樓正青

0 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)受到了極大的關(guān)注，這主要是因?yàn)楹芏喱F(xiàn)實(shí)世界的物理系統(tǒng)，都可以用分?jǐn)?shù)階狀態(tài)方程來描述。穩(wěn)定性是一切控制系統(tǒng)得基礎(chǔ)，當(dāng)然也包括分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。近年來，已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的一些成果，這里的不確定是指間歇性不確定。[1][2]在和Kharitonov類似的實(shí)驗(yàn)步驟的基礎(chǔ)上 提出了分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的結(jié)論， 但只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。對以狀態(tài)空間形式描述的分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)，[3]利用擾動矩陣?yán)碚撜业搅讼鄳?yīng)的特征值的變化范圍，解決了魯棒穩(wěn)定性方面的問題。盡管如此，他們自己也認(rèn)為自己的結(jié)論很具有保守性，因?yàn)樗麄儾捎玫姆椒ㄊ欠謩e計算特征值實(shí)部和虛部的變化范圍，如果系統(tǒng)的不確定部分的變化很大，他們采用的方法可能就無法正確計算出特征值的變化范圍。為了減少這種保守性，[4]利用李雅普諾夫不等式，找到了赫爾米特矩陣的最大特征值，提出了一種新的分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判定的方法。盡管如此，[3][4]的結(jié)論只提供了充分條件，而不是充要條件。[5]拓展了[4]的結(jié)論，通過復(fù)數(shù)的李亞普諾夫不等式，提出了離散的分?jǐn)?shù)階時變系統(tǒng)（階數(shù)在1到2之間）的穩(wěn)定性判別的充分必要條件。

除了[6]和[7]外，上述的文獻(xiàn)都不能用于設(shè)計控制器使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，然而[6]和[7]研究的是設(shè)計狀態(tài)反饋控制器使分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的狀態(tài)反饋往往很難測量到，因此利用系統(tǒng)的輸出反饋來設(shè)計一個控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定是一個在理論很實(shí)際中都很有意義的問題，也是一個有相當(dāng)挑戰(zhàn)性的課題。

本文主要對一類范數(shù)有界參數(shù)的分?jǐn)?shù)階線性控制系統(tǒng)，研究了使閉環(huán)系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計問題。以線性矩陣不等式（LMI）的形式，證明了上述系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定問題等價于求一個線性矩陣不等式的可行解問題，并且利用該線性矩陣不等式的可行解構(gòu)造出了系統(tǒng)的輸出反饋控制器。

注意：本文中的符號?表示兩個矩陣的克勞內(nèi)克乘積，例如（A?C）（B?D）=（AC）? （BD）.Sym（X）表示X和X的轉(zhuǎn)置的和，表示為：Sym（X）=X＋XΤ。I表示適維的單位矩陣，*用在一些矩陣表達(dá)式中用以表示矩陣的對稱結(jié)構(gòu)，例如：

1 問題的描述和準(zhǔn)備

考慮以下的分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)：

其中是a是分?jǐn)?shù)階的階數(shù)，x（t）∈ ?n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，μ（t）∈ ?l是 控 制 變 量 ，y（t）∈ ?m是 輸 出 變 量 ，A∈ ?n×n,B∈ ?n×l,C∈ ?m×n是常數(shù)矩陣。

本文的中會用到下述定義或引理：

定義 2.1. 如果存在一個狀態(tài)反饋矩陣Ko，存在控制量μ（t）=K0x（t）,使閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)反饋是穩(wěn)定的。

定義 2.2 如果存在一個輸出反饋矩陣K，存在控制量μ（t）=Ky（t）,使閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，則稱此系統(tǒng)的輸出反饋是穩(wěn)定的。

引理 2.1[8]下面兩個論述是等價的：

（a）給定矩陣A,B,C,存在可行解X,Y,使下面的LMI不等式成立。

（b）給定A,B,C，使下面的LMI不等式成立。

引理 2.2[8]下面兩個論述是等價的：

給定矩陣A,B,C, 存在可行解G，使下面的LMI不等式成立。

（C）給定A,B,C，使下面的LMI不等式成立

引理 2.3[9][10]若是一個不含有不確定的實(shí)矩陣，則系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是其中spec（A）是A的所有特征值的范圍。

引理 2.4[11]若是一個實(shí)數(shù)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣P>0使下式成立

本文的目的就是設(shè)計一個靜態(tài)的輸出反饋控制器，能使閉環(huán)系統(tǒng)的所有根都在穩(wěn)定的扇形區(qū)域內(nèi)，使分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。

2 分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)靜態(tài)輸出的反饋穩(wěn)定性

在本節(jié)中，首先我們給出一個狀態(tài)輸出反饋控制器，使分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。接著在此基礎(chǔ)上借助于 LMI的技術(shù)，設(shè)計一個靜態(tài)輸出的反饋控制器，使分?jǐn)?shù)階閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。

2.1 狀態(tài)反饋的穩(wěn)定性

在這一小節(jié)，我們將涉及一個狀態(tài)反饋控制器，使分?jǐn)?shù)階線性閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

定理 2.1 分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)(1)是狀態(tài)反饋漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件，是當(dāng)存在一個正定對稱矩陣X和非空矩陣Y時，使得下面LMI不等式成立

其中

狀態(tài)反饋矩陣的增益為K0=YX-1。

證明

根據(jù)狀態(tài)反饋的定義，由引理2.4和2.5，分?jǐn)?shù)階線性閉環(huán)系統(tǒng)(1)狀態(tài)反饋漸進(jìn)穩(wěn)定的條件，當(dāng)存在正定對稱矩陣X使下式成立

其中

把Ao的表達(dá)式代入(3)后有

假設(shè)Y=K0X,則式(4)等價于下式(5)

證明完畢。

2.2 輸出的反饋穩(wěn)定性

基于定理2.1的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計和LMI不等式，我們將在這一小節(jié)設(shè)計一個靜態(tài)輸出反饋控制器，使得分?jǐn)?shù)階線性閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

定理 2.2給定使系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器Ko，輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件是存在正定對稱矩陣X,非奇異 矩 陣G11,G12,G21,G22,非 空矩陣H1,H2,L11,L12,L21,L22,滿足下面LMI不等式

其中

證明

定理3.2中的式(6)可以寫成以下形式

根據(jù)引理2.2 和不等式(9)可以推出

上式(10)等價于式(11)

不等式(11)可以表述成下面的形式

根據(jù)D=DΤ和引理2.1,式(12)可以寫成式(13)

上式(13)等價于(14)

把D得表達(dá)式代入，不等式(14)可以寫成如下形式

假設(shè)則式(15)等價于

根據(jù)不等式(15)和引理2.3和2.4可得，分?jǐn)?shù)階線性閉環(huán)系統(tǒng)(1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。證明完畢。

定理 2.2中的不等式(6)存在非線性的形式以至于不能用LMI解出不等式的解，因此很難設(shè)計一個輸出反饋控制器使分?jǐn)?shù)階線性閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。為了解決這個問題定理2.3中給出了線性的不等式，可以很容易用LMI解出可行解，從而可以設(shè)計一個使閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的輸出反饋控制器。

定理 2.3給定使系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器Ko，輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件是存在正定對稱矩陣X,非奇異矩陣Z,非空矩陣H1,H2,L滿足下面LMI不等式。

其中

證明

證明過程同2.2相同，只是在定理2.2中的G具有以下的形式：

證明完畢。

3 例子

考慮具有下面形式的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

其中α=1.5,

求解定理2.1中的LMI不等式(2)可得

通過K0=YX-1，我們可以計算出使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣

給定分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣Ko，求解定理2.3中的LMI不等式(16)，我們可以得到一個可行解

通過K=Z-1L，我們可以計算出使閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的輸出反饋增益矩陣

4 結(jié)論

本文主要對一類范數(shù)有界參數(shù)的分?jǐn)?shù)階線性控制系統(tǒng)，研究了使閉環(huán)系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計問題。基于 LMI不等式設(shè)計了一個靜態(tài)輸出反饋控制器，使分?jǐn)?shù)階線性閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定，最后用一個仿真例子驗(yàn)證了所提出定理的正確性。

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