王雪仁 繆旭弘 賈 地

海軍裝備研究院，北京100161

子結構方法在圓柱殼體振動特性分析中的應用研究

王雪仁 繆旭弘 賈 地

海軍裝備研究院，北京100161

針對大型復雜結構振動特性的預測問題，發(fā)展了一種子結構方法，并應用于圓柱殼模型的振動特性研究。圓柱殼模型長4.2 m，直徑0.4 m，由5部分組成，并且在第4和第5部分內有一個軸系結構。用子結構方法研究其振動特性時，模型被分為3個子結構，子結構間通過螺栓進行連接。因此，首先介紹了子結構方法及連接處理方式的理論基礎，然后通過實驗驗證了發(fā)展方法的正確性，并著重分析了子結構模態(tài)綜合階數和連接處理方式對整體結構預測結果的影響規(guī)律，最后對比分析了子結構方法與傳統有限元法對計算量和內存量的要求。結果表明：發(fā)展的子結構方法具有較高的精度，可應用于求解船舶等大型復雜結構的振動特性。

圓柱殼；復雜結構；子結構方法；振動特性；結構模態(tài)

1 引言

20世紀60年代，HURTY［1，2］首先提出子結構法的概念，其核心思想是將整體結構視為由若干個子結構以某種方式組合在一起的整體，而每個子結構的動力學特征可以用一組獨立的模態(tài)來表示。HURTY將這些模態(tài)稱為結構的特征模態(tài)，并引入了約束模態(tài)，以保證子結構間是作為一個整體存在，而非獨立的個體。此后，許多人對這一方法在如何選擇子結構模態(tài)和如何保證內部邊界的幾何連續(xù)性方面做了進一步的研究和發(fā)展［3－6］。20世紀80年代以后，人們對子結構方法的關注愈來愈少，主要是計算機的快速發(fā)展使原先難以整體建模處理的結構變得容易實現。然而，近來隨著人們對船舶、飛機、衛(wèi)星等這些大型復雜結構振動特性的關注，特別是對這些特性定量分析的要求，使子結構方法再次成為被關注的對象。子結構方法中子結構的綜合模態(tài)截取數和子結構裝配時交界面的連接處理方式是影響子結構方法求解精度和效率的關鍵因素，然而以往的研究在這方面的工作還較少。該文將針對這些內容開展相關研究，首先介紹子結構法的基本原理，推導子結構法中連接方式處理的理論基礎，并應用于圓柱殼體模型研究。

2 理論基礎

2.1 子結構方法

子結構方法的基本思想是 “分割與裝配”，具體可分為3個步驟：一是劃分子結構，即確定每個子結構的坐標關系；二是求解子結構的縮減矩陣及相互間的關系；三是子結構裝配求解整個結構的振動響應。

阻尼系統的結構有限元動力學方程為：

式中，M、C和K分別為結構的質量、阻尼和剛度矩陣；x¨、x˙和x分別為加速度、速度和位移向量矩陣，每個節(jié)點分別包含3個平移自由度（x，y，z）和3個轉動自由度（θx，θy，θz）；F為外部載荷向量。

假設該阻尼系統被分為n個子結構，其中第m個子結構有個相鄰的子結構，并以｛I｝k代表第k個子結構的內部自由度集，｛B1｝k，｛B2｝k，…，｛Bm｝k分別代表第k個子結構與第k＋1，k＋2，…，k＋m個子結構的公共邊界自由度集，那么當考察第k＋1個子結構對第k個子結構的影響時，第k個子結構的動力學方程可以分塊矩陣的形式表示為：

式中，A表示｛I｝k與｛B2｝k，…，｛Bm｝k等自由度集的并集；B表示｛B1｝k。

同理，可得到當考查第k個子結構對第k＋1個子結構的影響時，第k＋1個子結構的動力學方程可以分塊矩陣的形式表示為：

這時，A表示｛I｝k＋1與｛B2｝k＋1，…，｛Bl｝k＋1等自由度集的并集，l表示第k＋1個子結構有l(wèi)個相鄰的子結構，B表示｛B1｝k＋1，且假定其第一個相鄰的子結構為第k個子結構，則有｛B1｝k＋1＝｛B1｝k。依此類推，便可以得到所有子結構間相互關系的動力學方程，聯合求解即能得到整個結構的動力學特性。但這個過程是復雜而繁瑣的，計算量和數據存儲量往往超過，甚至遠大于整體結構直接建模求解。

為解決這個問題，就需要對如式（2）和式（3）所示等這些子結構的動力學方程進行解耦，以實現各子結構動力學方程的獨立求解。第一步便是將位移坐標轉換為模態(tài)坐標，即

式中，ΨN和ΨC分別是結構的標準化特征模態(tài)和約束模態(tài)矩陣，合稱為模態(tài)轉換矩陣Ψ，ξA和ξB分別是結構的界面和內部節(jié)點獨立廣義位移向量。Ψ和ξ可由特征值問題和靜態(tài)平衡方程求得。然后再進行第二次獨立坐標變換，消除ξN中的非獨立坐標，即

式中，S為獨立坐標變換矩陣，ξ為獨立的廣義坐標，具體形式見文獻［7］。

將式（4）和式（5）代入式（2）和式（3）等子結構動力學方程中，并根據各子結構間相互連接的協調條件，即可得到求解系統響應的縮減后的系統動力方程。

式中，M＝TTMT，c＝TTCT，k＝TTKT，f＝TTF，T＝ΨS。

求解式（6）后，即可將相應的結果由模態(tài)坐標轉換為物理坐標，以得到結構的實際響應。

2.2 子結構間界面協調條件處理

子結構間相互連接的協調條件是影響子結構綜合求解精度的關鍵因素，其連接方式可以處理為剛性連接、柔性連接或者是簡單的位移連續(xù)條件。在數學處理上，這些邊界條件均可以由邊界點的線性約束組合表示，約束矩陣方程為：

式中，A為m×n階系數矩陣；y為n×1階位移矩陣；d為m×1階常數矩陣。

子結構間的實際連接方式是多種多樣的，典型的有螺栓連接、焊接、鉚接及扣接等，這些連接精確的有限元模型描述是復雜而繁瑣的，幸運的是在求解結構整體響應時，這種細致的描述是不需要的。實際上，這些連接均可通過定義剛性連接、柔性連接或者是簡單的位移連續(xù)條件來實現，由式（7）來描述。例如，考慮連接節(jié)點a和b的點焊，如果兩節(jié)點之間的距離可以忽略，則a和b的位移是相同的，即

如果兩節(jié)點之間的距離不可忽略，則可用剛性棒模型處理兩節(jié)點之間的位移關系，即

式中，θa和θb是節(jié)點角向量，r為由b到a的距離向量。

但是，有些連接在數學處理上是不易準確定義的，如螺栓連接，其預緊力大小將會影響連接點的自由度約束情況，本文即將探討兩種處理方式對預測結果的影響，即方式一：xa＝xb，θa＝θb；方式二：xa＝xb，θa≠θb。

由式（7）可以看出，子結構間協調條件越多，式（7）的維數越大，同時，式（4）中的約束模態(tài)矩陣ΨC的維數e與協調條件數h的關系為：

因此，子結構間協調條件的增加將會導致子結構方法效率的降低。

本文通過對大型商業(yè)軟件 （如Ansys，LMS Virtual.lab等）的二次開發(fā)，編制相應的接口程序，實現對上述矩陣方程的求解。

3 結構模型

考察的模型為圖1所示的圓柱殼體結構，整個結構由5個分段組成，分段之間靠內法蘭或外法蘭螺栓連接，在Ⅲ、Ⅵ、Ⅴ段內設計有軸系結構。利用子結構法進行仿真計算和模型試驗時，將結構分為首部（第Ⅰ段）、中部（第Ⅱ段）和尾部（第Ⅲ、Ⅵ和Ⅴ段）三部分。結構實物如圖2所示。

結構的固有模態(tài)測試分為4個部分：首部、中部、尾部3個子結構測試以及模型整體測試。均采用彈簧吊裝的方式模擬各結構的自由約束邊界條件，為獲得結構的振型，采用單點激勵多點響應的測試方法。為激起結構的中高頻模態(tài)響應，采用鋁質力錘頭激勵，數據采集與處理系統采用LMS Test.lab系統。

4 結構的特征模態(tài)分析

本節(jié)中子結構間的螺栓連接協調條件取2.2節(jié)中的方式一。

4.1 子結構特征模態(tài)分析

結構的模態(tài)分析將采用子結構方法和直接方法，其區(qū)別在于子結構方法中子結構是作為整體中的個體存在，設定的邊界條件包含整體因素，而直接方法中則將子結構視為獨立的個體。子結構方法通過在公共邊界節(jié)點上的靜力補償來考慮整體因素的影響，通過靜力補償的設置來獲得式（4）中所需的約束模態(tài)。因此，直接法預測結果中只包含結構的特征模態(tài)，而子結構方法預測結果中除結構的特征模態(tài)外，還包含約束模態(tài)。模型中的公共邊界點為螺栓連接點，因此，首部和尾部子結構各有8個公共邊界點，而中部子結構有16個公共邊界點。首部、中部和尾部3個子結構特征模態(tài)的仿真計算結果與試驗測量值對比見表1～表3?？梢钥闯?，子結構方法和直接方法所得特征模態(tài)預測結果完全一致，且與試驗值吻合良好，說明子結構方法分析結果不僅包含子結構組合集成時所需的信息，而且完全包含獨立子結構振動特性信息。

圖1 圓柱殼體模型結構尺寸

圖2 圓柱殼體模型實物

表1 首部子結構典型模態(tài)比較（Hz）

表2 中部子結構典型模態(tài)比較（Hz)

表3 尾部子結構典型模態(tài)比較(Hz)

表4 整體結構典型模態(tài)比較(Hz)

4.2 整體結構特征模態(tài)分析

整體結構典型特征模態(tài)的子結構方法、直接法預測結果及試驗測量結果見表4，子結構方法與直接法前50階模態(tài)預測結果比較見圖3。由表4和圖3可以看出，3種方法預測結果吻合較好，說明子結構方法可正確預測結構的振動特性。子結構方法的預測精度相對于直接方法略差，是由于子結構間邊界條件的連接處理和子結構的截取模態(tài)數有限。

圖3 直接法與子結構方法預測結果比較

圖4 子結構特征模態(tài)均為50階時，子結構綜合階數對整體結構模態(tài)預測結果的影響

5 子結構方法求解精度探討

由式（4）和式（7）可以看出，子結構方法的求解精度主要取決于子結構截取模態(tài)的數目以及子結構裝配連接時邊界條件的處理，本文將針對圖1模型對這兩個方面進行探討。

5.1 子結構模態(tài)截取數對求解精度的影響

各子結構獨立計算時均設置計算前50階結構特征模態(tài)，而實際計算時，由于靜態(tài)補償點的影響，計算結果中除了結構的特征模態(tài)外還有考慮整體因素的約束模態(tài)，由式（10），并考慮2.2節(jié)中的邊界條件處理方式一，可知首部和尾部子結構的計算結果各有98階模態(tài)，中部子結構有146階模態(tài)。在子結構進行裝配計算整體結構模態(tài)時，3個子結構均取前60階、80階和98階相同的階數參與綜合計算，以及每個子結構全部模態(tài)均參與綜合計算等4種情況，計算結果如圖4所示?？梢钥闯觯S著各子結構模態(tài)綜合階數的增大，整體模態(tài)預測結果的精度逐漸提高，當所取模態(tài)綜合階數等于首、尾部子結構的全部模態(tài)數時，所得結果與全部模態(tài)都參與綜合計算時預測結果吻合很好。

當各子結構均設置計算前40階和前70階結構特征模態(tài)時，首部、中部和尾部的模態(tài)計算結果各有88階、136階、88階和118階、166階、118階模態(tài)。子結構模態(tài)綜合階數對整體結構模態(tài)預測結果的影響如圖5和圖6所示。同樣可以看出，當子結構模態(tài)綜合階數為其中包含最少模態(tài)的子結構的全部模態(tài)數時，整體模型的預測結果可視為達到穩(wěn)定。

5.2 子結構間連接處理對求解精度的影響

根據實際結構，模型首部、中部和尾部3個子結構間的連接采用剛性螺栓單元連接，它是一種蜘蛛網式單元和節(jié)點，具有x，y，z 3個平移自由度和θx，θy，θz3個轉動自由度。各子結構獨立計算時，求解特征模態(tài)數均為前50階，整體結構裝配中交界面連接處理方式（即邊界協調條件）對預測結果的影響如圖7所示。圖中模態(tài)頻率變化量定義為：

圖5 子結構特征模態(tài)均為40階時，子結構綜合階數對整體預測結果的影響

圖6 子結構特征模態(tài)均為70階時，子結構綜合階數對整體預測結果的影響

圖7 邊界協調條件對整體結構預測模態(tài)結果的影響

由圖7可以看出，連接點自由度全部耦合（即2.2節(jié)中界面協調條件方式一）計算結果精度好于部分自由度耦合 （即2.2節(jié)中界面協調條件方式二）計算結果；邊界協調條件處理方式對預測結果的影響是明顯的，特別是對低階模態(tài)的影響是不可忽略的，前20階非剛體模態(tài)的變化量在10%以上，而第1階非剛體模態(tài)的變化量更是達到50%。

當子結構連接點3個方向的平移自由度耦合而轉動自由度自由時，子結構模態(tài)耦合階數對整體結構求解精度的影響如圖8所示。比較圖4和圖8可以看出，連接點耦合自由度越少，整體模態(tài)預測結果對子結構模態(tài)耦合階數的敏感度越小。當只耦合約束3個平移自由度時，每個子結構取其前80階模態(tài)參與整體模態(tài)耦合計算即能得到穩(wěn)定的結果。

6 子結構方法效率探討

針對子結構間連接點平移和轉動自由度全部耦合約束的情況開展相應的探討，子結構的特征模態(tài)數為50階。直接法與子結構方法耗費的時間與內存量的比較見表5。可以看出，子結構獨立計算時子結構方法耗費的時間明顯多于直接法，而占用的內存量基本一致，這是由于子結構方法中除了求解特征模態(tài)外還有約束模態(tài)，導致計算時間增大，而內存量只與模型單元和節(jié)點數有關。子結構方法的整體結構模態(tài)的計算時間明顯小于直接法，而占用內存量明顯大于直接法，這是由于子結構方法采用模態(tài)綜合法求解整體結構的模態(tài)，不需有限元矩陣方程組形成和求解，但需要大量的各子結構模態(tài)信息結果數據。子結構方法中子結構模態(tài)綜合階數對應的整體模態(tài)計算時間和內存量見表6，關系曲線如圖9和圖10所示?？梢钥闯觯w模態(tài)的計算時間和內存量以線性關系隨著綜合階數的增加而增大。

圖8 子結構間界面協調條件取方式二時，子結構模態(tài)綜合階數對整體結構模態(tài)預測結果的影響

表5 直接法與子結構法計算時間與內存量比較

表6 子結構模態(tài)綜合階數對整體結構模態(tài)計算時間與內存量的影響

圖9 子結構模態(tài)綜合階數對整體結構模態(tài)預測計算時間的影響

圖10 子結構模態(tài)綜合階數對整體結構模態(tài)預測占用內存量的影響

7 結論

發(fā)展了子結構方法，應用于圓柱殼體模型研究，并分析了影響其預測精度和效率的因素，得到了以下結論：

1）子結構方法可正確預測結構的振動特性，將復雜的結構分解為若干簡單的結構分別研究。

2）子結構方法的預測精度受子結構模態(tài)截取數和子結構間的連接邊界條件兩個主要因素的影響：參與綜合的模態(tài)數愈多，求解精度愈高，當子結構模態(tài)綜合階數為其中包含最少模態(tài)的子結構的全部模態(tài)數時，整體模型的預測結果可視為達到穩(wěn)定；子結構間協調邊界條件數越少，整體模態(tài)預測結果對子結構模態(tài)綜合階數的敏感度越小。

3）子結構方法可實現各子結構的獨立求解，在各子結構振動特性已知的情況下可快速求解整體結構振動特性，其計算時間和內存量以線性關系隨著子結構參與綜合的模態(tài)階數的增加而增大。

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Substructure Synthesis Method for Vibration Characteristics Analysis of Cylindrical Shell

Wang Xue－ren Miao Xu－h(huán)ong Jia Di
Naval Equipment Academy，Beijing 100161，China

The substructure synthesis method was developed and applied to predict the structure vibration characteristics of a cylindrical shell model with length and diameter of 4.2m and 0.4m respectively.The shell model consists of five parts and a shafting passing through the fourth and the fifth parts.When computing，the model was divided into three substructures connected by bolts.Theories about the substructure synthesis method and the connection modeling technique were introduced at first.Then the accuracy of the developed method was verified by comparing the predicted results with the experimental results of the structure modes.Several factors，such as modal reduction and interface conditions，were studied about their effects on the accuracy of the predictions.Computational time and memory usage of the substructure synthesis method were compared with those of the traditional FEM.The comparison shows the efficiency of the substructure synthesis method.The results show that the developed substructure synthesis method is an effective method for predicting vibration characteristics of large and complex structures such as ships.

cylindrical shell；complex structure；substructure synthesis method；vibration characteristics；structure mode

TB532

A

1673－3185（2009）05－08－06

2009-05-12

中國博士后科學基金資助項目（20080431388）

王雪仁（1980－），男，博士后。研究方向：振動噪聲控制。E-mail：wxrencon@yahoo.com.cn