劉　頓

我們知道，一個(gè)二元一次方程通過適當(dāng)?shù)淖冃?，就可以變成一個(gè)一次函數(shù)的解析式，可見二元一次方程與一次函數(shù)雖然有著本質(zhì)的區(qū)別，但它們之間也存在著密不可分的聯(lián)系.為了幫助同學(xué)們學(xué)習(xí)好二元一次方程與一次函數(shù)，現(xiàn)將應(yīng)掌握的幾個(gè)要點(diǎn)敘述如下.

一、二元一次方程與一次函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別：（1）二元一次方程有兩個(gè)未知數(shù)，而一次函數(shù)則有兩個(gè)變量；（2）二元一次方程用一個(gè)等式表示兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系，而一次函數(shù)既可以用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，又可以用列表或圖象來表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

聯(lián)系：（1）在平面直角坐標(biāo)系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，這些點(diǎn)都在相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象上.如方程2x+y＝5有無數(shù)組解，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)（1，3），（2，1），…都在一次函數(shù)y＝－2x+5的圖象上. （2）在一次函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程.如在一次函數(shù)y＝－x+2的圖象上任取一點(diǎn)（－3，3），則x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y＝2的一組解.

所以，以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象是相同的.

二、兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)與二元一次方程組解的聯(lián)系

在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，一定是相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn).

三、當(dāng)二元一次方程組無解時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的位置關(guān)系

當(dāng)二元一次方程組無解時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象就沒有交點(diǎn)，即兩個(gè)一次函數(shù)圖象平行.反過來，當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)圖象平行時(shí)，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組3x-y=5，3x-y=-1無解，則一次函數(shù)y＝3x－5與y＝3x+1的圖象平行，反之也成立.

四、用作圖的方法解二元一次方程組

用作圖的方法解二元一次方程組，一般有下列幾個(gè)步驟：（1）將相應(yīng)的二元一次方程改寫成一次函數(shù)的解析式；（2）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)一次函數(shù)的圖象；（3）找出圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，即得二元一次方程組的解.

五、利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的解析式

在實(shí)際應(yīng)用中，常常利用待定系數(shù)法構(gòu)造二元一次方程組，從而確定一次函數(shù)的解析式.

例1 某航空公司規(guī)定，乘客可以免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，但超過該質(zhì)量則需購買行李票，且行李費(fèi)y（元）是行李質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù).現(xiàn)知王芳帶了30 kg的行李，買了50元行李票.李剛帶了40 kg的行李，買了100元行李票.那么，乘客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李？

解析：依題意，可設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b.則可得二元一次方程組50=30k+b，100=40k+b.解得k=5，b=-100，即一次函數(shù)的解析式是y＝5x－100.當(dāng)x＝20時(shí)，y＝0.所以乘客最多可免費(fèi)攜帶20 kg的行李.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。