劉兆霆 何 勁 劉 中

①(南京理工大學(xué)電子工程系 南京 210094)

②(康考迪亞大學(xué)電子與計(jì)算機(jī)工程系 加拿大)

1 引言

極化敏感陣列通常是由電磁矢量傳感器(EmVS)按一定空間位置排列組成的陣列，可同時(shí)測(cè)量目標(biāo)的空間和極化角度信息，因此EmVS在陣列信號(hào)處理方面得到了廣泛的應(yīng)用，提出一系列目標(biāo)參數(shù)估計(jì)算法[1?11]。這其中，文獻(xiàn)[6]通過(guò)對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)導(dǎo)向矢量進(jìn)行向量叉積(vector cross-product)得到目標(biāo)DOA和極化參數(shù)估計(jì)，該方法無(wú)需陣元的位置信息，因此可以采用陣元任意分布的陣列結(jié)構(gòu)，并且陣元間隔大于半波長(zhǎng)時(shí)不會(huì)出現(xiàn)估計(jì)值的模糊問(wèn)題，但增加陣元間隔對(duì)估計(jì)性能的改善作用不大。而文獻(xiàn)[7,8]采用EmVS均勻稀疏分布陣列，先得到模糊的DOA估計(jì)，然后通過(guò)去模糊處理得到目標(biāo)真正的DOA估計(jì)。該方法能夠通過(guò)增加陣元間隔顯著改善算法的DOA估計(jì)性能。然而，目前大多數(shù)算法都是基于特征值或奇異值分解[6?8,12?14](以得到信號(hào)/噪聲子空間)，運(yùn)算量比較大，因此不適合陣元較多以及需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)的情況。文獻(xiàn)[9]推廣了文獻(xiàn)[6]的方法，提出了一種基于傳播算子[9,10]的DOA估計(jì)算法，雖然有相對(duì)較低的運(yùn)算量，但和文獻(xiàn)[6]的方法一樣，增加陣元間隔不會(huì)明顯改善參數(shù)的估計(jì)性能。另外，上述的許多算法基于信號(hào)的協(xié)方差矩陣為非奇異的假設(shè)，因此也不適合處理在多徑環(huán)境下的相干信號(hào)。文獻(xiàn)[11]提出了一種解相干預(yù)處理技術(shù)，即極化平滑算法(PSA)，并結(jié)合MUSIC算法解決了利用EmVS陣列實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)的DOA估計(jì)問(wèn)題。相比空間平滑(SS)[12]算法，PSA沒(méi)有減少陣列的孔徑，但陣元間隔必須小于半波長(zhǎng)；雖然可采用陣元任意分布的陣列結(jié)構(gòu)，但需要2維搜索，運(yùn)算量較大。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文利用稀疏且均勻分布的EmVS矩陣陣列，推導(dǎo)了一種新的解相干預(yù)處理方法-協(xié)方差矩陣平滑(CMA)，由該方法得到的信號(hào)子空間包含不存在相位模糊的EmVS導(dǎo)向矢量，利用此特點(diǎn)可實(shí)現(xiàn)去模糊處理。論文結(jié)合CMA的可去模糊性和PSA具有不減少陣列孔徑的優(yōu)勢(shì)，采用傳播算子實(shí)現(xiàn)了相干信號(hào)的DOA估計(jì)，無(wú)需奇異值分解和角度搜索，有相對(duì)較低的運(yùn)算量；并且通過(guò)增加陣元間隔其估計(jì)性能能夠得到顯著改善。

2 信號(hào)模型

考慮K個(gè)全極化相干窄帶平面波信號(hào)從不同方向入射到EmVS均勻分布的L×M矩形陣列[7,8]，其中L和M分別表示與x和y軸平行的陣元個(gè)數(shù)。令第k個(gè)入射波參數(shù)為(θk, ?k, γk, ηk)，其中0≤?k＜2π，0≤θk＜π/2分別表示該入射波的方位角(與x軸夾角)和仰角(與z軸夾角)，而0≤γk＜π/2和?π≤ηk＜π為其極化參數(shù)。不失一般性，考慮6分量EmVS，它是由相互正交且共點(diǎn)的3偶極子加三3磁環(huán)單元構(gòu)成的，其6×1維導(dǎo)向矢量ck=[c1,k,…,c6,k]可表示為

其中Θ(θ, ?)=[χ1, χ2]和g(γ, η)=[sinγejηcosγ]，且b(θ, ?)=[cos?cosθ,sin?cosθ,?sinθ]T,b(θ, ?)=12[?sin? cos?]T，。對(duì)于陣列的第(l,m)個(gè)陣元，其在時(shí)刻t所得到的6×1維測(cè)量矢量為

其中sk(t)表示第k個(gè)信號(hào)的復(fù)包絡(luò)。在入射波信號(hào)為全相干的情況下，sk(t)可表示為sk(t)=(t)，β為一非零復(fù)常數(shù)；=ej2πΔxukλ和q=kλ分別表示平行于x軸和y軸方向相鄰v陣,k元的空間相位因子，Δx和Δy分別表示x和y方向的陣元間隔，λ為波長(zhǎng)；nl,m(t)表示高斯白噪聲矢量。整個(gè)矩形陣列的6LM×1維導(dǎo)向矢量可表示為qu(uk)?qv(vk)?ck，其中qu(uk)=[qu,k,…,]T,qv(vk)=[qv,k,…,]T, 而?表示Kronecker積。

3 協(xié)方差矩陣平滑(CMA)算法

第(l,m)個(gè)陣元和第(a,b)個(gè)陣元測(cè)量矢量的協(xié)方差矩陣可表示為

且N=M－K+1;ak?qu(uk)?(vk)?ck;(vk)=[qv,k,…,]T;V=[v0,…,vK?1],vn=diag(,…,)；H(a,b)=?Γ(a,b)，Ii是i×i單位陣，矩陣 W(a,b)由相應(yīng)的LM個(gè)噪聲協(xié)方差矩陣(l=1,…,L; m=1,…,M)構(gòu)成。容易證明的秩為K，且可得到平滑矩陣

其中? =V[H(1,1),…,H(1,M),…,H(L,M)]，W=[W(1,1),…,W(1,M),…,W(L,M)]。

文獻(xiàn)[11]提出的PSA也是一種解相干預(yù)處理方法，它首先計(jì)算矢量陣列中EmVS的6個(gè)測(cè)量分量的自相關(guān)矩陣Ri=Q(ΛiRsΛi)HQ+Rw,i(i =1,…,6)，其中Λi=diag(ci,1,…,ci,K)，Rs和Rw,i分別為信號(hào)和噪聲的協(xié)方差矩陣，Q=[qu(u1)?qv(v1),…,qu(uK)?qv(vK)]為L(zhǎng)M×K維Vandemonde矩陣。由于信號(hào)相干，Q(ΛiRsΛi)HQ 為秩虧矩陣，但是當(dāng)K≤6時(shí)，可通過(guò)對(duì)相關(guān)矩陣Ri(i=1,…,6)進(jìn)行相加平滑得到滿秩矩陣=R1+,…,+R6。PSA的好處是不存在陣列孔徑的損失，因此有更低的估計(jì)誤差。但PSA處理的相干信號(hào)的個(gè)數(shù)受所采用的EmVS類型的限制；對(duì)于基于PSA的子空間方法，矩陣Q張成信號(hào)子空間，且其只包含空間相位因子qu,k和qv,k，當(dāng)陣元間隔大于半波長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)qu,k和qv,k得到的方向余弦估計(jì)存在周期性的相位模糊，因此利用PSA無(wú)法實(shí)現(xiàn)去模糊處理。而對(duì)于CMA算法，從式(6)的協(xié)方差平滑矩陣R可以看出，A張成其信號(hào)子空間，且A不僅包含空間相位因子qu,k和qv,k，也包含導(dǎo)向矢量ck，而ck中的元素不存在相位模糊，因此可以利用CMA算法的特點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)去模糊處理。

4 基于傳播算子方法(PM)的DOA估計(jì)

其中P表示K×(LM-K)維線性算子或傳播算子矩陣[9,10]。相似地，極化平滑矩陣可分割為兩個(gè)子矩陣=[,]H，其中和分別由的前K行和后LM-K行構(gòu)成。因此可通過(guò)下面的式子得到傳播算子矩陣P的估計(jì)

利用得到的傳播算子矩陣P，分別計(jì)算空間相位因子qu,k和qv,k，從而得到信號(hào)的方向余弦。當(dāng)陣元間隔大于半波長(zhǎng)時(shí)，結(jié)合CMA算法實(shí)現(xiàn)方向余弦的去模糊處理。

4.1 相位因子qu,k和qv,k的估計(jì)

同樣為了得到qv,k估計(jì)，定義和且

其中Π1和Π2為兩個(gè)塊對(duì)角矩陣，分別包含L個(gè)對(duì)角塊和，則=Dv，Dv=diag(qv,1,…,qv,K)，因此存在算子矩陣P使得=[()T,(Dv)T,從而可通過(guò)特征值分解得到相位因子{qv,k, k =1,…,K}，其中Pv,1，Pv,3，和的定義類似于Pu,1，Pu,3，和。

命題1 分割算子矩陣P=[P1, P2,…, PL]，使得P1為K×(M-K)維子矩陣，而Pi(i=2,…, L)為K×M維子矩陣，那么Pu能表示為Pu=[P1,P2,…,PL?1, P2,…, PL]。

由命題1和命題2可以知，算子矩陣Pu和Pv可通過(guò)P直接變換得到，無(wú)需重新計(jì)算；另外，Pu ,3和P的特征值分解具有相同的特征矢量集，因此v,3在實(shí)際的應(yīng)用中，估計(jì)值{,k=1,…,K}和{,k=1,…,K}可通過(guò)它們對(duì)應(yīng)的特征矢量關(guān)系實(shí)現(xiàn)配對(duì)[6]。

4.2 去模糊處理

與文獻(xiàn)[7]提出的基于ESPRIT的孔徑擴(kuò)展算法相比，本文的算法(PSA/CMA-PM)有兩個(gè)優(yōu)勢(shì)：其一是有相對(duì)較低的運(yùn)算量。本文提出算法主要是涉及兩個(gè)傳播算子矩陣P和P的計(jì)算，共需要的計(jì)算量(乘法單元數(shù))級(jí)為O(7LMKF－6LK2F+6LKF)[9,10]，其中F表示快拍數(shù)；而ESPRIT算法[7]需要特征值分解來(lái)獲得信號(hào)/噪聲子空間，相應(yīng)的運(yùn)算量為O((6LM)2F)。分析可知本文算法與ESPRIT算法[7]的比值小于O(7K/36LM)，且陣元越多，本文算法所表現(xiàn)出來(lái)在計(jì)算量上的優(yōu)勢(shì)就越明顯。其次，本文能夠?qū)崿F(xiàn)相干信號(hào)的DOA估計(jì)，而ESPRIT[7]不能。事實(shí)上，我們也能夠結(jié)合PSA和CMA解相干技術(shù)以及ESPRIT子空間算法，實(shí)現(xiàn)孔徑擴(kuò)展及相干信號(hào)的DOA估計(jì)，但這種算法(PSA/CMA-ESPRIT)需要兩次特征值分解，運(yùn)算量較大。另外，本文提出的PSA/CMA-PM與文獻(xiàn)[9]基于PM的算法有相近的運(yùn)算量，但是本文提出的算法能夠處理相干目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)，且通過(guò)增加陣元間隔估計(jì)性能能夠得到顯著的改善。

5 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

在這節(jié)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證PSA/CMA-PM算法的性能，并與PSA/CMA-ESPRIT算法、ESPRIT[7]算法和PM[9]算法進(jìn)行比較。采用陣元均勻分布的4×5矩形極化敏感陣列(L=4, M=5)，且假設(shè)兩個(gè)方向的陣元間隔相等(Δ= Δx=Δy)。兩個(gè)相干信號(hào)的參數(shù)分別為θ1=55o，?1=70o，γ1=45o，η1= -90o和θ1=65o，?2=80o，γ2=45o，η2=90o，并定義DOA估計(jì)的均方根誤差(RMSE)為RMSEk=。進(jìn)行500次Monte-Carlo獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。

圖1比較了PSA/CMA-PM和PSA/CMAESPRIT兩種算法對(duì)第1個(gè)信號(hào)的DOA估計(jì)誤差與信噪比(快拍數(shù)為200)和采樣快拍數(shù)(SNR=20 dB)的關(guān)系。我們考慮了3種不同的陣元間隔Δ= λ/2，3×λ/2和8×λ/2。從圖中可以看出，對(duì)于不同的信噪比和采樣快拍，采用更大的陣元間隔，兩種算法均能夠得到更好的估計(jì)性能。另外，雖然PSA/CMA-PM的運(yùn)算量大大低于PSA/CMA-ESPRIT，特別是在陣元較多和入射波信號(hào)較少的情況下，但是圖1顯示了其估計(jì)性能卻非常接近于PSA/CMAESPRIT。

圖2分別針對(duì)相干和非相干信號(hào)給出了PSA/CMA-PM，PSA/CMA-ESPRIT，ESPRIT[7]和PM[9]4種算法對(duì)第1個(gè)信號(hào)的DOA估計(jì)誤差與陣元間隔的關(guān)系，采樣快拍為200，信噪比為20 dB。從圖2(a)可以看出，ESPRIT[7]和PM[9]算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)相干目標(biāo)的DOA估計(jì)，而對(duì)于PSA/CMA-PM和PSA/CMA-ESPRIT兩種算法，其估計(jì)誤差隨著陣元間隔的增大而顯著下降。但當(dāng)陣元間隔大于40×λ/2時(shí)，估計(jì)性能出現(xiàn)不穩(wěn)定，這是由于陣元間隔Δ的增加引起模糊估計(jì)值數(shù)量的增加，同時(shí)它們之間的差值λ/ Δ在減少，從而使得在式(11)中出現(xiàn)了錯(cuò)誤判決，且這種錯(cuò)誤判決的概率也在增加，因此導(dǎo)致估計(jì)誤差可能反而變大。而對(duì)圖2(b)中的非相干目標(biāo)，增加陣元間隔使得ESPRIT[7]算法的估計(jì)誤差也出現(xiàn)了明顯的下降，且與PSA/CMA-PM和PSA/CMA-ESPRIT表現(xiàn)出相近的估計(jì)性能；而PM[9]的估計(jì)誤差沒(méi)有明顯的變化，事實(shí)上，該方法通過(guò)空間/極化旋轉(zhuǎn)不變特性，利用PM的方法得到EmVS導(dǎo)向矢量ck的估計(jì)，然后根據(jù)向量叉積直接得到方向余弦uk和vk的估計(jì)，無(wú)需陣元的位置信息，因此該方法的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)陣元間距大于半波長(zhǎng)時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)角度估計(jì)模糊現(xiàn)象，但是通過(guò)增加陣元間隔所得到估計(jì)性能的改善是有限的。

6 結(jié)論

本文采用電磁矢量陣列提出了一種新的解相干預(yù)處理算法—協(xié)方差矩陣平滑(CMA)，當(dāng)陣元間隔大于半波長(zhǎng)時(shí)，基于CMA的子空間方法能夠?qū)ο喔赡繕?biāo)DOA估計(jì)值實(shí)現(xiàn)有效的去模糊處理。論文首先利用極化平滑算法不減少陣列孔徑的特點(diǎn)，通過(guò)傳播算子得到高分辨但模糊的DOA估計(jì)；然后通過(guò)CMA構(gòu)造信號(hào)/噪聲子空間實(shí)現(xiàn)去模糊處理，得到目標(biāo)實(shí)際的DOA估計(jì)。算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程無(wú)需奇異值分解和角度搜索，因此有相對(duì)較低的運(yùn)算量。

圖1 DOA估計(jì)誤差與信噪比和快拍數(shù)量的關(guān)系

圖2 DOA估計(jì)誤差與陣元間隔的關(guān)系

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