John L. Bell University of Western Ontario，Canada

A Primer of Infinitesimal

Analysis

Second Edition

2008, 124pp.

Hardcover

ISBN 9780521887182

J.L.貝爾著

無窮小思想在微積分和數(shù)學(xué)分析的早期發(fā)展中起著重要作用，也是理解微積分的一個(gè)關(guān)鍵性概念。對(duì)于無窮小量的再認(rèn)識(shí)以及在一種嚴(yán)格的基礎(chǔ)上重新論述，是現(xiàn)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)引人注意的課題。例如上世紀(jì)A.Robinson建立了“非標(biāo)準(zhǔn)分析”，被視為一個(gè)重要數(shù)學(xué)進(jìn)展。本書作者應(yīng)用一種直接、嚴(yán)格的公理化方法，提出“零平方”(或“冪零”)無窮小概念，建立了光滑無窮小分析框架，系統(tǒng)地給出微積分基本理論及在物理學(xué)中的主要應(yīng)用，特別是將微分運(yùn)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。本書初版后頗受好評(píng)，尤其是它在數(shù)學(xué)哲學(xué)和邏輯學(xué)方面的價(jià)值以及在教學(xué)上的意義得到肯定，第二版有一些增補(bǔ)，并改正了印刷錯(cuò)誤。

全書除引論、附錄和文獻(xiàn)外，正文含8章。引論通過一些物理例子(如脈沖函數(shù))分析了無窮小思想及其歷史發(fā)展過程，給出“冪零”概念的背景。正文第1章給出光滑世界的基本特征和公理化描述，是全書論述的基本框架，其余各章給出傳統(tǒng)微積分的基本結(jié)果和應(yīng)用。其中第2~4章講述單變量微分學(xué)以及幾何、物理應(yīng)用(如長(zhǎng)度、面積、體積計(jì)算、壓強(qiáng)、懸鏈線、橫桿彎曲等)；第5章研究多變量微分學(xué)，包括偏導(dǎo)數(shù)、極值、熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)基本方程、波方程等；第6章簡(jiǎn)明地論述了定積分、高階無窮小及其應(yīng)用；第7章是綜合微分幾何學(xué)的引論。最后一章給出光滑無窮小公理系統(tǒng)，并與“非標(biāo)準(zhǔn)分析”作了比較。附錄給出光滑無窮小分析的模型結(jié)構(gòu)。

本書可供大學(xué)數(shù)學(xué)教師、理工科高年級(jí)學(xué)生以及數(shù)學(xué)哲學(xué)和邏輯方面的研究人員參考。

朱堯辰，研究員

(中國(guó)科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所)

Zhu Yaochen, Professor

(Institute of Applied Mathematics,CAS)