分布圖像。

典型的ECT系統(tǒng)結(jié)構(gòu)主要由3部分構(gòu)成：電容陣列傳感器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和成像計算機。其基本原理是：位于管道內(nèi)具有不同介電常數(shù)的兩相流在流動時，各相含量和分布不斷變化，引起電容傳感器不同極板間的電容值改變。通過均勻安裝在絕緣管道外壁的電容傳感器檢測出各電極間的電容值，送至數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)將這些電容值轉(zhuǎn)化為數(shù)字量并傳送給成像計算機，根據(jù)某種圖像重建算法重建出流體在截面的分布圖像。

1 ECT系統(tǒng)圖像重建算法

ECT系統(tǒng)圖像重建是一個逆問題，即通過有限個電容測量值將成像區(qū)域內(nèi)的介電常數(shù)空間分布圖重建出來。由于電容層析成像系統(tǒng)本身固有的“軟場”特性，且能得到的獨立電容測量值數(shù)量非常有限，逆問題不存在解析解，圖像重建的難度較大。

針對目前圖像重建算法在成像質(zhì)量和成像速率上存在的問題，本文提出一種基于QR分解的電容層析成像算法。該方法首先將ECT物理模型進行規(guī)范化和Tikhonov正則化處理后，進而將QR分解的思想引入ECT方程的求解中實現(xiàn)圖像重建。

1.1 ECT系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

ECT技術(shù)圖像重建可描述為兩大內(nèi)容：一是正問題的建模，二是逆問題的求解。ECT系統(tǒng)的正問題模型為[1-2]：

式中，i、j分別表示源電極和測量電極的編號，D表示管道橫截面積，ε(x，y)表示管道內(nèi)電介質(zhì)的分布函數(shù)，Si，j[x，y，ε(x，y)]為極板電容 Ci，j的分布函數(shù)，即 Ci，j對點(x，y)處的電介質(zhì)的敏感程度。

對式(1)進行離散化和線性化處理，可得到矩陣表示的 ECT系統(tǒng)的正問題模型[1，3-4]：

C為歸一化的電容值；G為歸一化的介電常數(shù)分布，即像素的灰度值；S為歸一化的靈敏度矩陣。需要指出的是，式(2)是經(jīng)過降質(zhì)處理的簡化模型，用它求解逆問題進行圖像重建時必然會帶來誤差，需要對圖像進行修正。

1.2 正則化求解系統(tǒng)逆問題

病態(tài)逆問題往往是由于缺乏足夠的信息而導(dǎo)致的。正則化方法的原理是找到一個由先驗信息約束的解集，然后再從中選擇1個解。一個ECT系統(tǒng)經(jīng)過降質(zhì)處理的正問題的線性化模型如式(2)，是一個病態(tài)逆問題求解，而Tikhonov正則化方法是一種應(yīng)用最普遍的解決病態(tài)逆問題的方法。

ECT系統(tǒng)的逆問題就是通過獲得的電容測量值去重建介質(zhì)在檢測區(qū)域內(nèi)的介電常數(shù)分布圖。由于像素個數(shù)(文中區(qū)域劃分為 1 780個)多于觀測數(shù)據(jù)(文中是28個電容測量值)，對于式(2)而言是未知數(shù)大于方程個數(shù)，是個欠定方程，具有無窮多個解，但有最小二乘最小范數(shù)解，因此逆問題模型可以表述如下[5]：

式中，S+為觀測矩陣 S的廣義逆；G+為 G的最小二乘解，即重建的圖像灰度值的估計值。用廣義逆求解逆問題具有不適定解，測量數(shù)據(jù)的微小波動將引起解的較大變化，導(dǎo)致解不穩(wěn)定。消除這種解不穩(wěn)定的有效方法之一是采用正則化法。Tikhonov在研究第一類Fred Holm方程時提出了一種正則化算法，這種算法對于每一個正則化參數(shù)使下面的泛函達最小[6-7]：

式中，μ為正則化參數(shù)，D為降質(zhì)算子，f為被測信號，g為觀測信號。

對應(yīng)于ECT系統(tǒng)，式(4)使泛函變?yōu)椋?/p>

達最小，即令：

則對于 μ＞0，有正則化解：

SR=(STS+μI)-1ST為Tikhonov正則化廣義逆，是一個(1 780×28)維矩陣；I為單位矩陣。正則化參數(shù)μ控制著正則化先驗知識與測量數(shù)據(jù)的權(quán)重，其取值非常關(guān)鍵，理論上確定μ的大小很困難，通常要根據(jù)試驗設(shè)定。

1.3 基于QR分解的圖像重建算法

正則化雖然能使方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)大大降低，但這只是在一定程度上改善了系數(shù)矩陣的病態(tài)性，方程解的熟練依舊需要較高的迭代次數(shù)，因此不能滿足過程成像的實時性要求。為此，在此基礎(chǔ)上提出了基于QR分解[8]的圖像重建算法。

當(dāng)矩陣條件數(shù)較大時，求逆矩陣計算精度不高。為避免對(STS+μI)直接求其逆矩陣可采用先對其求QR分解然后再進行求解。

基于QR分解的圖像重建算法是利用經(jīng)過正則化后對(STS+μI)進行 QR分解，求出初始圖像灰度值的估計值，再根據(jù)正問題計算出初始圖像的電容值，將計算電容值和實際測量值相比較得出1個電容偏差值，再利用QR分解的方法求出相應(yīng)于電容偏差值的偏差圖像，然后進行修正。

具體實現(xiàn)過程如下：如前所述，經(jīng)Tikhonov正則化后可得到：

因為(STS+μI)是一個(1 780×1 780)方陣，所以可以進行QR分解，即把它分解為1個正交矩陣Q和1個上三角矩陣R的乘積，即：(STS+μI)=QR。通過求解可以得到G的解為：

根據(jù)QR分解算法對初始圖像進行修正，可以得到修正后的圖像模型為：

式中，GQR為基于 QR分解的初始圖像，即式(9)，β為優(yōu)化修正因子，△G為偏差圖像：

C為由ECT正問題模型式(2)得的初始電容值。

求解優(yōu)化修正因子 β[9]：

根據(jù)ECT正問題模型式(2)得修正后電容值為：

與初始測量電容值比較得電容值誤差向量▽C1：

式中，C1為修正后圖像測量值，即為根據(jù)正問題計算出的初始圖像的電容值。

構(gòu)造函數(shù)f為：

由式(14)可知，f是 β的函數(shù)，求 β的最優(yōu)解，就變成使f最小的問題，即求修正因子β，使得電容值誤差向量的模最小。為此，對f求導(dǎo)并令其等于零，即：

即：

經(jīng)過求解可得到的表達式為：

2 成像結(jié)果分析

對線性反投影(LBP)法[1]、迭代法[4]、Tikhonov 正則化法、正則化修正算法(ROR)[9]和基于QR分解的重建算法5種圖像重建算法的重建圖像速率和圖像質(zhì)量進行了比較。成像傳感器采用8極板結(jié)構(gòu)，校驗用管壁的介電常數(shù)為2(滿管為2.5)，用尼龍測試棒進行實驗測試。

重建圖像速率用迭代次數(shù)die_num表示，die_num越大則重建時間越長，說明速率越低。由于LBP法、正則化法對數(shù)據(jù)的處理過程是一樣的，都屬于單步處理，所以die_num=0；而ROR法和基于QR分解的重建算法的整個數(shù)據(jù)處理過程是在單步數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)上增加了1步修正過程，相當(dāng)于迭代1次，即die_num=1。

重建圖像質(zhì)量采用目前常用的評價指標(biāo)占空比[1-2，4，10]表示。占空比表示圖像面積占整個成像區(qū)域面積的百分比，表示為：

Area1為高介電常數(shù)部分圖像面積，Area為成像區(qū)域面積。成像效果圖如圖1所示。表1給出了不同圖像重建算法所重建圖像占空比和重建時間的對比結(jié)果。

表1 不同圖像重建算法所重建圖像占空比和重建時間

從表1可以看出：

(1)LBP法和正則化法是單步算法，重建圖像時間最短即速率最快但是偏離實際原型太大。

(2)迭代算法迭代10次之后的結(jié)果與LBP法和正則化法相比，比較接近實際原型，但是重建時間太長。

(3)從重建圖像時間看，ROR法和QR分解圖像重建算法僅為迭代法的1/15，而QR分解圖像重建算法所重建圖像的占空比，比ROR法更接近成像原型。

由圖1可以看出：基于QR分解的電容層析成像算法圖像重建結(jié)果最為接近真實物體，圖像質(zhì)量得到改善。綜上成像實驗結(jié)果表明：基于QR分解的圖像重建算法圖像重建結(jié)果與實際原型較接近，優(yōu)于其他幾種算法。

本文在正則化的基礎(chǔ)上提出的基于QR分解的圖像重建算法，通過與當(dāng)前常用的線性反投影(LBP)法、迭代法、Tikhonov正則化法和ROR法的成像實驗對比，從占空比和圖像重建時間兩方面可以表明，用該算法得到的圖像具有比較好的圖像重建質(zhì)量和較高的成像速率。

[1]XIE C G，HUANG S M.Electrical capacitance tomography for flow imaging-system model for development of image reconstruction algorithms and design of primary sensors[J].IEEE Proc.G.1992，139(1):89-98.

[2]XIE C G，BECK M S.8-electrode capacitance system for two-component flow identification， Part1；tomographic flow imaging [J]. IEEE Proc. A，1989，136(4):173-183.

[3]ISAKSEN O.A review of reconstruction techniques for capacitance tomography[J].Meas.Sci.Technol.1996(7):325-337.

[4]YANGWQ， SPINKDM，YORK T A，et al.An imagereconstruction algorithm based on land weber’s Iteration method for electrical-capacitance tomography[J].Meas.Sci.Technol.1999(10):106-1069.

[5]KUHNERT F.廣義逆矩陣與正則化方法[M].陳杰，譯.北京:高等教育出版社，1984.

[6]TIKHONOV A N，ARSENIN V Y.Solution of Ill-posed problems[C].New York:John Wiley，1977.

[7]王延平.信號復(fù)原與重建[M].南京:東南大學(xué)出版社，1992.

[8]劉會燈，朱飛.MATLAB編程基礎(chǔ)與典型應(yīng)用[M].北京:人民郵電出版社，2008.

[9]趙進創(chuàng).正則化優(yōu)化修正的電容層析成像圖像重建算法[J].儀器儀表學(xué)報，2004，25(1):1-4.

[10]TAPP H S，KEMSLEY E K.Image improvement in softfield tomography through the useofchemo metrics[J].Meas.Sci.Technol.，1998(9):592-598.