郭玉祥　吳然超

摘 要：研究一個(gè)新的混沌系統(tǒng)與變形蔡氏電路系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步問題。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，分步構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，并在響應(yīng)系統(tǒng)中采用設(shè)計(jì)單個(gè)非線性控制器的方式，實(shí)現(xiàn)了這兩個(gè)不同混沌系統(tǒng)之間的異結(jié)構(gòu)同步，并證明誤差變量隨時(shí)間演變時(shí)是逐漸趨于零的。數(shù)值模擬驗(yàn)證了這種方法的可行性和有效性，所設(shè)計(jì)的控制器具有可操作性強(qiáng)，同步效果好，易于推廣等優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：新混沌系統(tǒng)；變形蔡氏電路系統(tǒng)；混沌同步；Lyapunov函數(shù)

中圖分類號(hào)：TN918文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1004 373X(2009)02 079 03

Synchronization of New Chaotic System

and Modified Chua′s Circuit System with Different Structure

GUO Yuxiang,WU Ranchao

(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei,230039,China)

Abstract：Synchronization of new chaotic system and modified Chua′s circuit system with different structure is studied.The Lyapunov function is deduced based on the Lyapunov stabilization theory,a nonlinear controller is designed to realize the synchronization between chaotic systems with different structure.Conclusion about the error variable approaching to zero smoothly and quickly is also testified with the evolution of the time.Numerical simulations prove that the approach is effective and feasible.The designed controller processes the merits of highly operating,getting better results on synchronization and generalizing easily.

Keywords：new chaotic system;modified Chua′s circuit system;chaotic synchronization;Lyapunov function

0 引 言

近年來，混沌及其應(yīng)用是非線性科學(xué)研究領(lǐng)域中的一個(gè)熱門課題。由于混沌系統(tǒng)有著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，且對(duì)初值的敏感性和長時(shí)間的不可預(yù)測性，所以混沌的控制與同步就成了研究混沌應(yīng)用的重要環(huán)節(jié)。自20世紀(jì)90年代初Pecora和Carrol［1］首次提出混沌同步以來，人們隨后也提出了各種不同的混沌同步方法；如自適應(yīng)同步、脈沖同步、混合同步、耦合同步等［2－9］。在此針對(duì)一類新混沌系統(tǒng)［10］，用變形蔡氏電路系統(tǒng)嚴(yán)格地跟蹤這個(gè)新系統(tǒng)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，分步構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)［9］，使得誤差變量方程漸近穩(wěn)定，從而使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)不同和參數(shù)失配的前提下達(dá)到了完全同步。數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，進(jìn)一步推廣了混沌同步在非線性科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。

1 系統(tǒng)模型描述

文獻(xiàn)［10］提出一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為:

1=a(x3－x1)，

2=bx1－dx21

3=kx1x2－cx2－gx3(1)

顯然，該系統(tǒng)僅存在兩個(gè)非線性項(xiàng)。文獻(xiàn)［10］利用理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真、Laypunov指數(shù)分析了它的基本動(dòng)力學(xué)特性，驗(yàn)證了系統(tǒng)豐富的混沌特性，該系統(tǒng)對(duì)于混沌在信息加密中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)a=8，b=40，c=10/3，d=1，g=4，k=1時(shí)，該系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1所示。

變形蔡氏電路混沌系統(tǒng)［11］為:

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］

2=y1－y2+y3

3=－b1y2(2)

當(dāng)a1=10，b1=100/7時(shí)，系統(tǒng)的混沌吸引子如圖2所示。下面將討論這兩類系統(tǒng)之間的同步問題。

2 非線性控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)系統(tǒng)（1）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，受控的變形蔡式電路系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng):

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)

2=y1－y2+y3，

3=－b1y2(3)

在系統(tǒng)（3）中引進(jìn)單個(gè)控制器u(t)，當(dāng)u(t)未作用時(shí)，兩系統(tǒng)隨時(shí)間變化的軌跡各不相同，即它們屬于異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)。

圖1 系統(tǒng)的混沌吸引子（一）

圖2 系統(tǒng)的混沌吸引子（二）

定理對(duì)于混沌系統(tǒng)（1）和（2），若控制器結(jié)構(gòu)為:

u(t)=－（1/b1），b1＞0

則兩系統(tǒng)同步。

式中，e1,e2是誤差變量；Ω(t)是關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)變量的多項(xiàng)式。

證明 引入誤差變量e3，并令e3=y3－x3。由式（1）和式（2）可以得到:

3=－b1y2－kx1x2+cx2+gx3

分步構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，先構(gòu)造如下形式:

V3=（1/2）e23

則:

3=e33=－e23+e3(e3－b1y2－kx1x2+cx2+gx3)

令:

e2=b1y2－k1

其中:

k1=e3－kx1x2+cx2+gx3

則:

2=b1(y1+y3)+k(1－g－a)x1x2－cbx1－

c(1－g)x2－g(1－g)x3+akx2x3+

(kb+cd)x21－kdx31

構(gòu)造第二部分Lyapunov函數(shù) V2=V3+（1/2）e22，則:

2=－e22－e23+e2(b1y2－k1－e3+2)

=－e22－e23+e2［b1(y1+y2+y3)－2y3+

2x3+k(2－g－a)x1x2－cbx1－c(2－g)x2－

g(2－g)x3+akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

令e1=b1y1－k2，其中:

k2=－［b1(y2+y3)－2y3+2x3+k(2－g－a)·

x1x2－cbx1－c(2－g)x2－g(2－g)x3+

akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

則:

1=b1{a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)}－2

=b1u(t)+Ω(t)

其中:

Ω(t)=a1b1［y2－(2y31－y1)/7］－2=

［a1b1－b1(b1－1)］y2－（1/7）a1b1(2y31－y1)+

b1(y1+y3)+［2－g(2－g)+akx2］(kx1x2-

cx2－gx3)+［ak(2－a－g)x2－abc+

2a(kb+cd)x1－3kdax21］(x3－x1)+

［k(2－a－g)x1－c(2－g)+akx3］·

(bx1－dx21)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù) V1=V2+（1/2）e21，則:

1=2+e11=－e21－e22－e23+

e1

對(duì)于響應(yīng)系統(tǒng)式（3），當(dāng)同步控制器形式滿足:

u(t)=－（1/b1），b1＞0

就有 1=－e21－e22－e23≤0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論［12］，兩個(gè)系統(tǒng)達(dá)到混沌同步，即:

limt→∞e璱(t)=0； i=1,2,3

其中:

e1=b1y1－k2，e2=b1y2－k1，e3=y3－x3

下面通過數(shù)值模擬驗(yàn)證此方法的有效性。利用Matlab編程進(jìn)行仿真，選取參數(shù):

(a,b,c,d,g,k)=(8,40,10/3,1,4,1)，

(a1,b1)=(10,100/7)

初始值:

(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,2,3)，

(y1(0),y2(0),y3(0))=(0.1,0,0)

圖3給出了系統(tǒng)（1）和（3）的狀態(tài)變量的誤差曲線；圖4給出了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的同步過程。從圖中可以看出誤差變量隨時(shí)間的推移逐漸趨于零值，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)很快完全達(dá)到同步，另外，還可以看出這兩個(gè)系統(tǒng)能否達(dá)到同步與系統(tǒng)的初始值選取無關(guān)，僅需取定的初始值能使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)即可。

圖3 誤差e1(t),e2(t),e3(t)隨時(shí)間的演化曲線

圖4 同步是狀態(tài)變量隨時(shí)間的演化曲線

3 結(jié) 語

通過設(shè)計(jì)單個(gè)非線性控制器的方式，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)新混沌系統(tǒng)與變形蔡式電路系統(tǒng)之間的異結(jié)構(gòu)同步，并給出了控制器的設(shè)計(jì)過程。理論驗(yàn)證和數(shù)值仿真說明了該方法的可行性和有效性，進(jìn)一步推廣了混沌的應(yīng)用。這種混沌同步的方法，可以應(yīng)用于混沌遮掩和混沌參數(shù)調(diào)制保密通信。

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作者簡介 郭玉祥 男，1983年出生，安徽舒城人，碩士研究生。研究方向?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)混沌理論及其在保密通信中的應(yīng)用。