□ 牛潤盛 劉 瓊

(1、中國人民銀行廣東汕尾市中心支行，廣東 汕尾 516600;2、廣東汕尾市職業(yè)技術學院，廣東 汕尾 516600)

我國學者鄭聚龍教授于1982年創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，經過20多年的發(fā)展，已形成以系統(tǒng)分析、信息處理、建模預測、決策控制為主要內容的系統(tǒng)體系，廣泛應用于工程控制、經濟管理、社會系統(tǒng)等眾多領域。其中的灰色動態(tài)預測模型自提出以來在我國的許多行業(yè)得到了廣泛應用，本文將運用灰色系統(tǒng)模型對國庫現金進行預測。

一 灰色系統(tǒng)模型概念及DPS數據處理系統(tǒng)

灰色系統(tǒng)模型通過將波動性較大的離散的隨機原始序列作累加生成，得到指數規(guī)律性較強的累加生成序列，再經序列建模的參數估計后，將計算結果逆向累減得到原始序列預測值。根據方程階數和變量個數不同，有 GM(1，1)、GM(N，1)、GM(1，N)等類型。

灰色系統(tǒng)模型(Grey Model，GM)具有弱化序列隨機性、波動性，挖掘系統(tǒng)演化規(guī)律的獨特功效;另一個顯著特點是所需樣本數據小，僅用4個數據就可以估計出模型參數，且可達到一定的模擬精度，對大樣本數據的模擬精度反而不高;使用灰色系統(tǒng)理論的思想、方法對原始觀測數據進行必要處理，將會大大改善統(tǒng)計模型的擬合及預測性能。

DPS數據處理系統(tǒng)(Data Processing System)，采用全屏幕交互編輯方式設計，配有多級下拉式菜單，用戶使用時整個屏幕猶如一張工作平臺，隨意調整，操作自如，故形象地稱其為DPS數據處理工作平臺，簡稱DPS平臺。DPS系統(tǒng)集數據全屏幕編輯制表、試驗設計及統(tǒng)計分析、多元分析、數值計算以及建立各種數學模型等多項功能為一體，廣泛用于教學、科研和生產各個領域。

二 灰色系統(tǒng)模型的一般建模過程

灰色系統(tǒng)模型的一般建模過程如下:

(一)對原始序列累加處理

X(0)為原始非負序列①:

其中，x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n;

一次累加生產序列②(即1-AGO序列)，表示為X(1):

由X(1)的相鄰項平均得到X(1)的緊鄰均值生成序列Z(1)，表示為:

根據上述序列，有灰色系統(tǒng)模型GM(1，1)的基本形式:

對應的白化方程形式③:

其中，a為發(fā)展系數，b為灰色作用量，都是待定參數。

(二)構造GM(1，1)模型方程組的矩陣形式，并求解參數

GM(1，1)模型的微分方程基本形式:

有方程組的矩陣形式:Y=Bα

(三)求的時間響應序列，累減得到原序列的預測值

相應地，GM(1，1)模型基本形式x(0)(k)+az(1)(k)=b的時間響應序列:

累減得還原值:

(四)模型檢驗

X(0)為原始序列,為相應的模擬序列，ε(0)=X(0)-為殘差序列，則X(0)的均值、方差分別為:

殘差的均值、方差分別為:

一般均方差比值C越小越好(因為C小說明S2小，S1大，即殘差方差小，原始數據方差大，說明殘差比較集中，擺動幅度小，原始數據比較分散，擺動幅度大，所以模擬效果好，要求S2與S1相比盡可能小)，以及小誤差概率p越大越好，給定 α，ε0，C0，p0的一組取值，就確定了檢驗模型模擬精度的一個等級，常用的精度等級見表1。軟件DPS的分析結果也提供了C、p的檢驗結果。

表1 精度檢驗等級參照表

(五)殘差修正模型

當GM(1，1)模型的精度不符合要求時，可用殘差序列建立GM(1，1)模型，對原來的模型進行修正，以提高精度。

原序列X(0)的殘差序列表示為:ε(0)=(ε(0)(1)，ε(0)(2)，…，ε(0)(n))，如果序列中存在負數 ε(0)(i)，i=1，2，…n，為使殘差序列滿足灰色模型系統(tǒng)的要求，需對序列先進行正則化處理:

從而對原模型公式(1)修正，得到殘差修正模型:

(六)建立新陳代謝GM(1，1)進行動態(tài)預測

在實際建模過程中，原始數據序列的數據不一定全部用來建模。我們在原始數據序列中取出一部分數據，就可以建立一個模型。一般說來，取不同的數據，建立的模型也不一樣，即使都建立同類的GM(1，1)模型，選擇不同的數據，參數a，b的值也不一樣。這種變化，正是不同情況、不同條件對系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。

設原始數據數列

根據所用樣本數據的不同，有以下4種GM(1，1)模型

1、用X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))建立的GM(1，1)模型稱為全數據GM(1，1);

2、?k0〉1，用X(0)=(x(0)(k0)，x(0)(k0+1)，…，x(0)(n))建立的GM(1，1)模型稱為部分數據GM(1，1);

3、設x(0)(n+1)為最新信息，將x(0)(n+1)置入X(0)，稱用X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)，x(0)(n+1))建立的模型為新信息GM(1，1);

4、置入最新信息x(0)(n+1)，去掉最老信息x(0)(1)，稱用X(0)=(x(0)(2)，…，x(0)(n)，x(0)(n+1))建立的模型為新陳代謝GM(1，1)，又叫動態(tài)等維灰色系統(tǒng)模型。

根據經驗，以預測精度為標準，新陳代謝模型相對是比較理想的模型。一般情況下，隨著系統(tǒng)的發(fā)展，老數據的信息意義將逐步降低，在不斷補充新信息的同時，及時地去掉老信息，建模序列更能反映系統(tǒng)在目前的特征。尤其是系統(tǒng)隨著量變的積累，發(fā)生質的飛躍或突變時，與過去的系統(tǒng)相比，已是面目全非。去掉已根本不可能反映系統(tǒng)目前特征的老數據，顯然是合理的。因此本文將建立新陳代謝GM(1，1)進行預測。

三 灰色系統(tǒng)模型預測的實證分析

本文選用的數據是汕尾市2008年1月-2009年12月國庫庫存余額月均值，共24個樣本數據，使用軟件是數據處理系統(tǒng)DPS7．054。

(一)數據與模型選取

灰色系統(tǒng)模型在小樣本數據方面有獨特優(yōu)勢，最少使用4個樣本即可估計參數，本文將使用前4個月的數據對第5個月數據，建立GM(1，1)進行預測。具體來說，使用2008年1-4月數據建立GM(1，1)模型，對2008年5月預測，然后2008年2-5月數據建立新陳代謝GM(1，1)模型，以此類推，每次建立的新陳代謝模型的樣本數據都是4個，預測期限都是1。

(二)模型檢驗結果及相對誤差

24個月均數據共建立20個GM(1，1)模型，其模型檢驗參數模型檢驗結果及相對誤差(表2)。表2中，除少數幾個相對誤差較大外，新陳代謝模型預測的效果還是比較好的。對比實際值和相對誤差的絕對值發(fā)現(圖1)，灰色模型的預測相對誤差主要出現在實際值突變點。

表2 GM(1，1)模型檢驗結果及預測精度

圖1 實際值和相對誤差的絕對值對比

四 灰色系統(tǒng)模型與其他預測方法的結合

本文采用的新陳代謝灰色系統(tǒng)模型，使用前4期的數據預測第5期，并動態(tài)更新數據進行1步預測，最大限度的利用了新信息，減少了老信息對模型的影響，但正因如此也忽略了國庫現金流的季節(jié)性、周期性，從而在突變點的預測效果不理想。如果能把灰色系統(tǒng)模型與其他預測方法結合或許能解決這個問題。

任何一種模型只是研究對象若干側面中某一個(或某幾個)側面，同時由于系統(tǒng)的發(fā)展演化過程，往往是許許多多可知因素和未知因素、確定性因素和不確定性因素相互作用的結果，僅用單一模型難以全面地揭示研究對象的發(fā)展變化規(guī)律。在眾多模型中，不同模型各有其不同特點，對于揭示研究對象的某一側面的變化規(guī)律有不同優(yōu)勢?；疑到y(tǒng)模型通過數據累加的方法，將序列波動性進行研究，但是模擬序列時僅僅使用指數方法，如果能結合線性回歸、ARMA、神經網絡等方法，有可能深化對系統(tǒng)演化規(guī)律的認識，提高預測的精度。

注釋

①灰色系統(tǒng)模型要求原序列不含負數;方便起見，字母大寫表示某一序列，對應小寫表示序列的一個元素．

②一般序列經過一次累加或更高次累加表現出很好的指數特征;大寫字母右上角括號內數字代表序列的累加次數，如0代表沒有經過累加，1代表累加一次;代表序列每個元素的小寫字母后面括號內數字代表其是元素排序，即第幾個元素．

③詳細內容見參考文獻2《灰色系統(tǒng)理論及其應用》p151-167．

［1］鄧聚龍．灰色理論與方法［M］．北京:石油工業(yè)出版社，1993．

［2］劉思峰，郭天榜，黨耀國等．灰色系統(tǒng)理論及其應用［M］．北京:科學出版社:l999．