李 凱

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 中國(guó)精算研究院，北京 100081）

0 引言

在短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中，所有的保單被視為一個(gè)整體，考慮在未來(lái)一段時(shí)期（如1年）內(nèi)所發(fā)生的損失（理賠）總額。以每一次損失為基本對(duì)象，損失總額就是所有單個(gè)損失額的和。我們用S來(lái)表示損失總額，則有：

其中，Xi表示第i次的損失額，N表示損失次數(shù)，Xi和N都是隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。在聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中，通常把S的分布稱作復(fù)合分布，譬如當(dāng)損失次數(shù)分布為泊松分布時(shí)，相應(yīng)的復(fù)合分布被稱作復(fù)合泊松分布。S的分布函數(shù)通常比較復(fù)雜，獲得S分布的方法有卷積法、矩母函數(shù)法、遞歸法、傅里葉法等[1]，但這些方法計(jì)算量非常大，且條件較強(qiáng)，所以我們常常采用近似分布來(lái)估計(jì)S的分布[2]。近似方法大致可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是給定分布函數(shù)類(lèi)型（如伽馬分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布），再采用矩估計(jì)確定參數(shù)，另一類(lèi)則是對(duì)S進(jìn)行調(diào)整，使其服從較為簡(jiǎn)單的分布（如正態(tài)功效近似）。由于理賠總額分布（如復(fù)合泊松分布）往往具有厚尾的性質(zhì)，其偏度系數(shù)也顯著大于0，故本文將采用平移伽馬分布近似來(lái)估計(jì)再保險(xiǎn)雙方理賠總額的邊際分布。

連接函數(shù)（Copula）理論在隨機(jī)變量聯(lián)合分布的估計(jì)問(wèn)題中應(yīng)用廣泛[3][4][5]。首先，由于不限制邊際分布的選擇，可運(yùn)用連接函數(shù)理論構(gòu)造靈活的多元分布；其次，運(yùn)用連接函數(shù)理論建模時(shí)，可將隨機(jī)變量的邊際分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)研究，使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。相關(guān)性分析中常用的連接函數(shù)主要有兩大類(lèi)：橢球類(lèi)連接函數(shù)和阿基米德類(lèi)連接函數(shù)。橢球類(lèi)連接函數(shù)一般被定義為橢球類(lèi)分布的連接函數(shù)，包括高斯連接函數(shù)、學(xué)生t連接函數(shù)和柯西連接函數(shù)。本文將重點(diǎn)應(yīng)用高斯連接函數(shù)（正態(tài)連接函數(shù)）和學(xué)生t連接函數(shù)來(lái)刻畫(huà)原保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司理賠總額的相關(guān)性。

再保險(xiǎn)優(yōu)化問(wèn)題中，有許多種目標(biāo)函數(shù)可作為優(yōu)化準(zhǔn)則，如破產(chǎn)概率、效用函數(shù)等[6][7]。而將原保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司相結(jié)合進(jìn)行討論亦頗具意義，雙方均希望獲得更多的保費(fèi)并承擔(dān)較低的風(fēng)險(xiǎn)，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略應(yīng)兼顧這兩方面的關(guān)系，最直觀的方法便是以聯(lián)合生存函數(shù)作為優(yōu)化準(zhǔn)則，尋求聯(lián)合生存概率最大的再保險(xiǎn)安排。本文的主要貢獻(xiàn)是找到了一種近似聯(lián)合分布的有效方法，并將其應(yīng)用于新的再保險(xiǎn)優(yōu)化準(zhǔn)則，從而對(duì)再保險(xiǎn)合同的決策提供有力依據(jù)。

1 理賠總額邊際分布的近似

本文所討論的再保險(xiǎn)形式是：雙方按比例a分?jǐn)偙ｋU(xiǎn)責(zé)任，同時(shí)確定責(zé)任限額M，若原保險(xiǎn)人理賠超過(guò)此限額，則剩余部分全部由再保險(xiǎn)人承擔(dān)。如發(fā)生賠付X，則原保險(xiǎn)人與再保險(xiǎn)人所承擔(dān)的賠付分別為：

XI=min(aX，M),XR=X-min(aM,M)

特別的，當(dāng)a=1時(shí)，該再保險(xiǎn)形式為停止損失再保險(xiǎn)；當(dāng)M/a→∞時(shí)，為成數(shù)再保險(xiǎn)。我們稱之為復(fù)合型再保險(xiǎn)。

聚合風(fēng)險(xiǎn)模型是將所有的保單視為一個(gè)整體，考慮未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)所發(fā)生的理賠總額（累積損失）。本節(jié)研究在一定的再保險(xiǎn)合同下，原保險(xiǎn)人與再保險(xiǎn)人理賠總額的邊際分布問(wèn)題。對(duì)于具有同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的一類(lèi)保單而言，若一次事件賠款金額為X，原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人分別承擔(dān)XI，XR，則在一段時(shí)期內(nèi)（通常為一年）原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的理賠總額為：

其中N為隨機(jī)變量。（SI，SR）的聯(lián)合分布函數(shù)為：

F（x1，x2）=Pr（SI≤x1，SR≤x2）

關(guān)于理賠總額變量S分布函數(shù)的近似問(wèn)題，前人已經(jīng)做了大量工作。我們希望獲得SI，SR的聯(lián)合分布，首先須尋求近似SI，SR邊際分布的最佳方法。S的分布大多是右偏的，且有一個(gè)眾數(shù)，這與伽馬分布類(lèi)似。假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為（α，δ）的伽馬分布，即具有下述分布函數(shù)：

將它平移k后，即可得到平移伽馬分布。顯然，平移伽馬分布具有三個(gè)參數(shù)(α，δ，k)，如果用平移伽馬分布近似理賠總額S的分布，就需要估計(jì)這三個(gè)參數(shù)的取值，可以用矩估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)。為了使平移伽馬分布和S的前三階矩相等，α，δ，k必須滿足下述等式：

不難看出，形狀參數(shù)a反映了分布的偏度，a取值越小則偏度系數(shù)越大。

2 理賠總額聯(lián)合分布的近似方法研究

本文研究的核心內(nèi)容是原保險(xiǎn)人與再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率，我們將運(yùn)用Copula函數(shù)（連接函數(shù)）描述原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人理賠總額之間的相關(guān)性。連接函數(shù)是將多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)用它們各自的邊緣分布表示的函數(shù)，上一節(jié)我們給出原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人理賠總額的邊際分布的最佳近似方法，再通過(guò)構(gòu)造連接函數(shù)，便可獲得二者理賠總額聯(lián)合分布的近似解。本節(jié)首先將介紹連接函數(shù)的定義、性質(zhì)和種類(lèi)。而后，分別將橢圓連接函數(shù)、學(xué)生t連接函數(shù)應(yīng)用于聯(lián)合分布近似，同時(shí)進(jìn)行隨機(jī)模擬，尋求最有效、最準(zhǔn)確的連接函數(shù)。

2.1 高斯連接函數(shù)

這種連接函數(shù)產(chǎn)生于一個(gè)具有線性相關(guān)矩陣Σ的多元正態(tài)分布：

C(u1，…，un)=H(Φ-1(u1，…，Φ-1un))

其中H是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)

式中Φ-1(·)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的反函數(shù)，高斯連接函數(shù)具有零尾部相依性。

2.2 學(xué)生t連接函數(shù)

這個(gè)聯(lián)接函數(shù)由一個(gè)多變量學(xué)生t分布產(chǎn)生，具有線性相關(guān)系數(shù)矩陣Σ：

其中Tv是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t向量的聯(lián)合分布，自由度為v，

與高斯連接函數(shù)不同，學(xué)生t連接函數(shù)具有非零的尾部相依。

學(xué)生t連接函數(shù)主要依賴于自由度參數(shù)，Glasserman等人 (2002)認(rèn)為強(qiáng)尾部相依性的自由度在3和7之間，而Demarta和McNeil(2005)認(rèn)為在3和8之間。根據(jù)Embrechts等人(2002)可知，尾部獨(dú)立的自由度(高斯連接函數(shù))。因此，本文選擇的連接函數(shù)，根據(jù)尾部相依性增加，我們預(yù)期依次是高斯、學(xué)生t(v=10)、學(xué)生t(v=5)連接函數(shù)。尾部越重的相依性連接函數(shù)在理賠總額分布中產(chǎn)生越厚的尾部。這就可以解釋在厚尾相依性下，極端損失同時(shí)出現(xiàn)于原保險(xiǎn)人與再保險(xiǎn)人的情況更為頻繁。

我們依次選擇高斯、學(xué)生t(v=10)、學(xué)生t(v=5)連接函數(shù)，確定再保險(xiǎn)雙方理賠總額的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，我們?nèi)匀挥媚M的方法取得聯(lián)合分布概率，比較后得到最佳的連接函數(shù)。

3 基于聯(lián)合生存概率的最優(yōu)再保險(xiǎn)的策略

從實(shí)務(wù)的角度來(lái)說(shuō)，再保險(xiǎn)合同的簽訂需兼顧到償付能力、期望收益等因素，并符合再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的監(jiān)管規(guī)定。首先，雙方的償付能力對(duì)再保險(xiǎn)合同有著較大的影響，若原保險(xiǎn)人選擇償付能力充足的再保險(xiǎn)公司進(jìn)行投保，那么便可將大規(guī)模的風(fēng)險(xiǎn)分出，反之，原保險(xiǎn)人須謹(jǐn)慎考慮分保安排。假設(shè)原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的初始余額（準(zhǔn)備金）分別為UI，UR，則基于聯(lián)合生存概率的優(yōu)化準(zhǔn)則為：

本節(jié)將通過(guò)一系列具體的例子確定復(fù)合型再保險(xiǎn)的最優(yōu)形式。之前討論的例子均為復(fù)合泊松分布，且理賠額服從帕累托分布（重尾），本節(jié)的將進(jìn)一步討論復(fù)合二項(xiàng)、復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布，以及理賠額服從指數(shù)分布（輕尾）時(shí)的情形。

指數(shù)分布 若理賠額X服從期望為100的指數(shù)分布，即f(X=x)=1/ue-x/u，u=100。損失次數(shù)N分別服從均值為100的泊松分布（λ=100）、二項(xiàng)分布（n=200，q=0.5）、負(fù)二項(xiàng)分布（r=100，β=0.5）?？紤]復(fù)合型再保險(xiǎn)合同，a，M在集合Ω上取值。

Ω={(a，M)|a∈(0，1]，M∈R+}

保費(fèi)原則遵循期望保費(fèi)原理，原保險(xiǎn)人的附加因子θI=0.1，再保險(xiǎn)人的附加因子θR=0.2，則再保險(xiǎn)人獲得保費(fèi)：

扣除再保險(xiǎn)費(fèi)后，原保險(xiǎn)人剩余保費(fèi)為：

PI=(1+θR)E(N)u-PR

依定義，還可求得原保險(xiǎn)人與再保險(xiǎn)人理賠總額的前三階矩以及相關(guān)系數(shù)。設(shè)原保險(xiǎn)人的初始余額（準(zhǔn)備金）為UI=500，并選擇實(shí)力較強(qiáng)、償付能力充足的再保險(xiǎn)人，其初始余額為UR=2000。

運(yùn)用 Matlab 軟件，分別取 a=0.01，0.02，…，1，M=10，20，…，2000，對(duì)于每一組(a，M)，均可通過(guò)“Gamma-t Copula”方法求得聯(lián)合生存概率的近似值，再取其最大值，便可得到該準(zhǔn)則下的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略。結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 準(zhǔn)則1下的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

從結(jié)果看，當(dāng)a=1，即超額賠款再保險(xiǎn)時(shí)可達(dá)到最優(yōu)。同時(shí)，我們選擇同期望的理賠次數(shù)分布，方差（變異系數(shù)）從小到大依次為復(fù)合二項(xiàng)分布、復(fù)合泊松分布、復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布，而理賠總額方差的順序也如此。比較這三種情形下的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略，不難發(fā)現(xiàn)，聯(lián)合生存概率差異較大，會(huì)隨著理賠總額方差的增大而減小，這個(gè)結(jié)果是很容易解釋的，因?yàn)閾p失期望相等時(shí)，方差越大則對(duì)于原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)，承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)就越大，故聯(lián)合生存概率會(huì)變小。

表2 準(zhǔn)則1下的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

帕累托分布 若理賠額X服從期望為100的帕累托分布，即 f(X=x)=αkα/(k+x)1+α,其中 k=400，α=5 之前我們討論的幾個(gè)例子，都是理賠次數(shù)服從泊松分布，現(xiàn)在還需討論復(fù)合二項(xiàng)、負(fù)二項(xiàng)分布，其他條件同上例。當(dāng)理賠額分布為帕累托分布時(shí)，再保險(xiǎn)人獲得保費(fèi)：

扣除再保險(xiǎn)費(fèi)后，原保險(xiǎn)人剩余保費(fèi)為：

準(zhǔn)則(2)下的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為：

與一次理賠額服從指數(shù)分布時(shí)一樣，聯(lián)合生存概率隨理賠次數(shù)方差增大而變小。與指數(shù)分布比較，帕累托分布的聯(lián)合生存概率整體偏小，這是因?yàn)榕晾弁蟹植嫉奈膊枯^指數(shù)分布更重，尾部風(fēng)險(xiǎn)更高。

4 結(jié)論

在聚合風(fēng)險(xiǎn)模型下，原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的理賠總額分布為復(fù)合分布，一般無(wú)法得到精確解，而雙方理賠總額的聯(lián)合分布更難獲得，因此，只能?chē)L試用近似方法處理此類(lèi)問(wèn)題。我們首先討論了原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人理賠總額的邊際分布，給定再保險(xiǎn)策略以及理賠次數(shù)和理賠金額分布，進(jìn)行平移伽馬分布近似。而后，運(yùn)用橢球型連接函數(shù)(copula)，刻畫(huà)原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人理賠總額的相關(guān)性和尾部相依性，從而得到了近似雙方理賠總額聯(lián)合分布的最優(yōu)方法。本文提供的方法可用于研究保險(xiǎn)精算中與聯(lián)合分布函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，例如：條件概率，給定初始準(zhǔn)備金后的聯(lián)合生存概率，保證收益率前提下的聯(lián)合生存概率等等。因此便有了更多的新的優(yōu)化準(zhǔn)則可供選擇，為研究再保險(xiǎn)優(yōu)化問(wèn)題拓寬了思路。

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