劉 楠, 劉 琴, 曹懷信

(1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062;2.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部, 陜西 咸陽 712000)

0 引言

從上個世紀(jì)90年代開始，Grochenig[1]， Aldroubi， Sung和Tang[2]先后在Banach空間中引入了兩種不同的框架概念: Banach框架和p-框架．我們知道Hilbert空間H中一定存在框架(例如正規(guī)正交基)，并且Hilbert空間中的框架一定具有對偶框架，參見文[3, 4]．但是，在Banach空間中上述結(jié)論不再成立．為了討論Banach空間中Banach框架的存在性問題和元素的重構(gòu)問題，Casazza在文[5]中將文獻(xiàn)中的p-框架概念進(jìn)行了推廣，引入了Xd-框架的概念，并且給出了Banach空間中Banach框架存在的充要條件，以及Xd-框架具有重構(gòu)性的若干充要條件．張建中和呂桂莉在文獻(xiàn)[6]中討論了Banach空間中的Xd-框架及其穩(wěn)定性. Stoeva在文[7]中探討了有關(guān)Xd-框架、Xd-框架的對偶及Xd-框架的擾動性的一些結(jié)論．本文主要根據(jù)文[8]的一些結(jié)論，利用算子論的方法，結(jié)合代數(shù)的思想，討論了Bananch空間中Xd-Bessel列的廣義擾動．

1 預(yù)備知識

本文用N表示非零自然數(shù)集，F(xiàn)表示復(fù)數(shù)集或者實數(shù)集，X表示數(shù)域F上的可分Banach空間.

設(shè)Xd為數(shù)域F中以N為指標(biāo)集的序列組成的賦范線性空間．?i∈N，定義泛函Pi∶Xd→F為

(2) 存在常數(shù)B>0，使得:

則稱g為X的Xd-Bessel列．記

設(shè)X是Banach空間，Xd為BK-空間．記

則BXd(X)?S(X*)．

定義1.2 設(shè)Xd是一個包含所有典范向量ei(i∈N)的BK-空間，定義:

若存在λ≥1,使得

即

‖Snx‖Xd≤λ‖x‖Xd,?n∈N,?x∈Xd

即

‖Sn‖≤λ，?n∈N

則稱Xd為一個λ-BK-空間．

?f,g∈BXd(X)，?λ，μ∈F,定義

定理1.1[8](1)若Xd為BK-空間，則(BXd(X),‖·‖)是數(shù)域F上的賦范線性空間；(2)若Xd為CB-空間，則(BXd(X),‖·‖)是數(shù)域F上的Banach空間．

2 Xd-Bessel列的廣義擾動

證明若f∈BXd(X)，上界為Bf, 則由定義1.2知，?n∈N,?x∈X,

故g∈BXd(X)，且Bg≤λBf. 證畢.

‖g(x)‖Xd=‖(h-k)(x)‖Xd≤‖h(x)‖Xd+‖k(x)‖Xd≤(Bh+Bk)‖x‖≤2λBf‖x‖

故g∈BXd(X)，且Bg≤2λBf. 證畢.

證明若f∈BXd(X), 上界為Bf,令h={f1,…,fn,0,…}，則由定理2.1知，h∈BXd(X)，且Bh≤λBf，再由定理1.1結(jié)論(1)知，g=f-h∈BXd(X)，且

‖g(x)‖Xd=‖(f-h)(x)‖Xd≤‖f(x)‖Xd+‖h(x)‖Xd≤(Bf+Bh)‖x‖≤(1+λ)Bf‖x‖

故g∈BXd(X)，且Bg≤(1+λ)Bf. 證畢.

證明若f∈BXd(X)，上界為Bf, 則?x∈X，結(jié)合推論2.1有

≤|α1|2λBf‖x‖+…+|αi|2λBf‖x‖+…

證明由f∈BXd(X)，上界為Bf,有

且

故g∈BXd(X). 證畢.

證明設(shè)f∈BXd(Y),上界為Bf,有

從而

結(jié)合推論2.1有

≤2λBf‖T1x‖+…+2λBf‖Tjx‖+…

≤2λBf‖T1‖·‖x‖+…+2λBf‖Ti‖·‖x‖+…

故g∈BXd(X). 證畢.

證明由f∈BXd(Y)，上界為Bf,有

[1]Grochenig K. Describing functions: atomic decompositions versus frames[J]. Monat- shefte Mathematik, 1991, 112: 1-41.

[2] Aldroubi A. Sung Q and Tang W,p-frames and shift invariant subpaces ofLp[J].Journal of Fourier Analysis and Applications,2001, 7: 1-22.

[3] Favier J S and Zalik R A. On stability of frames and Riesz bases[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis,1995, 2: 160-173.

[4] Christensen O. A Introduction to Frames and Riesz Bases[M]. Boston: Birkhauser, 2003.

[5] Casazza P, Christebsen O. and Stoevs D. Frame expansions in separable Banach spaces[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2005, 1:1-14.

[6] 張建中,呂桂莉. Banach空間中的Xd-框架及其穩(wěn)定性[J]. 山東科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008, 27(1): 91-93.

[7] Diana T. Stoeva, Perturbation of frames in Banach spaces[EB/OL]. Available online at ArXiv, 2009.

[8] 劉 楠, 曹懷信.Banach空間中的Xd-Bessel列的性質(zhì)[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報,2010(待發(fā)).