張梅東,王連堂

(1.防災(zāi)科技學(xué)院基礎(chǔ)部,河北燕郊 065201;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

帶尖角的障礙聲波散射區(qū)域的反演

張梅東1,王連堂2

(1.防災(zāi)科技學(xué)院基礎(chǔ)部,河北燕郊 065201;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

對帶尖角的障礙聲波散射區(qū)域進行了反演,其前提條件是整體場滿足奇次Dirichlet邊界條件.在用Nystr¨om方法解正問題的過程中,由于采用等距網(wǎng)格積分給尖角處帶來很差的收斂性,這是因為雙層位勢的積分算子的核在尖角處有Mellin型奇性,不再是緊算子;為此采用梯度網(wǎng)格,數(shù)值例子表明該處理方法的有效可靠性.

尖角;反演;Dirichlet邊界條件;Nystr¨om方法

1 引言

聲波反散射理論是近十多年才發(fā)展起來的數(shù)學(xué)物理理論,在這方面已有大量的研究,特別是文[1-3]等利用積分方程方法對反散射問題作了深刻的研究,得到了一些漂亮的結(jié)果.對聲波散射區(qū)域的重建,大都限于較規(guī)則的區(qū)域,但對不太好的區(qū)域、如非凸區(qū)域,有角點的區(qū)域研究較少,因為有效的重建對未知區(qū)域邊界的光滑性要求較高.本文所討論的問題就是對帶尖角區(qū)域的重建,在本文中用單雙層位勢的修正來逼近散射波(1.6式,1.8式),這種修正對用Nystr¨om方法解決問題時的誤差分析很有效,即使在尖點處的跳躍關(guān)系的余項不會發(fā)生變化,因為首項的密度在尖點處的奇性消失.然而積分方程的核在尖點處不再是弱奇性的,不再是緊算子.對此從積分方程中分離出緊算子的部分;對剩余的非緊算子,選擇一個連續(xù)的截止函數(shù),再對此算子作一變換,從而就能保證剩余的非緊算子在尖點處的某鄰域處也是緊的.又由于邊界積分方程解的導(dǎo)數(shù)在尖角處有奇性,為了更好的處理此奇性,采用梯度網(wǎng)格代替等距網(wǎng)格積分,最簡單的辦法是用新的變量來生成一個梯度形式,然后再對新的變量等距積分,從而就能保證新的變量的導(dǎo)數(shù)直到某一階數(shù)才為零,并且節(jié)點的一半就等同于分布在整個區(qū)間,而另一半節(jié)點都向尖點處聚集,這樣使誤差大大減小,從而得到了很好的反演效果.

(1.3)式稱為Sommerfeld輻射條件,且在所有方向上一致成立.

對問題(1.1)-(1.3)有以下定理:

定理[3]1.1設(shè)Im(k)≥0,(1.1)-(1.3)存在唯一解,且相對于最大模范數(shù),解us在R2D上,us的各階導(dǎo)數(shù)在R2ˉD的任一閉子集上連續(xù)依賴于邊界數(shù)據(jù).

本文討論的問題是障礙區(qū)域帶尖角的,不失一般性,假定尖點在x0處,邊界?D{x0}是C2類分段解析的.并假定尖點處的夾角γ:0＜γ＜2π,假設(shè)在D內(nèi)部,k2不是負的Laplace算子的Dirichlet特征值,用單雙層混合位勢的修正逼近散射波us

其中f=?eikx·α,α是入射方向.密度?(x)??(x0)在尖點處的奇性消失,故在尖點處的跳躍關(guān)系的余項不會變化,然而(1.9)式中積分方程的核在尖點處不是弱奇性的,在尖點處算子K(見(2.7)式)不是緊算子.對于一個c2類的邊界雙層位勢算子的核的弱奇性依賴于以下不等式[3]

L是常數(shù).然而在尖點的某鄰域(1.10)式已無效,為此在尖點處的某鄰域分離出算子

由文[2]知(1.9)式中余下的積分算子是弱奇性的緊算子.算子K0不是緊的.要做以下處理:選擇充分小的適當?shù)恼龜?shù)r＞0,作以尖點x0為圓心半徑為r的圓.?D在圓內(nèi)的兩段弧A,B總存在不依賴于r的某個常數(shù)L,對所有x,y∈(A∪B){x0}使(1.10)式一致成立[2].為此選擇一個連續(xù)截斷函數(shù)

函數(shù)w:[0,2π]→[0,2π]是雙射且嚴格單調(diào)遞增，并無窮可導(dǎo).其在區(qū)間[0,2π]端點處的導(dǎo)數(shù)直到某一階數(shù)為零.替換后變量s,σ用Nystr¨om方法進行等距網(wǎng)格積分,選擇適當?shù)碾A數(shù)p∈N(下文數(shù)值例子中取p=8),從而得到很好的收斂結(jié)果.

2 反演的數(shù)學(xué)分析

3 收斂性分析

4 數(shù)值例子

其中aj,bj見表2,反演效果看圖2,正問題數(shù)據(jù)見表1.

圖1 實線表示精確圖形;虛線表示反演圖形

圖2 實線表示精確圖形;虛線表示反演圖形

表1 例2的u∞(d)及u∞(?d)

表2 例1及例2中的系數(shù)aj,bj

[1]Kress R.Linear Integral Equations[M].Berlin:Spring-Verlag,1989.

[2]Colton D,Kress R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory[M].Berlin:Spring-Verlag,1992. [3]Colton D,Kress R.Integral Equation Methods in Scattering Theory[M].New York:Wiley-Interscience Publication,1983.

[4]王連堂.反演聲波阻尼系數(shù)的一個逼近方法[J].計算數(shù)學(xué),2000,22(3):265-274.

[5]王連堂,薛西峰.利用正則化方法求解聲波散射問題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1998,14(4):11-16.

[6]王連堂.利用散射波的疊加重建聲波散射區(qū)域[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,1998,21(3):384-392.

The reconstruction of scattering domain with a corner of
acoustic waves

ZHANG Mei-dong1,WANG Lian-tang2
(1.Department of Basic Courses,Institute of Disaster Prevention Science and Technology,Yanjiao065201, China;2.Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an710069,China)

The reconstruction of the scattering domain with a corner of acoustic waves is presented in this paper,it is assumed that the total field satisfied homogenous Dirichlet boundary condition;in direct problem by Nystr¨om,due to the singularity of the solution at the corner,a quadrature method based on an equidistant grid only very poor convergence.The kernel of double?layer integral operator in a domain with a corner has a Mellin type singularity at the corner and no longer is compact in the space of continuous function.Hence graded mesh is used.Numerical examples indicate that this method is accurate and simple to use.

sharped-corner,reconstruction,Dirichlet boundary condition,Nystr¨om method

O241.8

A

1008-5513(2009)03-0610-07

2008-12-20.

張梅東(1975-),碩士,助教,研究方向：數(shù)學(xué)物理方程反問題.

2000MSC:31A25