徐　炳

今年的第25屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題的第二題是一道考查天體運動的試題，題目如下：

圖1

嫦娥1號奔月衛(wèi)星與長征3號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離地面高Hn=2.05×102 km，遠地點離地面高Hf=5.0930×104 km，周期約為16小時，稱為16小時軌道（如圖中曲線1所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線2所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入24小時軌道、48小時軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線3、4、5所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量m=2.350×103kg，地球半徑R=6.378×103 km，地面重力加速度g=9.81 m/s2，月球半徑r=1.738×103 km。

（1）試計算16小時軌道的半長軸a和半短軸b的長度，以及橢圓偏心率e。

（2）在16小時軌道的遠地點點火時，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設(shè)推力大小F=490 N，要把近地點抬高到600 km，問點火時間應(yīng)持續(xù)多長？

（3）試根據(jù)題中給的數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星在16小時軌道的實際運行周期。

（4）衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度Hm約為200 km，周期Tm=127分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。

本題是一道非常典型的天體運動類賽題，涉及圓錐曲線——橢圓的基本數(shù)學(xué)知識（第1問）；涉及橢圓軌道上近地點和遠地點的速度的計算（第2問）；涉及對于變軌過程的動力學(xué)理解（題干上幾個軌道的變化過程和第2問）；涉及橢圓軌道運動周期的計算（第3問）；涉及圓周運動環(huán)繞問題的計算（第4問）；涉及一個常用的結(jié)論——“黃金代換式（GM=gR2）”的使用。基本上涵蓋了這類問題的各種情景，非常具有代表性，只是運算量較大。以下是本題的參考解答：

（1）橢圓半長軸a等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離）rn與rf的算術(shù)平均值，即有

a=（rn+r）=［（Hn+R）+（Hf+R）］=（Hn+Hf）+R①

代入數(shù)據(jù)得a=3.1946×104 km ②

橢圓半短軸b等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有b=③

代入數(shù)據(jù)得b=1.942×104 km④

橢圓的偏心率e=⑤

代入數(shù)據(jù)即得e=0.7941 ⑥

（2）當(dāng)衛(wèi)星在16小時軌道上運行時，以vn和vf分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點和遠地點能量相等，有

mv－=mv－⑦

式中M是地球質(zhì)量，G是萬有引力常量。因衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù)角動量守恒，有

mvnrn=mvfrf⑧

注意到=g⑨

由⑦⑧⑨式可得

vn=R ⑩

vf=vn=R?輥?輯?訛

當(dāng)衛(wèi)星沿16小時軌道運行時，根據(jù)題給的數(shù)據(jù)有

rn=R+Hn rf =R+Hf

由?輥?輯?訛式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

vf=1.198 km/s?輥?輰?訛

依題意，在遠地點星載發(fā)動機點火，對衛(wèi)星作短時間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結(jié)束時，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠地點。所以新軌道遠地點高度H=H=5.0930×104 km，但新軌道近地點高度H=6.00×102 km。由?輥?輯?訛式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠地點處的速度為

v =1.230 km/s ?輥?輱?訛

衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力F的沖量，設(shè)發(fā)動機點火時間為Δt，有

m（v－vf）=FΔt ?輥?輲?訛

由?輥?輰?訛、?輥?輱?訛、?輥?輲?訛式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得Δt=1.5×102s（約2.5分）?輥?輳?訛

這比運行周期小得多。

（3）當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，θ表示矢徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動量的大小

L=rmvsinθ=2mσ ?輥?輴?訛

其中σ=rvsinθ ?輥?輵?訛

是衛(wèi)星矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積，即衛(wèi)星的面積速度。由于角動量是守恒的，故σ是恒量。利用遠地點處的角動量，得

σ=rf vf?輥?輶?訛

又因為衛(wèi)星運行一周掃過的橢圓的面積為

S=πab?輥?輷?訛

所以衛(wèi)星沿軌道運動的周期

T=?輦?輮?訛

由?輥?輶?訛?輥?輷?訛?輦?輮?訛式得

T=?輦?輯?訛

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

T=5.67 s×104 s（約15小時46分） ?輦?輰?訛

（4）在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有

=mrm2?輦?輱?訛

這里rm=r+Hm是衛(wèi)星繞月軌道半徑，Mm是月球質(zhì)量。由?輦?輱?訛式和⑨式，可得

Mm= M?輦?輲?訛

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

=0.0124 ?輦?輳?訛

除了上述參考解答的方法外，本題還有其他的一些解決辦法。解法拓展如下：

第一問在求出半長軸

a=（Hn+Hf）+R后，可以進一步利用數(shù)學(xué)關(guān)系求解焦距

c=Hf－a+R=Hf－（Hn+Hf）+R+R=

所以，由e=即可求出偏心率

又b==可求出b。

第三問，可由開普勒第三定律，繞地球運行的兩個衛(wèi)星的周期T與T0之比的平方等于它們的軌道半長軸a與a0之比的立方，即 2=3。

這樣我們可以選擇一個繞地球做圓軌道運動的衛(wèi)星跟該問的橢圓軌道進行比較求解。設(shè)a是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運動的軌道半徑，則有=ma02得==。

令a0=R這樣最簡單，從而得 T=代入有關(guān)數(shù)據(jù)便可求得?輦?輰?訛式。

下面我們把類似題目（天體運動類賽題）的解法做一個簡單的總結(jié)：

一、必備的理論知識

（1）機械能守恒定律：運動天體的動能Ek=mv2，引力勢能Ep=－（選無窮遠處為勢能零點，M為中心天體的質(zhì)量）。不管運動天體繞中心天體做勻速圓周運動還是橢圓運動，運動過程中這兩項能量的總和保持不變。

（2）動量守恒定律：常在運動天體變軌問題中用到，如沿運動方向噴出一定質(zhì)量的氣體，噴氣前后系統(tǒng)動量守恒。

（3）角動量守恒定律：角動量也可稱動量矩，質(zhì)量為m的物體繞某點O轉(zhuǎn)動時，在離該點距離r處的角動量大小是L=mvrsinφ，其中φ是速度v與矢徑r的夾角。在天體的運動軌道上（一般用于橢圓軌道，因為圓周運動不必要這樣處理）任選兩個位置角動量相等。

圖2

（4）開普勒三定律：

第一定律：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽在這些橢圓的一個焦點上。

第二定律：太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。（等同于角動量守恒）

第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。

（5）關(guān)于橢圓的數(shù)學(xué)知識：如偏心率e=，c2=a2－b2，橢圓面積S=πab。

二、天體做勻速圓周運動時，最常用的萬有引力提供向心力的式子

=F＝m=m2r=…

三、天體做橢圓運動時最常用的機械能守恒和角動量守恒的方程組（最好能熟練求解）

對近地點和遠地點：

mv－=mv－

mvnrn=mvf rf（或用開普勒第二定律）

對軌道上的任意兩個點：

mv－=mv－

mv1r1sinφ1=mv2r2sinφ2（或用開普勒第二定律）

例1：地球繞太陽做橢圓運動，已知軌道半長軸為A，半短軸為B，試求地球在橢圓軌道各頂點處的速度大小。設(shè)太陽的質(zhì)量為M。

圖3

【分析】 對于頂點1、2有：

mv－=mv－

v1（A－C）=v（A+C）

而對于頂點1、3有：v1（A－C）=v3B

所以：v1=

v= v3=

例2：宇宙飛船在距火星表面H高處做勻速圓周運動，火星半徑為R。假設(shè)飛船在極短時間內(nèi)向外側(cè)點火噴氣，獲得一徑向速度，其大小為原來速度的a倍，因為a很小，所以飛船不會與火星表面相碰。飛船噴氣的質(zhì)量忽略不計。求飛船新軌道的近火星點高度h1和遠火星點高度h2。

圖4

【分析】 可先選噴氣點和近地點：

mv－=m［v+（av0）2］－

mvn（h1+R）=mv0（H+R）

解出近地點速度和高度后，再解遠地點的情況。

四、橢圓軌道周期的兩種常用計算方法

（1）找一個勻速圓周運動（繞同一中心天體）與之比較，應(yīng)用開普勒第三定律求解（如上述賽題第三問的拓展解法）。

（2）應(yīng)用開普勒第二定律，利用面積速度（可選近地點σ=rnvn或遠地點σ=rf vf）和橢圓面積公式（S=πab）有：T=（如上述賽題第三問的參考解答）。

五、根據(jù)能量判斷軌道特點的辦法

總機械能E<0，應(yīng)該是橢圓軌道；總機械能E>0，應(yīng)該是雙曲線軌道；總機械能E=0，應(yīng)該是拋物線軌道。

六、軌道極限模型

物體在中心天體的引力作用下做直線運動時，其運動是加速度變化的運動，可以將它視為繞中心天體的橢圓軌道運動，將此橢圓軌道短軸取為無限小，即中心天體為力心的有心力作用下物體的直線運動是橢圓運動的極限。

例3：火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回時落回離發(fā)射場不遠處?？諝庾枇Σ挥嫞嚬浪慊鸺w行的時間，地球半徑取R0=6 400 km。

圖5

【分析】 火箭向上發(fā)射又落回地面。它在地心力場中的運動軌道是以地心為一個焦點、最高點為遠地點的橢圓的一部分，如圖5所示。由開普勒第二定律可知，火箭在空中運動時間正比于矢徑掃過的面積，由于落地點離發(fā)射點不遠，可見軌道橢圓很“扁”，其焦點即力心離軌道近地點很近，則物體上升的最高點與地心成為軌道橢圓長軸的兩個端點。這樣，我們只需計算出這個橢圓運動的周期及圖示陰影部分占整個橢圓面積的比例即可求出時間為：

?2π≈4.11×103 s

七、運算能力和計算器的使用

天體運動類問題由于思維難度、建模難度普遍不是特別高，但數(shù)據(jù)往往比較復(fù)雜，所以要求數(shù)學(xué)運算能力要較強，并且計算器的使用要非常熟練。今年的這個賽題就是運算非常復(fù)雜，很多同學(xué)用計算器計算了很長時間還沒有計算出正確的結(jié)果，造成大量分丟失，而且使得后面的解題時間很緊張。所以平時訓(xùn)練時要注重這方面的練習(xí)。