王 謙， 何國龍

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

在分形幾何的研究中，對于滿足開集條件的自相似集，其Hausdorff維數(shù)計算問題已完全解決，但Hausdorff測度的精確值計算仍非常困難，大多只能通過計算其上下界以逼近其準確值.通過Hausdorff測度的定義可以得到其上界，當然最好的上界就是準確值，因此，如何估計出較優(yōu)的上界值是逼近準確值的重要問題.Sierpinski墊片是經(jīng)典的滿足開集條件的自相似集，它的Hausdorff維數(shù)s=dimH(S)=log23，對于其Hausdorff測度，目前只有上下界的估計值.文獻[1]否定了1987年Marion關于Sierpinski墊片測度的猜測(Hs(S)=3s/6)，并給出上界值Hs(S)≤0.910 5；文獻[2]改進上界值為Hs(S)≤0.890 0；文獻[3]將上述上界改進到Hs(S)≤0.870 08…；文獻[4]得到了目前最好的上界估值為Hs(S)≤0.817 930 0….本文通過構造新的覆蓋，并給出相應的算法，通過數(shù)值計算得到了更好的上界估計值.

1 Sierpinski墊片

定義1[5]設S1,S2,…,Sm:Rn→Rn，對任意x,y∈Rn，滿足

|Si(x)-Si(y)|=ci|x-y|.

圖1 Sierpinski墊片

Sierpinski墊片S是經(jīng)典的自相似集.

圖2 標志點示意圖

如圖2所示，以2-k-S的一個頂點為原點，以其中一邊為x軸，建立直角坐標系.2-k-S中包含3n個2-(n+k)-S，對構成2-k-S的每個三角形，其橫坐標最小的頂點稱為標志點.借鑒文獻[4]的方法，可以建立以下引理:

引理1設(x,y)為一個2-(n+k)-S的標志點，則必有下述二進制表示：

反之，若坐標滿足上述二進制表示，則必為一個2-(n+k)-S的標志點.

引理1與引理2均可由歸納法證明.

命題1設△OAB是一個2-k-S所在的三角形，以一個頂點O為原點，以OA所在的邊為x軸建立直角坐標系，PQ是以(x0,y0)為圓心，r為半徑的圓上的一段弧(如圖3所示)，記:

圖3 2-k-S

則曲邊三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形個數(shù)為

由于曲邊三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形的標志點(x,y)滿足(x-x0)2+(y-y0)2≤r2，聯(lián)立方程組

化簡上述方程組，即有

取yi為滿足上述不等式關系，且具有二進制小數(shù)表示yi=0.yi1yi2…yi(n+k)(0≤yij≤xij)的最小的數(shù)，再利用引理2知曲邊三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形個數(shù)為

2 Sierpinski墊片的Hausdorff測度的上界估計

由Hausdorff測度定義[6]，易建立引理3.

引理3若E是滿足開集條件的自相似集，s=dimHE，則

引理4若E是滿足開集條件的自相似集，s=dimHE，則

由引理4，即可得到命題2.

命題2對于Sierpinski墊片S，如果包含N個2-k-S，1≤N≤3k，則

圖4 覆蓋示意圖

構造覆蓋：以S0的3個頂點A,B,C為端點，在S0的三邊上分別截取長度為2-2的6條線段AA1,AA2,BB1,BB2,CC1,CC2，分別以點A1,A2,B1,B2,C1,C2為圓心，1-2-2為半徑作圓弧A1D,A2E,B1F,B2G,C1H,C2I，連接DE,FG,HI，取覆蓋U為曲十二邊形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，|U|=1-2-2，則覆蓋U包含6個2-2-S及6個等覆蓋的曲邊三角形.

在圓弧A1D所在的2-3-S三角形OA1P上建立直角坐標系(如圖4所示)，以O為原點，OA1所在的邊為x軸.

設U包含N個2-(n+3)-S，1≤N≤3n+3，則由命題2知

其中：N=6×3n+1+6×g；g為曲邊三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形數(shù).

圖5 2-3-S

則曲邊三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形個數(shù)為

所以Sierpinski墊片的Hausdorff測度的上界為

利用Matlab編程計算可得如表1所示的結(jié)果.

表1 Sierpinski墊片的上界估計

注：所有結(jié)果均采用四舍五入取八位有效數(shù)字.

圖6 局部覆蓋示意圖

由于覆蓋集的構造極大地影響了Hausdorff測度上界值的估計，因此改進覆蓋集可以進一步改進Hausdorff測度上界的估計值.

改進覆蓋：仍取覆蓋U′為曲十二邊形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，但AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=1-2-2-2-8，即|U′|=1-2-2-2-8(如圖6所示).

圓弧A1D交2-8-S三角形A1QL的側(cè)邊于點K，交2-3-S三角形OPQ的側(cè)邊于點R，則曲邊三角形A1KL在2-8-S三角形A1QL中，曲邊三角形RDP在2-3-S三角形OPQ中.

設U′包含N個2-(n+8)-S，1≤N≤3n+8，則由命題2知

其中：N=6×3n+6-6×3n+6×(g1+g2)；g1，g2分別為曲邊三角形A1KL和曲邊三角形RDP中的2-(n+8)-S三角形數(shù).

利用Matlab編程計算可得Sierpinski墊片的Hausdorff測度上界有如表2所示的結(jié)果.

表2 Sierpinski墊片的上界估計

因此，計算得Sierpinski墊片的Hausdorff測度Hs(S)≤0.817 918 996….

上述Sierpinski墊片的Hausdorff測度上界的估計方法，實質(zhì)是在構造的覆蓋集中盡可能多地計算出覆蓋集中所包含的2-(n+k)-S三角形數(shù)N，當n越大時，覆蓋集中所包含的三角形越小，落入曲邊三角形中的2-(n+k)-S三角形數(shù)就越多，因而3n+k與N的比值減小，從而Sierpinski墊片的Hausdorff測度Hs(S)的上界估值越小.此外，Hausdorff測度上界的估計也有賴于覆蓋集構造的好壞，若構造的覆蓋集滿足在較小的直徑條件下能夠覆蓋較多的2-(n+k)-S，則計算得到的Hs(S)上界值越小.經(jīng)筆者改進后的覆蓋集U′計算得到的Hs(S)上界優(yōu)于覆蓋集U，當n=13時，Hs(S)≤0.817 918 996…，此結(jié)果優(yōu)于目前現(xiàn)有文獻中的已知結(jié)果.

參考文獻：

[1]周作領.Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdorff測度[J].自然科學進展,1997,7(4):405-409.

[2]周作領.Sierpinski墊片的Hausdorff測度[J].中國科學:A輯 數(shù)學,1997,27(6):491-496.

[3]王何宇.Sierpinski墊片Hausdorff測度的上方估值[J].高等學校計算數(shù)學學報,1998,20(1):93-96.

[4]王興華.關于Sierpinski墊片的Hausdorff測度估值和猜測[J].自然科學進展,1999,9(6):448-493.

[5]Kenneth F.分形幾何數(shù)學基礎及其應用[M].北京:人民郵電出版社,2007:3-137.

[6]文志英.分形幾何的數(shù)學基礎[M].上海:上海科技教育出版社,2000.