岳錫亭, 孫 艷

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130012)

對(duì)于二次系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界及分布是人們一直關(guān)心的問題[1-3],文獻(xiàn)[4-5]證明了當(dāng)系統(tǒng)(E2)的兩個(gè)奇點(diǎn)D(0,0),N(0,1)分別為粗焦點(diǎn),且當(dāng)l≥0,δ(m+δ)＞0時(shí),系統(tǒng)(E2)的極限環(huán)是集中分布的。對(duì)于l＜0的情形文中給出以下定理。

定理1 δ(m+δ)+l=0時(shí),(E2)的極限環(huán)集中分布。

證明:不妨設(shè)δ(m+δ)＞0,當(dāng)δ(m+δ)+l=0時(shí),有

易見,奇點(diǎn)N(0,1)外圍的極限環(huán)不能與直線y-δ x=0相交。奇點(diǎn)D(0,0)外圍的極限環(huán)不能與直線y+(m+δ)x-1=0相交。假設(shè)奇點(diǎn)N(0,1)外圍的極限環(huán)為L(zhǎng),沿著N(0,1)外圍的極限環(huán)L對(duì)(E2)的發(fā)散量積分有:

這里D是由L所圍成的區(qū)域,在應(yīng)用格林定理時(shí)注意到L是順時(shí)針方向的。注意到m+δ=,當(dāng)l＜0時(shí),m+δ與δ的符號(hào)相同,且有

于是,當(dāng)ma＞0,mδ＜0時(shí),N(0,1)外圍無(wú)環(huán)。而對(duì)于D(0,0)外圍的極限環(huán)有

這里L(fēng)的方向是逆時(shí)針方向。于是,當(dāng)ma＞0,mδ≥0時(shí),D(0,0)外圍無(wú)環(huán)。

兩者結(jié)合,當(dāng)ma＞0,δ(m+δ)+l=0時(shí),(E2)的極限環(huán)集中分布。

再由文獻(xiàn)[2]的引理2知,ma≤0,δ(m+δ)＞0時(shí),(E2)的極限環(huán)集中分布知定理1成立。

定理2 當(dāng)m-bδ=0,δ(m+δ)＞0時(shí),系統(tǒng)(E2)的極限環(huán)集中分布。

這里依然假設(shè)N(0,1)和D(0,0)為粗焦點(diǎn),且l＜0。否則由文獻(xiàn)[2]知(E2)的極限環(huán)集中分布。

證明:系統(tǒng)(E2)的極限環(huán)必然地和發(fā)散量為零的直線L:my+(2l+b)x+δ=0相交,并圍繞其交點(diǎn)(切觸點(diǎn))于其內(nèi)部,沿著系統(tǒng)(E2)對(duì)發(fā)散量為零的直線L求導(dǎo)數(shù),得到方程為:

因ma＞0,所以假設(shè)ma-b(2l+b)＜0。否則由文獻(xiàn)[2]知其極限環(huán)為集中分布,再由m+2δ=(m+δ)+δ的符號(hào)與δ的符號(hào)相同,于是可知在式(3)中x2項(xiàng)的系數(shù)小于零,x項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)與-δ的符號(hào)相同。常數(shù)項(xiàng)的符號(hào)小于零。所以式(3)若存在根(切觸點(diǎn)),則兩個(gè)根的符號(hào)與δ的符號(hào)相反,又因直線L:my+(2l+b)x+δ=0與在點(diǎn)處相交,而是無(wú)切線。式(3)的兩個(gè)零點(diǎn)或同時(shí)位于直線y=的下方,或同時(shí)位于直線的上方,由此知系統(tǒng)(E2)的極限環(huán)為集中分布,如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(E2)極限環(huán)集中分布圖

即系統(tǒng)(E2)的極限環(huán)只能在一個(gè)奇點(diǎn)外圍出現(xiàn)。

[1] 葉彥謙.極限環(huán)論[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1984.

[2] 葉彥謙.多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性理論[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1995.

[3] 岳錫亭,閆 麗.關(guān)于二次系統(tǒng)極限環(huán)的分布[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,35(1):18-22.

[4] 岳錫亭.一類二次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的分布[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,23(4):55-57.

[5] 岳錫亭.關(guān)于二次系統(tǒng)極限環(huán)的分布[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,23(1):50-52.