高振宇
力密度法應(yīng)用于膜結(jié)構(gòu)分析時(shí)建立的方程組如下:
其中,C為結(jié)構(gòu)的拓?fù)渚仃?Q為力密度矩陣;Px,Py和Pz均為節(jié)點(diǎn)荷載,具體推導(dǎo)詳見文獻(xiàn)[1][2]。隨著結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分的增加,總結(jié)點(diǎn)數(shù)變大,力密度法方程組階數(shù)升高,膜結(jié)構(gòu)分析的最終問題就歸結(jié)為大型線性方程組的求解上。C矩陣本身是含有大量零元素的稀疏矩陣,并且本文通過推導(dǎo)證明,該方程組具有對稱正定的特點(diǎn),所以,本文提出可利用其方程組的結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行算法優(yōu)化,以提高計(jì)算程序的效率。
一般來說,解線性方程組 Ax=b有兩種數(shù)值分析方法:1)直接法。但直接法涉及到系數(shù)矩陣的分解,當(dāng) A為大型稀疏矩陣時(shí),因?yàn)樗蟮姆纸庖蜃邮浅砻艿?,直接法的效率不高甚至難以實(shí)現(xiàn)。2)迭代法。這類方法是生成近似解序列{x(k)},矩陣 A只在矩陣向量乘法時(shí)才用到,而稀疏矩陣的乘法已相當(dāng)成熟。數(shù)值方法的一個(gè)基本原則是:求解任一問題都應(yīng)利用其方程組的結(jié)構(gòu)特性,下面將介紹一種迭代解法——共軛梯度法,其優(yōu)點(diǎn)正好體現(xiàn)于求解稀疏、對稱及正定的方程組的效率上。
根據(jù)式(1),設(shè)任意n為向量p,且力密度矩陣 Q為對角矩陣,其中對角元素 q(i,i)>0,(i=1,n),則:
所以方程組系數(shù)矩陣(CTQC)為對稱正定矩陣。
表1 共軛梯度法與Gauss消去直接法找形結(jié)果對比表
表2 共軛梯度法與Gauss消去直接法計(jì)算耗時(shí)對比表
根據(jù)以上算法,本文編制了相應(yīng)的程序,并進(jìn)行了算例分析。
本算例為馬鞍形膜結(jié)構(gòu),采用矩形網(wǎng)格劃分,劃分間距為0.5 m,膜面預(yù)應(yīng)力為1.0 kN/m,膜網(wǎng)內(nèi)部力密度值為1.0 kN/m,邊索力密度值為14.0 kN/m。結(jié)點(diǎn)總數(shù)為552,其中4個(gè)為固定結(jié)點(diǎn),坐標(biāo)分別為 99 000 001(12,16,4),99 000 002(3,10,0),99 000 003(12,1,4),99 000 004(20,9,0)。單元總數(shù) 1 000,其中“T”單元總數(shù)為128。
本文編制的程序計(jì)算迭代166次,滿足終止準(zhǔn)則‖r‖2<1×e-6。圖1,圖2分別給出結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分、幾何零狀態(tài)時(shí)與找形后的平衡形狀的對比,表1,表2分別給出了共軛梯度法和Gauss消去直接法的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果及其計(jì)算耗時(shí)的比較。算例分析表明,本文算法精度高、收斂快,是求解力密度方程組的可靠、高效的數(shù)值分析方法,為力密度法應(yīng)用于大型膜結(jié)構(gòu)分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
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