李 凱,陳國(guó)榮

(1.安徽省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院,安徽合肥 230088;2.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇南京 210098)

運(yùn)用有限元法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析時(shí),穩(wěn)定分析研究集中在2個(gè)問題上,一是安全系數(shù),二是確定臨界滑動(dòng)面.有些方法從安全系數(shù)入手,如建立在極限分析理論上的強(qiáng)度折減法[1-3],就是通過對(duì)材料強(qiáng)度參數(shù)的折減,直接計(jì)算安全系數(shù).同樣,如果能求得滑動(dòng)面,也可以容易地計(jì)算出安全系數(shù).目前搜索滑動(dòng)面的方法主要分為模式搜索法和數(shù)值規(guī)劃法.數(shù)值規(guī)劃法在我國(guó)應(yīng)用較早.該方法把滑動(dòng)面的函數(shù)看成變量,把安全系數(shù)看成這些變量的泛函,通過變分法尋找安全系數(shù)最小時(shí)對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面.

試驗(yàn)證明,巖土中有一點(diǎn)遭到破壞的時(shí)候,該點(diǎn)必然存在2個(gè)破裂面.在二維空間里,可以用2條相交的直線表示這個(gè)點(diǎn)的破壞方向,經(jīng)典塑性理論抽象地稱之為滑移線.假如把整個(gè)區(qū)域離散成很多點(diǎn),所有的點(diǎn)都發(fā)生破壞,就能得到這些破壞點(diǎn)的滑移線場(chǎng).根據(jù)該滑移線場(chǎng)的走勢(shì),可以從宏觀上分析整個(gè)區(qū)域破壞的軌跡.但是這個(gè)方法存在2個(gè)問題:(a)經(jīng)典滑移線理論是建立在Mohr-Coulomb準(zhǔn)則上的,由于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則在 π面上是不規(guī)則圖形,不適合數(shù)值計(jì)算,為了和有限元結(jié)果耦合,需要建立理論上更完善的滑移線場(chǎng)方程.(b)邊坡很多部分仍然在彈性狀態(tài)下,這時(shí)傳統(tǒng)的滑移線理論和現(xiàn)實(shí)存在較大的差異,要求對(duì)滑移線理論進(jìn)行合理的拓展.

文獻(xiàn)[4]將經(jīng)典滑移線理論加以推廣,提出了潛在滑移線理論;文獻(xiàn)[5]發(fā)展了一套基于滑移線場(chǎng)理論的搜索臨界滑動(dòng)面的數(shù)值方法.本文在文獻(xiàn)[4-5]的基礎(chǔ)上,引入統(tǒng)一材料參數(shù)定義,依據(jù)統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則建立適合數(shù)值計(jì)算的全區(qū)域滑移線場(chǎng)方程.再根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果數(shù)值模擬滑移線場(chǎng),由滑移線場(chǎng)追蹤出臨界滑動(dòng)面,求得安全系數(shù),并在此基礎(chǔ)上討論屈服準(zhǔn)則的影響.

1 統(tǒng)一平面滑移線場(chǎng)理論

1.1 塑性區(qū)的滑移線場(chǎng)

材料的屈服準(zhǔn)則是材料破壞的判定標(biāo)準(zhǔn),為了方便全面分析,采用雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論[6]:式中b(0≤b≤1)是一個(gè)加權(quán)參數(shù),反映了中間剪應(yīng)力及相應(yīng)作用面上的正應(yīng)力對(duì)材料屈服或破壞的影響.隨著加權(quán)參數(shù)b值的不同,雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論可以分別蛻化成Tresca準(zhǔn)則(當(dāng)a=1,b=0時(shí))、Mises準(zhǔn)則(當(dāng)a=1,b=1/2或b=1/(1+3)時(shí),為線性逼近)、Mohr-Coulomb理論(當(dāng)a≠1,b=0時(shí)).當(dāng)b取其他不同值時(shí),可以得到一系列新的強(qiáng)度準(zhǔn)則.

根據(jù)Prandtl-Reuss假設(shè)[7]

式(1)可以寫成

式中:φ,C——初始材料參數(shù);φt,Ct——統(tǒng)一材料參數(shù);J2——應(yīng)力偏量的第2不變量,以逆時(shí)針方向?yàn)檎?式(3)和巖土有限元分析中常用的DP準(zhǔn)則形式相近,可以方便地引入數(shù)值計(jì)算中.將式(3)代入平衡方程:

式中:θ——x軸和σ1之間的夾角;θ0——重力的反方向和y軸之間的夾角.式(4)通過特征線的方法求解[8-9]

式(5)是控制方程(4)的2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,依據(jù)經(jīng)典塑性理論定義,式(5)也稱為滑移線方程[9],即塑性區(qū)域內(nèi)的滑移線方程.滑移線見圖1.

圖1 滑移線和主應(yīng)力跡線Fig.1 Slip lines and traces of principal stresses

1.2 彈性區(qū)的滑移線場(chǎng)

當(dāng)材料處在彈性區(qū)間內(nèi),雖然沒有發(fā)生破壞,但材料內(nèi)過每一個(gè)點(diǎn)的無數(shù)個(gè)面上肯定有個(gè)面最容易發(fā)生破壞,稱之為潛在滑動(dòng)面[10].由于邊坡破壞一般是剪切破壞,定義安全系數(shù)F為最大剪應(yīng)力和實(shí)際剪應(yīng)力的比,那么安全系數(shù)最小的面最容易發(fā)生破壞.定義α為這個(gè)面的方向角,得到

這樣式(5)和式(7)即為全區(qū)域的滑移線方程(下文將滑移線、潛在滑移線統(tǒng)一稱為滑移線).

2 數(shù)值模擬滑移線場(chǎng)和搜索臨界滑動(dòng)面

2.1 模擬滑移線場(chǎng)

本文是從宏觀上分析全區(qū)域破壞的跡線,所以首先需要模擬出全區(qū)域的滑移線場(chǎng).將模型離散,利用有限元計(jì)算軟件ANSYS分析出各個(gè)離散點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)值.為了便于編程處理,節(jié)點(diǎn)要規(guī)則分布,如圖2所示.

塑性區(qū)間由式(5)、彈性區(qū)間由式(7)就能得到每個(gè)離散點(diǎn)的dy,即dx每個(gè)離散點(diǎn)的滑移線方向 φ,過該點(diǎn)和該方向可畫出該點(diǎn)的滑移線,控制線長(zhǎng)可得到全區(qū)域滑移線場(chǎng)示意圖(圖3).

圖2 離散點(diǎn)Fig.2 Discrete nodes

圖3 滑移線場(chǎng)示意圖Fig.3 Slip line fields

2.2 搜索臨界滑動(dòng)面

有2個(gè)滑動(dòng)場(chǎng),按工程經(jīng)驗(yàn)選擇1個(gè)進(jìn)行分析,然后通過滑移線場(chǎng)追蹤滑動(dòng)面.如圖4所示,離散點(diǎn)規(guī)則排列,從出口的一點(diǎn)A出發(fā),點(diǎn)A坐標(biāo)為(x,y),方向?yàn)棣?以此作一條直線.這條直線和經(jīng)過鄰近一豎列離散點(diǎn)的直線交于B(x1,y1).B點(diǎn)不一定是給定的離散點(diǎn),但它必定在2個(gè)離散點(diǎn)之間.設(shè)這2個(gè)離散點(diǎn)為C(x2,y2),D(x3,y3),方向?yàn)?φ2,φ3,通過插值法就可以求出點(diǎn)B的滑移線方向φ1:

圖4 追蹤示意圖Fig.4 Pursuing of slip surface

依次類推,得到E點(diǎn),一直追蹤下去,就可以得到1條連續(xù)的曲線.設(shè)定不同的起點(diǎn),可得到一系列曲線,稱之為潛在滑動(dòng)面.在這些滑動(dòng)面上,每個(gè)點(diǎn)的正應(yīng)力 σ和剪應(yīng)力τ也可以按相同的插值法求出.由抗剪安全系數(shù)F可得到這些潛在滑動(dòng)面的安全系數(shù):

其中安全系數(shù)最小的就是臨界滑動(dòng)面,如圖5所示.

圖5 滑動(dòng)面示意圖Fig.5 Slip surface

3 算 例

某一均質(zhì)土坡,坡高H=20m,黏聚力c=42kPa,土的密度 ρ=2000t/m3,內(nèi)摩擦角 φ=17°,泊松比 ν=0.3,彈性模量E=100MPa,求坡角 β=45°時(shí)邊坡的穩(wěn)定安全系數(shù)以及對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面.取b=0,0.2,0.4,0.6計(jì)算,得到統(tǒng)一材料參數(shù)φt和材料參數(shù)b的關(guān)系,見圖6.

圖6 φt和 b的關(guān)系Fig.6 Relationship between φtand b

運(yùn)用ANSYS軟件計(jì)算出離散點(diǎn)的應(yīng)力值和彈塑性區(qū)間,按上文討論的方法編程計(jì)算出最小安全系數(shù),并和Spencer法[11]計(jì)算的結(jié)果比較.當(dāng)b=0,0.2,0.4,0.6時(shí),最小安全系數(shù)分別為1.182,1.210,1.232,1.246,而用Spencer法的計(jì)算結(jié)果為1.206.

圖7(a)為b=0.2時(shí)的臨界滑動(dòng)面計(jì)算結(jié)果,圖7(b)為該條件極限狀態(tài)下的塑性區(qū)間分布,圖7(c)為b不同取值時(shí)的臨界滑動(dòng)面.

圖7 計(jì)算結(jié)果示意圖Fig.7 Calculated results

從圖7可看出,臨界滑動(dòng)面貫穿于塑性帶內(nèi),說明求得的臨界滑動(dòng)面位置是合理的.另外,臨界滑動(dòng)面和它上下2條潛在滑動(dòng)面的安全系數(shù)相差不大,而且都處在塑性區(qū)內(nèi),表示它們都有可能發(fā)生滑移,滑移不一定是在一個(gè)面上,而是有一定厚度的,這比較符合實(shí)際情況.通過和Spencer法的比較,證明了本文方法計(jì)算結(jié)果的有效性,統(tǒng)一材料參數(shù) φt和 φ差別不大,不同屈服準(zhǔn)則下安全系數(shù)和臨界滑動(dòng)面的位置發(fā)生了改變.

4 結(jié) 語

本文建立了統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則下、適合數(shù)值計(jì)算的全區(qū)域滑移線場(chǎng)方程,根據(jù)有限元計(jì)算的結(jié)果數(shù)值模擬全區(qū)域的滑移線場(chǎng),由滑移線場(chǎng)搜索出臨界滑動(dòng)面并計(jì)算安全系數(shù).該方法無需假設(shè)滑動(dòng)面和考慮彈塑性區(qū)域的差別,使用方便.算例證明了該方法的有效性,拓寬了經(jīng)典的滑移線場(chǎng)理論.通過改變b值引入不同的屈服準(zhǔn)則,研究屈服準(zhǔn)則對(duì)邊坡穩(wěn)定性分析的影響,發(fā)現(xiàn)在不同的屈服準(zhǔn)則下,安全系數(shù)和臨界滑動(dòng)面發(fā)生了改變.

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