實(shí)數(shù)集R上幾個(gè)常見(jiàn)拓?fù)涞谋容^
2010-01-15 09:25:48李艷穎
湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào) 2010年3期
李艷穎
(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系,陜西寶雞 721007)
實(shí)數(shù)集R上幾個(gè)常見(jiàn)拓?fù)涞谋容^
李艷穎
(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系,陜西寶雞 721007)
給出了實(shí)數(shù)集R上的7個(gè)子集族,并證明它們是R的拓?fù)浠?決定了R上7個(gè)不同的拓?fù)?同時(shí)還對(duì)這些拓?fù)溥M(jìn)行了比較,得到它們之間粗細(xì)的確定關(guān)系。
實(shí)數(shù)集;拓?fù)?拓?fù)浠?嚴(yán)格細(xì)于
實(shí)數(shù)集在點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中占有相當(dāng)重要的位置,它是抽象拓?fù)淇臻g的一個(gè)最好的、最直觀的、最接近實(shí)際的例子。因此弄清楚R上的拓?fù)浠坝苫傻耐負(fù)渲g的關(guān)系,是我們學(xué)好點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的必備基礎(chǔ)。本文給出了實(shí)數(shù)集R上的7個(gè)子集族,并證明它們是R的拓?fù)浠?他們決定了R上7個(gè)不同的拓?fù)?同時(shí)還對(duì)這些拓?fù)溥M(jìn)行了比較,得到它們之間粗細(xì)的確定關(guān)系。
1 基本概念與定理
定義1[1]若 X是一個(gè)集合,X的拓?fù)浠?X的一個(gè)子集族β(其成員稱為基元素)使得:
(1)對(duì)每個(gè)x∈X,至少存在一個(gè)包含x的基元素B;
(2)若 x屬于兩個(gè)基元素B1,B2的交,則存在包含 x的基元素B3,使得B3?B1∩B2。
注:條件(1) 等價(jià) ∪B∈βB=X[2]。若對(duì)于任何B1,B2∈β,有B1∩B2∈β,這時(shí) ∈β必然滿足條件(2)[2]。本文在證明中經(jīng)常用到這兩個(gè)條件。
定義2[1]設(shè)Γ和Γ1是給定集合 X上的兩個(gè)拓?fù)?若Γ1?Γ,則稱Γ1細(xì)于Γ;若Γ1?Γ是真包含關(guān)系,則稱Γ1嚴(yán)格細(xì)于Γ。
定義3[3]若兩個(gè)拓?fù)渲械娜魏我粋€(gè)都不細(xì)于另一個(gè),則稱它們是不可比較的。
定理1[1]設(shè) X為一個(gè)集合,β是 X上拓?fù)洇５囊粋€(gè)基,則Γ等于β中元素所有并所成的族(由此定理可知β?Γ)。
定理2[1]設(shè)β,β1分別是 X上拓?fù)洇?Γ1的基,則下列陳述等價(jià):
(1)Γ1細(xì)于Γ;
(2)對(duì)于每個(gè)x∈X及包含x的每個(gè)基元素B∈β,存在一個(gè)基元素B1∈β1,使得 x∈B1?B若是真包含關(guān)系,則稱Γ1嚴(yán)格細(xì)于Γ。
2 實(shí)數(shù)集上7個(gè)拓?fù)浠捌渫負(fù)?/h2>
在本部分,我們將應(yīng)用第一部分的定義與引理,證明以下7種集族可以構(gòu)成 R上的拓?fù)浠?并同時(shí)對(duì)它們決定的7個(gè)不同的拓?fù)溥M(jìn)行比較,得到它們的粗細(xì)關(guān)系。在本文中除特殊注明外,小寫(xiě)英文字母都屬于實(shí)數(shù)集。
1)證明β1={(a,b)|a＜b}是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?/p>
顯然,此集族可以滿足定義1中的兩個(gè)條件,構(gòu)成實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?并且β1決定的拓?fù)渚褪怯蒖的所有開(kāi)區(qū)間構(gòu)成的通常拓?fù)?記為Γ,且Γ=β1∪{Ф}。
2)證明β2={[a,b)|a＜b}是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?/p>
證明顯然β2滿足條件(1)的等價(jià)形式∪B∈β2B=R,并且對(duì)于任何 B1,B2∈β2,有 B1∩B2∈β2,這時(shí)β2是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?并且β2決定的拓?fù)湮覀兺ǔ７Q為實(shí)數(shù)下限拓?fù)?記為Γl。
明顯地,它與實(shí)數(shù)集的通常拓?fù)溆泻艽髤^(qū)別。對(duì)于每個(gè)(a,b)∈Γ,我們可以這樣選取β2中的基元素,對(duì)于任何 i∈Z+,任意選取bi∈R,使得 a＜…＜b2＜b1＜b以及于是有(a,b)= ∪i∈Z+[bi,b),因此(a,b) ∈Γl,即Γ ? Γl;反過(guò)來(lái)的包含關(guān)系卻明顯不成立,故Γl嚴(yán)格細(xì)于Γ。
此外,類似Γl與Γ比較,可以證明ΓlQ嚴(yán)格細(xì)于Γ,即ΓΓlQΓl。
4)證明β3={(a,b]|a＜b}是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?/p>
證明顯然β3滿足定義1的條件(1),并且對(duì)于任何B1,B2∈β3,或者B1∩B2≠Ф或者B1∩B2∈β3,因此β3是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?并且β3決定的拓?fù)湮覀兺ǔ７Q為實(shí)數(shù)上限拓?fù)?記為Γu。
按照證明Γl嚴(yán)格細(xì)于Γ的方法,很容易可以得出Γu嚴(yán)格細(xì)于Γ的結(jié)論。而Γl與Γu是不可比較的,因?yàn)槿a,b)∈β2,對(duì)a∈[a,b)不存在[c,b)∈β3,使得 a∈(c,d]? [a,b),即Γl?Γu;同理,Γu?Γl。
5)證明β4=β1∪{B-K|B ∈β1},K=是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?/p>
證明β4中包含兩類集合:(1)(a,b)∈β1;(2)
由β1?β4,可知β4滿足定義1的條件(1)。對(duì)任意的B1,B2∈β4,若B1,B2∈β1,則顯然滿足定義1的(2);否則有兩種情形:(1)B1=(a,b)-K,B2=(c,d)-K,若 B1∩B2≠ Ф,則
(2)B1=(a,b),B2=(c,d)-K,若B1∩B2≠Ф,則
因此β4是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?記為Γ-K。
顯然β1?β4,由定理1,Γ?Γ-K。反過(guò)來(lái),(0,1)-K∈Γ-K,明顯地,(0,1)-K?Γ,從而由定理2,有Γ-K嚴(yán)格細(xì)于Γ。同時(shí),明顯地,有(0,1)-K?Γl與(0,1)-K ?Γu,而[a,b) ∈Γl與(a,b]∈Γu也顯然無(wú)法由β4中基元素取并表示,所以Γ-K與Γl,Γu是不可比較的。
6)證明β5={(a,+∞)|∈R}是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?/p>
證明顯然 ∪B∈β5B=R,并且對(duì)于任何B1=(a,+ ∞),B2=(b,+ ∞)∈β5,不妨設(shè) a＜ b,有B1∩B2=B2∈β5,于是β5是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?它決定的拓?fù)渫ǔ７Q為實(shí)數(shù)集的右手拓?fù)?記為Γrig,且Γrig=β5∪{Ф}。
由于β5?β1,則由定理2,Γrig? Γ。反之,對(duì)任意的(a,b) ∈Γ,且 b＜+ ∞,由Γrig=β5∪{Ф}即知(a,b)∈Γrig,從而Γ嚴(yán)格細(xì)于Γrig。
7)證明β6={(-∞,a)|a∈R}是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?/p>
證明仿照5的方法即可證明β6是實(shí)數(shù)集的一個(gè)拓?fù)浠?它決定的拓?fù)渫ǔ７Q為實(shí)數(shù)集的左手拓?fù)?記為Γlef,且Γlef=β6∪{Ф}。
同樣的,Γlef? Γ,Γ嚴(yán)格細(xì)于Γlef,而Γlef與Γrig是不能比較的,因?yàn)棣ig=β5∪{Ф}與Γlef=β6∪{Ф}明顯彼此都不能包含對(duì)方。
綜合以上論述,可以總結(jié)出實(shí)數(shù)集上常見(jiàn)的7個(gè)拓?fù)渲g的粗細(xì)關(guān)系為:
其中ΓlQ與Γu,Γ-K不能比較。
[1] Munkres J R.拓?fù)鋵W(xué)基本教程[M].北京:科學(xué)出版社,1987.
[2] 熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3] Seymour Lipschutz.Theory and Problemsof General Topology[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,1982.
The Comparison for Some Common Topologies on Real Numbers R
Li Yanying
(Department of M athematics,Baoji A rt and Science College,Baoji,Shanxi 721013,China)
This paper show s seven classes of sets of real numbers,and proves that these classes of sets are bases for some topologies on real numbers,they determine seven different topologies on real numbers.At the same time,the paper compares with these topologies,and summarizes the coarseror weaker relations between these topologies.
real number set;topology;base for a topology;strict weaker
O189.11
A
1671-2544(2010)03-0041-03
2010-03-31
寶雞文理學(xué)院基金資助項(xiàng)目(ZK0786)
李艷穎(1981— ),女,吉林松原人,寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系講師,碩士。
(責(zé)任編輯:周 游)
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