曹金亮,劉志文,徐友根

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院,北京 100081)

1 引言

空間信號(hào)DOA估計(jì)一直是陣列處理研究的一個(gè)重要問題。隨著跳頻、擴(kuò)頻、線性調(diào)頻信號(hào)等寬帶信號(hào)的廣泛應(yīng)用,寬帶信號(hào)的檢測(cè)和定位越來越受到人們關(guān)注。目前,寬帶信號(hào)DOA估計(jì)算法主要有最大似然方法(M LM)和信號(hào)子空間方法(SSM)兩類。M LM運(yùn)算量極大,難以具體實(shí)現(xiàn)[1-2]。SSM具有相對(duì)小的計(jì)算量和較高的分辨率,因而更受關(guān)注。

SSM最初是由Schm idt[3]等人針對(duì)窄帶信號(hào)提出的,寬帶源模型下導(dǎo)向矢量依賴于頻率參量,一般是通過DFT或窄帶帶通濾波器組將寬帶信號(hào)分解為多個(gè)窄帶信號(hào),再進(jìn)行處理。按照處理方式的不同,SSM可分為基于不相干(ISM)[4]和基于相干(CSM)[5]兩類。

隨著研究的深入,人們提出了更多寬帶DOA估計(jì)算法,這些算法的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在消除預(yù)估計(jì)[6-7]、提高估計(jì)性能[8-11]以及減小運(yùn)算量[12]等幾個(gè)方面。其中有不少算法與最初的CSM方法一樣都屬于聚焦類算法,這些算法給出了不同的聚焦矩陣構(gòu)造方法。文獻(xiàn)[10]提出了RSS方法,文獻(xiàn)[11]表明RSS方法是SST方法的一個(gè)特例,文獻(xiàn)[12]提出了M TLS方法,并且指出M TLS方法比RSS和SST有更小的運(yùn)算量。眾所周知,實(shí)時(shí)性在通信、雷達(dá)、聲納等應(yīng)用領(lǐng)域中是至關(guān)重要的,因而如何大幅度減小運(yùn)算量同時(shí)兼顧估計(jì)精度就成為實(shí)際應(yīng)用中面臨的重要問題。

本文通過對(duì)導(dǎo)向矢量矩陣的初等變換來構(gòu)造聚焦矩陣,并利用信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性得到一種簡(jiǎn)化的聚焦矩陣構(gòu)造方法。

2 頻域信號(hào)模型

式中,sp為第p個(gè)源信號(hào),nm(t)為第m個(gè)陣元上的噪聲,τm(θp)為第p個(gè)信號(hào)源到達(dá)第m個(gè)陣元相對(duì)于到達(dá)參考陣元的時(shí)延。假定nm(t)與入射信號(hào)不相關(guān),且在時(shí)域和空域均為白噪聲。假定觀測(cè)時(shí)間足夠長(zhǎng),第m個(gè)陣元輸出的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)為:

實(shí)際處理時(shí)是對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行DFT(假設(shè)為J點(diǎn)),從而把寬帶信號(hào)分解成多個(gè)窄帶信號(hào),寫成矢量形式為:

式中x(ωj)和n(ωj)分別為M×1維陣列輸出矢量和噪聲矢量,s(ωj)為P×1維信號(hào)矢量。A(ωj,θ)是M×P維導(dǎo)向矢量矩陣,其第p個(gè)列矢量為:

對(duì)于均勻線陣,τm(θp)=(m-1)d sinθp/c,其中d為陣元間距,c為信號(hào)傳播速度。為描述方便,將式(3)簡(jiǎn)寫為:

頻率ωj處的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為:

式中,Sj=E[sjs]。如果P個(gè)信號(hào)源不相關(guān),則P×P矩陣S j滿秩,通過特征值分解可以得到信號(hào)子空間F j和噪聲子空間W j為:

式中,y j,1,…,y j,M是相互正交的特征矢量,對(duì)應(yīng)于降序排列的各特征值。另外,由子空間類方法可知,Fj與A j(θ)張成的空間相同。

3 寬帶聚焦算法

寬帶信號(hào)的導(dǎo)向矢量依賴于頻率,每一頻率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣是不同的。CSM方法的中心問題是構(gòu)造J個(gè)聚焦矩陣,把不同頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣聚焦到某一參考頻率ω0處,即:

聚焦后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為:

式中,αj是正比于SNR的加權(quán)系數(shù),不失一般性,在后面仿真中假定αj=1。對(duì)聚焦后的協(xié)方差矩陣運(yùn)用窄帶子空間類方法,如MUSIC算法,就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)寬帶源的DOA估計(jì)。在實(shí)際情況下,各頻率點(diǎn)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣以及聚焦后的協(xié)方差矩陣只能通過估計(jì)得到:

由上文可知,聚焦的目的是找到矩陣T j,使得(9)式成立,那么聚焦類算法的關(guān)鍵就在于聚焦矩陣的選取,不同算法Tj的構(gòu)造方法也不同。為表述方便,以下將A j(θ)和A0(θ)分別簡(jiǎn)寫為A j和A0。

文獻(xiàn)[10]構(gòu)造聚焦矩陣的公式為:

式中‖?‖F(xiàn)表示二范數(shù),對(duì)(13)式進(jìn)行求解,可得

RSS聚焦矩陣為:

式中Uj和Vj分別為AjA的左右奇異矢量。文獻(xiàn)[10]表明,當(dāng)聚焦矩陣為酉矩陣時(shí),聚焦前后無信噪比損失。

文獻(xiàn)[12]給出了一種修正總體最小二乘聚焦算法,該方法通過矩陣極分解來構(gòu)造聚焦矩陣,最終的聚焦矩陣表達(dá)式為:

文獻(xiàn)[12]還指出,M TLS方法由于在構(gòu)造聚焦矩陣時(shí)不需要矩陣分解運(yùn)算,因而比其它聚焦類算法有著更小的運(yùn)算復(fù)雜度。

4 基于矩陣初等變換的新算法

由于每一頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣都是列滿秩的,即rank(A j(θ))=P,j=1,…,J,由矩陣分析理論知,存在M×M維滿秩矩陣Q j和Q0,使得

式中I P×P和O(M-P)×P分別為單位矩陣和零矩陣。因?yàn)镼0滿秩,故其逆矩陣存在,可得:

對(duì)比(17)和(9)式,顯然可以取T j=Q0-1Q j,所以聚焦矩陣的構(gòu)造問題,就轉(zhuǎn)化為確定兩個(gè)初等變換矩陣Q j和Q0的問題,下面討論如何確定Q j和Q0。

令Q j=[QTj1 QTj2]T,Q j1、Q j2分別為P×M和(MP)×M維矩陣,由(16)式得,Q j1 A j=I,Q j2 A j=O。根據(jù)上述關(guān)系,可以取

式中W j為式(8)所示的噪聲子空間。由于導(dǎo)向矢量矩陣與信號(hào)子空間張成空間是同一空間,并且信號(hào)子空間正交于噪聲子空間,可得:

同理構(gòu)造Q0,并得到其逆矩陣Q=[A0W0],此時(shí)聚焦矩陣為:

實(shí)際中是應(yīng)用聚焦矩陣Tj對(duì)頻域接收數(shù)據(jù)進(jìn)行變換,對(duì)于無噪頻域數(shù)據(jù)x j=A j s j,得:

則在構(gòu)造聚焦矩陣的過程中避免了特征分解。理論上,此時(shí)有T j A j=A0,稱之為完美聚焦,但實(shí)際中真實(shí)DOA是需要估計(jì)的量,T j的構(gòu)造只能根據(jù)不太精確的DOA預(yù)估計(jì)值,即:

所以T j A j和A0不一定完全相等,但是可以通過迭代使不斷接近真實(shí)DOA值θ,從而逐漸實(shí)現(xiàn)完美聚焦。由(22)式得rank(T j)=P,實(shí)際中由簡(jiǎn)單方法(如CBF)得到DOA預(yù)估計(jì)值,可以通過在估計(jì)值附近加入幾個(gè)角度值來構(gòu)造聚焦矩陣,此時(shí)rank(T j)=P,為用于構(gòu)造T j的角度數(shù)目,一般取P≤＜M。

對(duì)比(15)和(22)兩式,可以看出在構(gòu)造聚焦矩陣時(shí),新方法比M TLS方法有更小的運(yùn)算量。如果按照(20)構(gòu)造聚焦矩陣,由式(10)可得,聚焦后數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的噪聲項(xiàng)為:

如果根據(jù)(22)式構(gòu)造聚焦矩陣,得:

這說明(22)式的聚焦矩陣能更好地抑制噪聲,從而有利于提高DOA估計(jì)性能。

綜上所述,本文算法流程如下:①應(yīng)用常規(guī)波束形成法進(jìn)行預(yù)估計(jì),在估計(jì)值附近再增加幾個(gè)值,得接收數(shù)據(jù)進(jìn)行分段,通過DFT得到每一頻點(diǎn)下的陣列采樣數(shù)據(jù);③按照式(22)構(gòu)造聚焦矩陣Tj;④根據(jù)式(10)得到聚焦后的協(xié)方差矩陣R;⑤應(yīng)用MUSIC等陣列處理高分辨算法獲得DOA估計(jì);⑥為了提高性能,可以重復(fù)步驟③～⑤,直到滿足設(shè)定的估計(jì)精度或終止條件。

5 計(jì)算機(jī)仿真及性能分析

設(shè)置仿真條件如下:8陣元均勻線陣(ULA),陣元間距為信號(hào)中心頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半。信號(hào)源為不相關(guān)的高斯平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),DOA為0°、20°,中心頻率均為300H z,相對(duì)帶寬均為66.7%,采樣頻率為1kH z,信號(hào)觀測(cè)時(shí)間為6.4s,分為100段,蒙特卡洛仿真次數(shù)為100。信噪比定義為單個(gè)陣元上單個(gè)信號(hào)與噪聲的功率之比,仿真中信噪比范圍為0dB～30dB。

為驗(yàn)證本文算法的有效性,實(shí)驗(yàn)一對(duì)RSS法、M TLS法和本文方法進(jìn)行了仿真。圖1給出了三種算法DOA估計(jì)偏差和均方根誤差(RMSE)隨信噪比的變化曲線。由圖1(a)～(b)可以看出三種算法都有著不錯(cuò)的估計(jì)偏差性能(偏差絕對(duì)值都在0.06°以內(nèi)),相比較而言新方法偏差最小,且隨著信噪比的增加呈減小趨勢(shì),RSS和M TLS法的偏差隨信噪比的變化趨勢(shì)并不明顯。由圖1(c)～(d)可以看出本文方法有著最優(yōu)的均方根誤差性能。

為了檢驗(yàn)新算法對(duì)鄰近信號(hào)源的分辨能力,在實(shí)驗(yàn)二中增加信號(hào)源個(gè)數(shù)并減小角度間隔,取真實(shí)DOA為0°、4°、12°,同時(shí)增加陣元個(gè)數(shù)到16,其余仿真條件

圖1 三種算法的DOA估計(jì)性能比較(兩個(gè)信號(hào)源)

圖2 三種算法的DOA估計(jì)性能比較(三個(gè)信號(hào)源)

為了檢驗(yàn)新算法對(duì)鄰近信號(hào)源的分辨能力,在實(shí)驗(yàn)二中增加信號(hào)源個(gè)數(shù)并減小角度間隔,取真實(shí)DOA為0°、4°、12°,同時(shí)增加陣元個(gè)數(shù)到16,其余仿真條件同實(shí)驗(yàn)一。圖2給出了三種算法的偏差和均方根誤差隨信噪比的變化曲線。對(duì)比實(shí)驗(yàn)一和實(shí)驗(yàn)二的仿真結(jié)果可以看出,三種算法對(duì)鄰近信號(hào)源(尤其是0°和4°處的信號(hào)源)的估計(jì)性能都有所下降。這是一個(gè)可以預(yù)料的結(jié)果,因?yàn)閷?duì)于鄰近信號(hào)源,常規(guī)波束形成法帶來的預(yù)估計(jì)誤差會(huì)比較大,從而使最終的估計(jì)性能下降。還可以看出RSS方法和M TLS方法受預(yù)估計(jì)誤差的影響比較大,兩種方法的偏差和均方根誤差隨信噪比的增大而減小的趨勢(shì)并不明顯。而本文方法對(duì)預(yù)估計(jì)誤差的魯棒性更好,隨著信噪比的增大,DOA估計(jì)偏差和均方根誤差都趨于零。

6 結(jié)束語

本文基于對(duì)導(dǎo)向矢量矩陣的初等變換,給出了一種寬帶源DOA估計(jì)新方法,該算法在構(gòu)造聚焦矩陣的過程中不需要特征分解,從而大大提高了運(yùn)算效率。理論分析表明,相對(duì)于RSS和M TLS等聚焦類算法,本文算法聚焦矩陣的構(gòu)造運(yùn)算量更小,為寬帶源測(cè)向的工程應(yīng)用提供了更好的理論基礎(chǔ);另外,仿真實(shí)驗(yàn)表明,相對(duì)于RSS和MTLS算法,本文方法在DOA估計(jì)偏差和均方根誤差方面有著更優(yōu)的性能?！?/p>

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