鄭雁翎，王 寧，李洪杰，張冠軍

(1.西安交通大學電氣工程學院電力設備電氣絕緣國家重點實驗室，陜西西安710049;2.寶雞文理學院電子電氣工程系，陜西寶雞721007)

0 引言

電力電纜在運行過程中，由于線芯電流引起絕緣層、金屬屏蔽層和鎧裝層損耗發(fā)熱，使電纜各部分的工作溫度升高，電纜在過高溫度下工作，將會導致絕緣材料加速老化，縮短了電纜的壽命。根據運行中的經驗，規(guī)定了電纜所允許的長期和短期最高工作溫度。由此電纜的載流量實際可分為三種:

(1)長期運行持續(xù)額定電流(Continuous current rating，對交聯(lián)聚乙烯(XLPE)絕緣電纜，其載流量對應于電纜線芯溫度達90°C時的穩(wěn)態(tài)工作電流);

(2)瞬時短路電流(Momentary short-circuit current，XLPE絕緣電纜短路時允許最高工作溫度達250°C，最常持續(xù)時間不超過 5 s［1］);

(3)短時允許過載電流(Short-time thermal rating，XLPE絕緣電纜超載時允許的最高工作溫度達130°C，時限100 h，不得超過5 次［2］)。

電力電纜的載流量是電纜運行中受環(huán)境條件和負荷影響的重要動態(tài)參數，其重要性涉及到輸電線路的安全可靠、經濟合理的運行以及電纜壽命問題。電纜的載流量偏大，會造成纜芯工作溫度超過允許值，絕緣的壽命就會比預期值縮短;載流量偏小，則電纜芯銅材或鋁材就不能得到充分的利用，導致不必要的浪費［3，4］。

電力電纜載流量的確定是一個困難和繁瑣的問題，特別是對于運行條件復雜的場合，如大量的直埋敷設及排管敷設的情況。隨著城市的發(fā)展，這些敷設方式的應用越來越廣泛，且電纜敷設的密集程度也越來越高，運行的環(huán)境也變得更加復雜。目前，電力電纜載流量的確定有解析計算、數值計算和試驗等三種方法，而試驗的方法往往存在成本大、周期長、通用性差等問題。本文對電纜載流量計算方法的發(fā)展過程進行了較為系統(tǒng)的綜述。

1 電力電纜載流量的解析計算

解析計算主要是基于IEC標準和NM理論，適用于簡單電纜系統(tǒng)和邊界條件，具有載流量直接計算的優(yōu)點。

1.1 IEC標準

國際電工委員會(IEC)標準在1957年在McGrath論文的基礎上，結合1957年之后載流量的算法改進，于1982年提出了電纜額定載流量(100%負荷因數)計算標準IEC 60287(國內相對應的標準是JB/T 10181—2000)，1985年提出電纜暫態(tài)載流量計算標準IEC 60853。標準中給出的載流量計算方法與NM方法在原理上相似，它不僅包括了NM方法的全部計算公式，而且對不同電纜類型及敷設條件的載流量計算加以區(qū)分，將單芯電纜中的環(huán)流和渦流損耗計算擴展到有鋼帶的兩芯和三芯電纜，并且添加了大截面分割導體電纜的渦流損耗計算(這點在NM方法中被忽略)，可以說它比NM的內容更全面。從形式上看，兩者的計算公式似乎完全不同，這是因為兩者所用的長度單位不同，NM方法的單位是英制單位(英寸)，而IEC標準中的單位是公制單位(米)，實質上是一致的。IEC 60287經逐年的修正補充后已趨于完善。

新版IEC 60287在適應電纜多樣化使用方面仍不足，雖然根據標準中的公式可以很方便計算載流量，但部分算法又過于繁瑣，計算結果也偏于保守。

目前各國電纜產品及其載流量大都已向IEC靠攏。國際上發(fā)達國家以及國際貿易都以IEC 60287標準作為制訂電纜產品額定載流量依據。

我國電纜載流量方面的研究始于20世紀60年代中期。隨著我國電工產品向IEC靠攏，電線電纜產品國家標準已基本等同IEC相應的標準，電纜載流量計算標準亦等同IEC的相應計算標準。我國尚未有對應于IEC 60853的國內標準。

各國對電纜運行條件參量的期望值存有很大差別，IEC標準提倡從不同的角度出發(fā)，各個國家規(guī)定相應的值。特別是土壤熱阻系數，對土壤的含水量非常敏感，隨時間可能有明顯的變化，取決于土壤的類型、地勢、氣象條件和電纜負荷。對于特殊結構電纜或特殊敷設條件下仍提倡試驗解決，一些未解決的問題正在進一步考慮之中。

1.2 NM理論

關于電纜載流量計算的研究最早開始于19世紀后期和20世紀初期，計算方法非常粗略和簡單。隨后Neher和McGrath進行了進一步的研究，并在1957年提出了關于電纜載流量及其溫升的計算方法［5］，后來被稱為NM方法。Neher和McGrath的工作基于以下幾種假設:(1)大地表面為等溫面;(2)電纜表面為等溫面;(3)電纜及其周圍土壤的熱阻率不變;(4)疊加原理適用。他們首次較完整地研究了不同類型電纜的幾何參數和安裝條件對導體溫度的影響，分析了電纜導體到周圍環(huán)境中的溫度分布和電纜的散熱情況，并通過簡化的熱路模型計算出不同敷設條件下的載流量。

當電流通過電纜導體時，導體電阻產生損耗從而引起導體的溫升。所產生的熱能，一部分貯存在導線及絕緣材料內，其余的熱能以傳導形式經絕緣材料傳遞給電線或電纜的表面，然后通過對流及輻射傳遞給周圍環(huán)境。導線與絕緣介質之間、絕緣介質與周圍環(huán)境之間存在熱阻，即為熱能的傳遞途徑，如圖1所示。

圖1 電纜的簡化熱路模型

NM方法需要明確電纜的幾何參數和敷設條件，建立熱路模型，從而計算熱路中串聯(lián)的各個熱阻，然后各熱阻值相加，得到電纜導體到周圍環(huán)境的總熱阻值，最后利用導體的電流與導體到電纜周圍環(huán)境溫升之間的函數關系計算出導體的電流。計算公式如下［5］:

或

式中，I為導體電流(kA);Rac為導體交流電阻(μΩ/ft);為電纜導體到周圍環(huán)境的總熱阻(℃·ft/W);Tc為導體溫度;Ta為電纜周圍的環(huán)境溫度(注:1 ft=0.304 8 m)。

NM方法作為一種比較簡單、完整的電纜載流量計算方法被普遍接受，他們的研究工作是IEC 60287 的基礎［6］。

1.2.1 NM算法的不足

Neher-McGrath所做的假設限制了NM算法的精確性。

(1)在NM方法中，認為土壤的熱阻僅與地下多根電纜敷設的幾何參數有關，且每根電纜的發(fā)熱量相同，從而簡化了計算模型，這將導致NM方法計算出的載流量值偏小。

(2)假設電纜槽的矩形表面和電纜表面是等溫面，但隨著季節(jié)變化地下電纜的實際溫度分布并非如此。這些約束使NM方法計算載流量存在缺陷。

(3)認為土壤的熱阻率值是不變的，沒有考慮電纜散熱對土壤的影響，但是如果在電纜傳熱的影響下，尤其是因土壤的水分遷移而引起土壤干燥，其熱阻系數會發(fā)生很大變化，從而影響電纜載流量。

圖2 不同位置電纜溫度示意圖

1.2.2 NM方法算法的改進

NM方法是電纜載流量計算的基本方法，在上世紀80年代以前，大量的電纜載流量試驗和分析都是基于NM方法的。隨著各學科技術和工業(yè)技術的發(fā)展，電纜的敷設環(huán)境和相應的計算模型越來越復雜，NM方法的不足表現得更加明顯，載流量的計算成為研究者更為關注的問題。為了提高載流量計算的精確性和拓展其適用性，對NM方法中的參數和模型不斷地進行修正以及算法改進。Sellers和Black在1996年從以下三個方面改進［8］:(1)考慮到不同負荷電纜的散熱量不等，修正熱影響參數，以此提高了載流量計算的精確度;(2)改進管道和溝道中電纜周圍流體層熱阻的算法，具有現實意義;(3)修正混凝土加固電纜槽形體的邊界熱阻的表達式，更加準確計算電纜的載流量。

1.3 現有計算中存在的問題

NM理論、IEC 60287和IEC 60853都是建立在解析和經驗的基礎上，而實際敷設情況是千變萬化的，這就造成了NM理論、IEC 60287和IEC 60853在很多場合下的局限性。

(1)IEC 60287僅給出了單回路電纜的鄰近效應計算公式，而實際常常多個回路以集群方式敷設在一起，而回路間的電磁感應對電纜導體鄰近效應的影響、對金屬套內渦流損耗及環(huán)流損耗的影響等都不能忽略。

(2)IEC標準是在給定電纜導體和金屬套溫度的基礎上確定兩者的電阻率，然后計算損耗，而實際中不同位置電纜的導體和金屬套溫度往往不同(如圖3所示［18］)，導致電阻率不同、損耗不同，反過來又造成電纜的導體和金屬套溫度的不同，即溫度場計算實際上是一個電磁場和熱場的耦合計算問題。

(3)IEC標準中對電纜間熱效應的相互影響是建立在NM理論假設的基礎上，利用鏡像法進行計算。實際上地表不是等溫面，電纜表面也不是等溫面(如圖2所示);地下深層溫度保持在一個恒定的溫度;電纜周圍往往有回填土，并非敷設于單一介質中［19-23］。因此，電纜集群方式敷設時電纜間熱效應的相互影響不能按半無限大平面場利用鏡像法進行疊加計算。

(4)對于水分遷移的影響，IEC標準中以電纜外表面溫度是否超過50°C作為考慮土壤水分遷移的分界線。實際中在電纜附近的土壤呈現干燥狀態(tài)，而隨著遠離電纜逐漸變?yōu)樽匀煌寥溃?4-26］。如果整個土壤按干燥考慮，載流量勢必偏小。

(5)對于排管敷設、隧道敷設、溝槽敷設等方式，標準中給定的是根據經驗總結的計算公式，而實際中存在空氣自然對流、熱輻射和熱傳導等三種導熱方式的耦合，涉及到流體力學、傳熱學等相關知識，需要耦合求解動量方程、能量方程和連續(xù)性方程來計算，簡單的經驗公式往往存在較大的誤差。

(6)對于電纜附近有外部熱源(如熱力管道)或局部穿過不利于熱擴散區(qū)域等敷設情況下，標準中沒有給定相應的計算公式。

(7)電力部門需要動態(tài)調整負荷，而這需要實時了解線路周圍的相關環(huán)境參數和導體溫度，并據此確定載流量。標準中給定方法對此無能為力。

2 電纜載流量的數值計算

有限元法、邊界元法、有限差分法和優(yōu)先容積法等，是目前電纜溫度場的主要數值計算方法。下面分別對幾種數值計算方法進行簡單介紹。

2.1 有限元法

有限元法(FEM)在原理上是有限差分法和變分法中里茲法的結合。它對表示物理場的微分方程的變分問題作離散化處理，將場域劃分為有限小的單元，并使復雜的邊界分段屬于不同的單元，然后將整個場域上泛函的積分式展開成各單元上泛函積分式的總和。其中每個單元的頂點就是未知函數的取樣點，它類似于差分法中的節(jié)點。各單元內試驗函數采用統(tǒng)一的函數形式(如多項式等)，其待定系數取決于本單元各項點上的函數取樣值。泛函極小值的條件是泛函對試驗函數中各待定系數的偏導數等于零，據此列出差分近似的代數方程組，并直接計算結點函數值的數值解，再確定試驗函數以表示各單元內函數的近似解。

1973年Flatabo通過有限元的方法計算地下電纜熱暫態(tài)運行(熱暫態(tài)指電纜運行中溫度隨時間變化的動態(tài)情況)的問題。暫態(tài)導熱方程如下［10］:

式中，溫度T為x、y和t的函數;k為導熱系數;q為單位體積內的能量轉換速率(產熱率);C為熱容系數。

通過構造暫態(tài)導熱方程的泛函:

采用泛函的變分計算，將變分問題轉化為多元函數求極值的問題，取得近似解代替微分方程的求解。

1985年EL-Kady采用有限元法求解電纜管道外部(水泥槽和土壤之間)的熱阻［7］。對所求的邊界區(qū)域進行離散，建立離散方程，然后求解方程。他認識到了溫度梯度造成的水分遷移以及水分含量對土壤導熱系數的影響，但計算中仍忽略了水分遷移的影響，而且這些計算只應用于有限的條件。此后，Anders等人進一步利用有限元法對電纜的載流量進行了計算。

近年來國內梁永春、孟凡風［16，17］等人根據地表對流和深層土壤溫度不變的原則，建立了如圖3的電纜群溫度場模型［16］。將地下電纜群開域溫度場等效為閉域溫度場，利用有限元法分析了給定電纜負荷電流的地下電纜群閉域溫度場分布，采用弦截法計算地下電纜群載流量，但僅考慮地下電纜群的溫度場為穩(wěn)態(tài)溫度場，電纜群為等負荷、等截面。

圖3 單回路土壤直埋電纜溫度場模型

上述方法中，有限元法適合處理復雜的邊界條件，對于分析復雜電纜群的溫度場和計算載流量是一種有效的方法。

2.2 邊界元法

邊界元法(BEM)與有限差分法相反，其所選擇的函數滿足區(qū)域內的支配方程，而后用這些函數去逼近邊界條件。邊界元法的優(yōu)點在于考慮計算區(qū)域的邊界，由于積分是在邊界上進行的，采用此法可將三維的問題簡化為二維問題、二維的問題化為一維問題來處理，使其數值計算較為簡單。此外，由于此法是直接建立在基本微分方程和邊界條件基礎上，不需要事先尋求任何泛函，適當變換后，還能解決隨時間變化的物理場問題。

1988年Gela采用邊界元法來解地下電纜溫度場［11］，而不是計算區(qū)域的內部，這就使計算量從三維簡化為二維。而且內部區(qū)域不需要劃分網格，計算量明顯低于區(qū)域型的計算方法，如有限元法或有限差分法。邊界元法在無窮遠處截斷區(qū)域作為邊界，不需像有限元或有限差分法那樣布置一個人為的邊界，認為這個邊界上的溫度等于環(huán)境溫度。但是當處理一個具有多層土壤的實際電纜溝問題或具有多根電纜敷設的問題時，邊界元法的邊界太多太復雜，計算量變得特別大。

2.3 有限差分法

在物理場數值分析的計算方法中，有限差分法(FDM)是應用最早的一種。直到今天，它仍以其簡單、直觀的特點而被廣泛應用。有限差分法以差分原理為基礎，它實質上是將物理場連續(xù)場域的問題變化為離散系統(tǒng)的問題求解，也就是通過網格狀離散化模型上各離散點的數值解來逼近連續(xù)場域的真實解。在有限差分法中，在區(qū)域內根據位置來改變網格的步長是很費時的，而且在接近曲線邊界時，邊界就不可能與節(jié)點相一致，由此引起的誤差不能忽視。因此，有限差分法很難表示復雜的邊界條件，不易處理復雜問題。

1993年Hanna采用有限差分法來計算電纜溝中電纜的散熱情況［12，13］。其數學模型為將整個土壤區(qū)域分為自然土區(qū)域(mother soil)、回填土區(qū)域(backfill)和填充土區(qū)域(trench filling)，不同的區(qū)域導熱系數不同。

地面和大氣層之間存在導熱和對流傳熱。導熱算式由傅立葉公式確定，對流傳熱算式由牛頓公式確定。方程對于整個區(qū)域的每個特殊點均單獨列出其熱平衡表達式，以供編程時使用。計算中將電纜的表面看作等溫體，當給定載流量時，可以確定電纜的表面溫度;當給定電纜表面允許溫度時，可以確定電纜的載流量。Hanna很詳盡地對電纜溝形式的計算進行了敘述，但其程序不考慮電纜內部的結構，即假定各種類型、各種截面大小的電纜具有相同的載流量。

2003年王增強［3，14］等人采用有限差分法和坐標組合法相結合的方法，對土壤區(qū)域、電纜區(qū)域分別進行計算，最終確定電纜允許的載流量。雖然此方法考慮了土壤的水分遷移，也實測了不同土壤在各種條件下的導熱系數，但由于預埋管方式的載流量影響因素較復雜，且各層導熱系數不易確定，所以計算存在誤差，纜芯載流量值不是特別準確。

2.4 有限容積法

有限容積法將計算區(qū)域劃分為一系列控制容積，每個控制容積都有一個節(jié)點做代表。通過將守恒型的控制方程對控制容積做積分來導出離散方程。在導出過程中，需要對界面上的被求函數本身及其一階導數的構成做出假定，這種構成的方式就是有限容積法中的離散方式。

有限容積法適于流體計算，可以應用于不規(guī)則網格，適于并行，但是精度基本上只能是二階。

3 解析算法和數值算法的比較

目前，基于IEC標準的解析計算，其優(yōu)點是可以用簡單的公式即可近似計算電纜的載流量。但解析法僅能解決一些幾何上相對簡單的問題。如在載流量計算中，公式中的土壤的熱傳導率和熱容設為常數，并假設大地表面為等溫面，導體的電阻率為常數。

數值計算的方法是在給定電纜敷設、排列條件和負荷條件下對整個溫度場域進行分析，大地表面和電纜表面的溫度都是待求量，更加接近實際邊界條件。因此，數值方法更適合幾何、物理上比較復雜的問題，在分析復雜電纜系統(tǒng)中有很大的靈活性，計算的結果也比解析算法更準確。

在實際應用中，解析算法的應用要比數值算法普遍，其原因:(1)在NM模型和IEC 60287標準的基礎上，進行電纜載流量解析計算已沿用已久;(2)對于具有簡單結構和敷設的電纜系統(tǒng)而言，用數值計算反而更繁瑣。考慮到實際電纜的結構和材料，單芯電纜的等效熱路模型如圖4所示［4］。

圖4 單芯電纜的等效熱路模型

圖中，θ為導電線芯溫度;θ0為電纜表面溫度;W為導電線芯電阻損耗;Wd為絕緣介質損耗;λ1W為金屬護套(和屏蔽層)電阻損耗;λ2W為鎧裝層電阻損耗;λ1為金屬套(和屏蔽層)損耗系數;λ2為鎧裝層的損耗系數;T1、T2、T3分別為絕緣、內墊襯層、外護層的熱阻;T4為電纜和周圍媒質的熱阻。

根據圖4等效熱路模型可以建立電纜的載流量計算公式:

由上述的計算公式也可推廣到多芯電纜。采用上式計算電纜載流能力時，需要確定環(huán)境溫度、土壤的熱阻系數和熱容系數，若將這些參數簡單考慮為常數，對于環(huán)境溫差比較大的地區(qū)會產生較大的計算誤差。

4 結論與展望

本文綜述了國內外對電力電纜載流量基本計算方法的研究，但這些方法都沒有給出一種系統(tǒng)的、完整的方法，以解決載流量計算中存在的問題。

目前隨著電力電纜線路越來越趨向于密集敷設、電纜線路實際情況復雜多變、環(huán)境和運行條件的差異、熱阻系數、熱源分布等等諸多因素不易確定、以及載流量修正系數更是一個十分復雜的問題，研究載流量的合理計算是很有必要的。

當電纜本體確定后，載流量將取決于環(huán)境條件。建議在上述方法研究的基礎上，針對具體的實際問題，進行以下幾個方面的后續(xù)研究:針對不同敷設和負荷條件，實時監(jiān)測土壤中水分的遷移現象，動態(tài)測量土壤的熱阻系數，實現載流量的實時非線性數值計算;針對電纜群密集敷設、交叉敷設的情況，實現電纜位置、相位等的自動優(yōu)化計算，最大限度地提高電纜群的載流能力;針對電磁場和溫度場的有限元模型進行研究，實現兩者的直接耦合計算，同時引入智能算法，實現溫度場計算基礎上的載流量預測;此外需要制定一個符合我國國情的基準環(huán)境條件(環(huán)境溫度、土壤熱阻系數、空氣自然對流、敷設方式及周圍環(huán)境狀況等)，并確定具有代表性的數據作為基準條件下的計算參數數值。

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