張文琦

(山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 文理學(xué)院，山西 太谷 030801)

隨著計算機科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，極大促進了非線性科學(xué)的蓬勃發(fā)展，使得人們發(fā)現(xiàn)了混沌并加強了對混沌的了解[1].混沌現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的一種重要運動形式已成為人們的共識.如何利用具有蝴蝶效應(yīng)的混沌運動為人類服務(wù)是目前不斷探索和深入研究的問題[2].在混沌同步領(lǐng)域提出了大量的控制方法如：線性反饋同步法[3]、FSHPS (full-state hybrid projective synchronization)[4]、延時反饋同步法[5]等.由蔡少棠教授設(shè)計的三階非線性自治電路是一種產(chǎn)生混沌振蕩的典型非線性電路，在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的變形蔡氏電路系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為[6].本文針對含x|x|的變型蔡氏電路系統(tǒng)的同步問題進行了研究，運用主動控制方法令兩系統(tǒng)自同步，在此基礎(chǔ)上運用自適應(yīng)主動控制方法實現(xiàn)了參數(shù)不確定的兩系統(tǒng)同步.

1 變形蔡氏電路

用函數(shù)x|x|替代蔡氏電路中分段函數(shù)可得變形蔡氏電路.方程如式(1):

(1)

式中x,y,z為無維變量，α,β是大于零的參數(shù)，β=14.0,a=-1/6,b=1/16.當(dāng)α較小時，系統(tǒng)有穩(wěn)定的平衡點，隨著α的值的增大,系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔，此時可以觀測到小段的周期軌線.而當(dāng)α的值進一步增大時，系統(tǒng)逐步形成了2個不對稱的混沌吸引子，而且這2個混沌吸引子越靠越近，最終形成雙渦旋混沌吸引子[7].

圖1 變型蔡氏電路同步仿真圖

2 主動控制達到變形蔡氏電路系統(tǒng)同步

顯然,參數(shù)α對變形的蔡氏電路系統(tǒng)性質(zhì)起著主要作用.因此由式(1)在不相同的初值，不相同的已知的參數(shù)α條件下構(gòu)建的式(2)與式(3)分別代表驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng).系統(tǒng)方程表示如下：

(2)

(3)

本文的目的是找到一控制器u=[u1,u2,u3]T使得響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)同步.式(2)與式(3)相減得到如下的誤差動力系統(tǒng)為：

(4)

這里e1=x2-x1,e2=y2-y1,e3=z2-z1.

變形蔡氏電路系統(tǒng)混沌同步是指取得對誤差系統(tǒng)零解的漸近穩(wěn)定.變形蔡氏電路系統(tǒng)中g(shù)(x)的實際狀態(tài)已被描述.因此，如果系統(tǒng)參數(shù)能被確切估量，則主動控制函數(shù)能用下式描述：

u1=α′(g(x2)-y2)-α(g(x1)-y1)-e1，u2=-e1-e3，u3=βe2-e3

(5)

選取合適控制信號，使誤差系統(tǒng)(4)有特征值(-1，-1，-1)，則隨著時間趨于無窮時，將使誤差系統(tǒng)e(t)=[e1,e2,e3]T收斂于0.因而使兩個變形的蔡氏電路系統(tǒng)達到混沌同步.令α=8.835,α′=9.027,β=14.0,驅(qū)動系統(tǒng)的初始條件為{x(0)=1.01,y(0)=z(0)=0.01}，響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件為{x(0)=-1.01,y(0)=z(0)=-0.01}.圖1為兩個變形蔡氏電路系統(tǒng)的主動控制的仿真結(jié)果.發(fā)現(xiàn)在t=5時，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達到同步.

3 自適應(yīng)主動控制達到變形蔡氏電路系統(tǒng)同步

由上述可知，在控制過程中，驅(qū)動與響應(yīng)系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)對控制器起著重要作用.然而，在實際系統(tǒng)中，參數(shù)往往是事先不能精確知道的.假定驅(qū)動與響應(yīng)變形蔡氏電路系統(tǒng)有不同的初始條件但有相同卻未知的參數(shù).本文的目標(biāo)是設(shè)計一控制器u=[u1,u2,u3]T使得所有的參數(shù)獨立，然后對參數(shù)更新使得驅(qū)動與響應(yīng)系統(tǒng)漸近同步.

由式(4)構(gòu)造一Lyapunov函數(shù)：

采用自適應(yīng)主動控制法，即設(shè)計一控制器u以及對估計參數(shù)確定一如下的更新法則：

(6)

e1(αe2-αg(x2)+αg(x1)+u1)+e2(e1-e2+e3+u2)+

圖2 變型蔡氏電路同步仿真圖

因此，兩個變形蔡氏電路系統(tǒng)的混沌同步是能實現(xiàn)的.而且，很明顯，式(6)中的控制器是未知獨立參數(shù).

4 結(jié)論

本文有效的實現(xiàn)了變形蔡氏電路系統(tǒng)的自同步，而且對于參數(shù)不確定的變形蔡氏電路系統(tǒng)，采用自適應(yīng)主動控制法實現(xiàn)其混沌同步.對于實際應(yīng)用中含有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)的混沌同步提出了一種可行的同步方式.

[1]劉秉正,彭建華.非線性動力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2004:469-470.

[2]王興元.復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌[M].北京:電子工業(yè)出版社,2003:1-14.

[3]Liu F,Ren Y,Shan X M,et al.A linear feedback synchronization theorem for a class of chaotic system [J].Chaos Solitons & Fractals,2002,13(4):723-730.

[4]Wen GL,Xu D.Nonlinear observer control for full-state projective synchronization in chaotic continuous-time systems [J].Chaos Solitons & Fractals,2005,26:71-77.

[5]陳艷艷,彭建華,劉秉正,等.增強型延遲反饋法控制低維混沌系統(tǒng)的解析研究[J].物理學(xué)報,2002,51(7):1 489-1 496.

[6]Chua L O,Itoh M,Kocarev L,et al.Chaos synchronization in Chua′s circuits[J].Journal of Circuit, Systems and Computers,1993,3(1):93-108.

[7]鄧杰生,文劍鋒,鐘國群,等.Modified Chua′s circuit withx|x|[J].控制理論與應(yīng)用,2003,20(2):223-227.

[8]張文琦,楊麗新.蔡氏電路的兩種變型[J].重慶工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,21(1):120-123.