李春來　羅曉曙

摘 要：針對(duì)變形耦合發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器。根據(jù)非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，對(duì)系統(tǒng)同步誤差穩(wěn)定性進(jìn)行分析和證明。這里所設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號(hào)的廣義同步。以追蹤常值信號(hào)、周期信號(hào)和混沌信號(hào)為例，進(jìn)行數(shù)值仿真，進(jìn)一步表明該控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞：變形耦合發(fā)電機(jī);追蹤控制;廣義同步;非線性控制器

中圖分類號(hào)：TP29;O415.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1004 373X(2009)02 068 03

Tracking Control of Modified Coupled Dynamos Chaotic System

LI Chunlai1,LUO Xiaoshu2

(1.Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang,414000,China;2.College of Physics & Electronics Engineering,Guangxi Normal University,Guilin,541004,China)

Abstract：An uniform nonlinear tracing controller is designed aiming at the characteristics of modified coupled dynamos chaotic system structure.Andthe stability of the synchronous error according to the linearization－stability theory of nonlinear system is analysed and proved.The controlled system can track reference signals in arbitrary form.Constant signal,periodic signal and chaotic systems are taken as examples respectively.Numerical simulation shows the validity of the controller.

Keywords：modified coupled dynamos system;tracking control;generalized projective synchronization;nonlinear controller

0 引 言

混沌系統(tǒng)的控制和同步是當(dāng)前自然科學(xué)基礎(chǔ)研究的熱門課題，它在通信、信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，各種控制和同步方法也應(yīng)運(yùn)而生［1,2］。在混沌控制研究中，追蹤問題是研究的一個(gè)熱點(diǎn)。追蹤問題即通過施加控制使受控系統(tǒng)的輸出信號(hào)達(dá)到事先給定的參考信號(hào)，更具有一般性。特別是，如果追蹤的參考信號(hào)是由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的，這種追蹤控制便演化成為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步，它包括自同步和異結(jié)構(gòu)同步，這方面的工作已經(jīng)有了許多研究［3－7］。電網(wǎng)之間的互聯(lián)是現(xiàn)代電力系統(tǒng)發(fā)展的必然趨勢(shì)，它將使電網(wǎng)的發(fā)電和輸電變得更經(jīng)濟(jì)、更高效。與此同時(shí)，電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性受到前所未有的挑戰(zhàn)。隨著分岔、混沌理論在電力系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為研究中的應(yīng)用，人們發(fā)現(xiàn)電力系統(tǒng)中除了低頻振蕩外，還存在混沌振蕩。這種振蕩不僅對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定具有極強(qiáng)的破壞力，而且不能依靠附加傳統(tǒng)的勵(lì)磁控制器來抑制或消除。自20世紀(jì)90年代以來，國(guó)內(nèi)外許多研究人員對(duì)電力系統(tǒng)的分岔、混沌振蕩產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行了充分、有益的探討［8－11］，但對(duì)電力系統(tǒng)混沌控制方法的研究尚屬少見。在此針對(duì)變形耦合發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)了一個(gè)統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器，可以實(shí)現(xiàn)變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號(hào)的廣義同步。該控制器簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。

1 系統(tǒng)模型

耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)由一個(gè)具有混沌特征的三維自治方程組來描述，它是由連接在一起的2臺(tái)發(fā)電機(jī)組成，其中任何一臺(tái)發(fā)電機(jī)都處于另一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流所形成的磁場(chǎng)之中。文獻(xiàn)［12］在基于耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，給出了變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)：

x·1=－ux1+x2(x3+a)

x2·=－ux2+x1(x3－a)

x·3=x3－x1x2(1)

式（1）中，u和a是正的控制參數(shù)，當(dāng)u= 2和a=1時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為。圖1所示為系統(tǒng)1的典型混沌吸引子。由圖可見，系統(tǒng)1的混沌吸引子除具有低維混沌吸引子的一般特點(diǎn)外，還具有其獨(dú)特之處；吸引子的二維投影具有更復(fù)雜的折疊和拉伸軌線。這說明系統(tǒng)1在局部上比低維混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的不穩(wěn)定性。這使得對(duì)系統(tǒng)1的控制難度大大增加。

圖1 系統(tǒng)1的混沌吸引子

2 控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)系統(tǒng)1施加控制，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量x璱(i=1,2,3)追蹤給定參考信號(hào)，受控后的系統(tǒng)方程為：

x·1=－ux1+x2(x3+a)+u1

x2·=－ux2+x1(x3－a)+u2

x·3=x3－x1x2+u3 (2)

不論參考信號(hào)的形式如何，設(shè)計(jì)如下統(tǒng)一形式的控制器：

u1=1+ur1－ax2－x3r2

u2=2+ur2+ax1－x1r3

u3=3+r3－2x3+x1x2(3)

式中，r1,r2,r3為給定參考信號(hào)。

定理 對(duì)于受控系統(tǒng)2，當(dāng)采用式(3)所示的控制器時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)變量x璱(i=1,2,3)可以追蹤任意連續(xù)可微的參考信號(hào)r璱(i=1,2,3)。

證明 設(shè)追蹤誤差變量為e璱=x璱－r璱（i=1,2,3），結(jié)合式(2)和式(3)，可得追蹤誤差系統(tǒng)為:

e·1=－ue1+x3e2

e·2=－ue2+x1e3

e·3=－e3(4)

式(4)的平衡點(diǎn)為(0，0，0)。由式（4）可知，誤差變量的零點(diǎn)即為誤差系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。式(4)在平衡點(diǎn)處的Jacobian陣為:

J= －ux30

0－ux1

00－1(5)

特征方程為：(λ+u)(λ+u)(λ+1)=0，可解得矩陣J的特征根為λ1=－u，λ2=－u，λ3=－1，由于參數(shù)u為正，所以矩陣J的所有特征根均為負(fù)數(shù)。由非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，誤差系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。即limt→∞|e璱|=0。

3 數(shù)值仿真

3.1 追蹤常值信號(hào)

系統(tǒng)1有5個(gè)平衡點(diǎn)，分別為S0(0,0,0)，S1(1.175 6,-1.902 1,-2.236 1)，S2(-1.175 6,1.902 1,-2.236 1)，S3,4(±1.902 1,±1.175 6,2.236 1)。取參考信號(hào)為系統(tǒng)平衡點(diǎn)S1，即r1=1.175 6，r2=－1.902 1，r3=－2.236 1。由式(3)得控制器為:

u1=1.175 6u－ax2+1.902 1x3

u2=－1.902 1u+ax1+2.236 1x1

u3=－2.236 1r3－2x3+x1x2

采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為(0.02，0.006，0.001)，仿真步長(zhǎng)為0.01，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖可知，系統(tǒng)變量x(t)經(jīng)6 s后追蹤上給定的常值參考信號(hào)，廣義同步誤差穩(wěn)定在零值處。

圖2 追蹤常值信號(hào)仿真結(jié)果

3.2 追蹤周期信號(hào)

取參考信號(hào)為正弦周期信號(hào)r1=sin 4t，r2=cos 2t，r3=sin t，此時(shí)控制器為:

u1=4cos 4t+usin 4t－ax2－x3cos 2t

u2=－2sin 2t+ucos 2t+ax1－x1sin t

u3=cos t+sin t－2x3+x1x2

同樣采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為(0.02，0.006，0.001)，仿真步長(zhǎng)為0.01，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在2 s前追蹤上參考信號(hào)，而廣義同步誤差e(t)穩(wěn)定在零值附近。

3.3 追蹤混沌信號(hào)

Lorenz系統(tǒng)是一個(gè)典型的混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程為：

1=－σ(y1－y2)

2=ry1－y2－y1y3

3=－by3+y1y2

當(dāng)參數(shù)σ=10,r=28,b=8/3，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。取Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量為參考信號(hào)，即r1=y1，r2=y2，r3=y3時(shí)，控制器為：

u1=－σ(y1－y2)+uy1－ax2－x3y2

u2=ry1－y2－y1y3+uy2+ax1－x1y3

u3=－(b－1)y3+y1y2－2x3+x1x2

系統(tǒng)2的初值為(0.02，0.006，0.001)，Lorenz系統(tǒng)的初值為(0.2，0.07，0.1)，仿真步長(zhǎng)為0.01，仿真結(jié)果如圖4所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在7 s前追蹤上參考信號(hào)，廣義同步誤差e(t)穩(wěn)定在零值處。

圖3 追蹤周期信號(hào)仿真結(jié)果

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)變形耦合發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)了一個(gè)統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器。該控制器可以實(shí)現(xiàn)變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號(hào)的廣義同步，分別以常值信號(hào)，周期信號(hào)和混沌信號(hào)為參考信息進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果與理論分析一致。設(shè)計(jì)的控制器使用范圍很廣，在控制混沌和利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字保密通信方面有很廣的應(yīng)用前景。

圖4 追蹤混沌信號(hào)仿真結(jié)果

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作者簡(jiǎn)介 李春來 男，1976年出生，湖南平江人，湖南理工學(xué)院講師，碩士。研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)。

羅曉曙 男，1961年出生，湖北應(yīng)城人，廣西師范大學(xué)教授，博士，碩士生導(dǎo)師。