■蔡青

由一道循環(huán)小數(shù)題引發(fā)的思考

■蔡青

在小學五年級數(shù)學教學中涉及到一個知識點——循環(huán)小數(shù)。而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)。有這么一道題：“0．3103103103……是（）小數(shù)，可簡記為（），循環(huán)節(jié)是（）?！蔽艺J為解決這道題的關(guān)鍵是要正確理解一個概念——循環(huán)節(jié)，因為對于一個循環(huán)小數(shù)，判斷它是純循環(huán)小數(shù)還是混循環(huán)小數(shù)，是根據(jù)這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的起點位置來確定的。循環(huán)節(jié)從小數(shù)點后第一位開始出現(xiàn)的就是純循環(huán)小數(shù)，不是從小數(shù)點后第一位開始出現(xiàn)的就是混循環(huán)小數(shù)。

而循環(huán)節(jié)到底該如何確定，在許多教師中存在爭議。就拿這一題來說，有的老師說：“0．3103103103．…．…是一個混循環(huán)小數(shù)，簡寫為0．3103,循環(huán)節(jié)是103?！崩碛墒牵貉h(huán)節(jié)在最后不可能出現(xiàn)半個循環(huán)節(jié)，它只能以整循環(huán)節(jié)的形式出現(xiàn)，書上循環(huán)小數(shù)的例子很多，如教材（第九冊）第28頁：3．33……，6．416416……，15．438438……都是這樣，還沒有哪一個說出現(xiàn)半邊循環(huán)節(jié)的。打個比方說：循環(huán)節(jié)就像自行車上的鏈條，是一節(jié)一節(jié)的，是一環(huán)套一環(huán)的，不可能出現(xiàn)半節(jié)鏈條。而有的教師認為：“0．3103103．10．3……是一個純循環(huán)小數(shù)，簡寫為0．310,循環(huán)節(jié)是310。”理由是：它的循環(huán)節(jié)是從小數(shù)點后第一位開始出現(xiàn)的，最后出現(xiàn)的并不是一個完整的循環(huán)節(jié)，這恰恰是出題者設(shè)置的陷阱，再說，書上并沒有明文規(guī)定說循環(huán)節(jié)必須以整循環(huán)節(jié)的形式出現(xiàn)。

一時間，這兩種對立的看法爭執(zhí)不下，因為這兩種觀點的理由都不足以說服對方。那么，到底誰對誰錯呢？為了搞清楚這個問題，我們還是先看看循環(huán)節(jié)的定義：“一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中依次重復出現(xiàn)的一個或幾個數(shù)字叫做循環(huán)節(jié)?！倍x中并沒有明文規(guī)定究竟以哪一個數(shù)字為起點，因此出現(xiàn)爭議。根據(jù)定義，0．3103103103……的循環(huán)節(jié)可以是310，也可以是103，還可以是301310。為了避免引起混亂，一般采取把小數(shù)中最先按一定順序重復出現(xiàn)的那一個數(shù)字定為循環(huán)節(jié)的起點，并將重復出現(xiàn)的最少位數(shù)定為一個循環(huán)節(jié)。也就是說，確定循環(huán)節(jié)的位置需要附加兩個標準：“最先”和“最少”。所以，0．3103103103…．…．是一個純循環(huán)小數(shù)，可以簡記為0．310，循環(huán)節(jié)是310。第一種觀點違反了“最先”這一標準，因而不正確。

當然，我們還可以通過分數(shù)與循環(huán)小數(shù)的互化來證明這一點。首先，我們把這個小數(shù)化成分數(shù)。

①如果按第一種觀點，把這個小數(shù)按混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)，過程如下：

（分子為小數(shù)點后第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)末的數(shù)字組成的數(shù)減去非循環(huán)數(shù)字組成的數(shù)所得的差，分母由“9”和“0”組成，“9”的個數(shù)為循環(huán)節(jié)的位數(shù)，“0”的個數(shù)為非循環(huán)部分的位數(shù)。）

②如果按第二種觀點，把這個小數(shù)按純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)，過程如下：

（分子為循環(huán)節(jié)，分母由“9”組成，“9”的個數(shù)為循環(huán)節(jié)的位數(shù)。）

顯然，兩種結(jié)果一樣，說明它只符合一種情況。到底是哪種情況呢？我們通過一個定理來加以判斷。定理：一個最簡分數(shù)，它的分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)時，它所化的小數(shù)是純循環(huán)小數(shù)；若分母既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，它所化的小數(shù)是混循環(huán)小數(shù)。根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法可以知道，是一個最簡分數(shù)，其分母999=3× 3×3×37。所以，0．3103103103……是一個純循環(huán)小數(shù)。

通過這一題我們可以看出，它是循環(huán)小數(shù)中的一個特例。事實上，在數(shù)學各知識點中，特例是普遍存在的，如“四舍五入”法在特殊情況下卻有四入五舍，相背而行的行程問題是相遇問題中的特例等。作為數(shù)學老師，我們應該實事求是，客觀地面對數(shù)學中的特例，絕對不能單憑主觀臆斷而誤人子弟。

武漢市新洲區(qū)汪集街馮鋪小學）

任編輯 廖林