彭 坤，徐世杰

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191）

基于沖量變軌原理的地球同步衛(wèi)星有限推力變軌策略

彭 坤，徐世杰

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191）

推力有限時(shí)，地球同步軌道衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)變軌的弧段很長(zhǎng)，會(huì)導(dǎo)致較多的燃料消耗?；跊_量變軌原理，研究了地球同步軌道衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)有限推力多次變軌問(wèn)題，提出了具有星下點(diǎn)約束的最省燃料變軌方案，給出了每次變軌的推力方向和點(diǎn)火起止時(shí)刻及最優(yōu)中間過(guò)渡軌道。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方案的有效性。

沖量變軌；地球同步衛(wèi)星；有限推力；遠(yuǎn)地點(diǎn)變軌

1 引 言

從近地橢圓停泊軌道進(jìn)入地球同步軌道是一種常見(jiàn)的變軌方式，工程上一般采用在遠(yuǎn)地點(diǎn)多次變軌的策略。以往地球同步軌道衛(wèi)星都利用固體發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)進(jìn)行變軌。其特點(diǎn)是推力大，作用時(shí)間短，可認(rèn)為是沖量式變軌?，F(xiàn)在，衛(wèi)星多采用液體發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行變軌，這種發(fā)動(dòng)機(jī)可進(jìn)行多次點(diǎn)火，前一次點(diǎn)火中產(chǎn)生的誤差可在以后多次點(diǎn)火期間修正，而且在變軌期間其低推力特性使衛(wèi)星容易維持其三軸穩(wěn)定性。這時(shí)，沖量假設(shè)不再成立，而最省燃料的有限推力變軌問(wèn)題歸結(jié)為求解大型的非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，但求解過(guò)程非常復(fù)雜。

文獻(xiàn)[1]應(yīng)用遞推二次規(guī)劃算法進(jìn)行有限推力遠(yuǎn)地點(diǎn)變軌參數(shù)尋優(yōu)，但算法比較復(fù)雜。文獻(xiàn)[2]研究了推力較小時(shí)在遠(yuǎn)地點(diǎn)采用多次變軌的最優(yōu)變軌過(guò)程，但存在初始猜測(cè)問(wèn)題，且入軌時(shí)沒(méi)有精度限制。文獻(xiàn)[3]利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)研究了多沖量推力作用下的最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題，但采用了沖量式變軌且僅適用于共面橢圓軌道。文獻(xiàn)[4]利用極大值原理給出了交會(huì)問(wèn)題中最優(yōu)推力弧段的幾個(gè)性質(zhì)。文獻(xiàn)[5-6]研究了三軸穩(wěn)定模式下的有限推力軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題，及交會(huì)時(shí)衛(wèi)星在三維空間的最省燃料有限推力軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]討論了求解有限推力軌跡優(yōu)化問(wèn)題的直接打靶方法。文獻(xiàn)[8]運(yùn)用遺傳算法對(duì)有限推力軌道攔截問(wèn)題進(jìn)行了優(yōu)化。上述討論中，文獻(xiàn)[5-8]均只研究了一次變軌的過(guò)程，沒(méi)有涉及多次變軌問(wèn)題，這將使變軌誤差無(wú)法得到修正。

由文獻(xiàn)[6]可知，衛(wèi)星在最省燃料異面有限推力軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中推力方向在慣性空間幾乎成固定值。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可假設(shè)變軌過(guò)程中發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向在慣性系中不變，且始終在節(jié)點(diǎn)慣性系的xoy平面內(nèi)。在此基礎(chǔ)上，可利用沖量變軌的原理估算每次變軌中軌道要素的變化所需的燃料消耗和點(diǎn)火信息，通過(guò)優(yōu)化中間過(guò)渡軌道的軌道要素來(lái)減少燃料消耗。此方法避開(kāi)了求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，而由于推力弧問(wèn)題產(chǎn)生的誤差可通過(guò)以后幾次變軌進(jìn)行補(bǔ)償。

本文利用上述方法研究了衛(wèi)星從近地橢圓軌道到地球同步軌道最省燃料的多次變軌策略?；谕屏Υ笮〔蛔?、推力方向在節(jié)點(diǎn)慣性系的xoy平面內(nèi)不變的假設(shè)，討論了每次變軌時(shí)有限推力點(diǎn)火信息的求取方法（包括點(diǎn)火時(shí)刻、熄火時(shí)刻和推力方向）。仿真算例中考慮了衛(wèi)星在進(jìn)入地球同步軌道時(shí)的星下點(diǎn)約束，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

2 軌道動(dòng)力學(xué)模型

在整個(gè)變軌過(guò)程中，衛(wèi)星始終繞地球飛行，因此衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)方程可用第一組軌道攝動(dòng)方程[9]表示

式中，a、e、i、Ω、ω和θ分別為軌道半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)輻角和真近點(diǎn)角。p是半通徑，p=a（1-e2），h是軌道角動(dòng)量μ為地心引力常數(shù)，r是衛(wèi)星到地球中心的距離，r=p/（1+e cosθ），fr、fu和fh分別為地球扁率、日月引力及發(fā)動(dòng)機(jī)推力的合加速度在徑向、切向和角動(dòng)量方向的分量。

由文獻(xiàn)[6]的結(jié)論，可設(shè)推力方向只在節(jié)點(diǎn)慣性系的xoy平面內(nèi)變化，故可用偏航角ψ來(lái)表示推力加速度的徑向分量fT_r、切向分量fT_u和角動(dòng)量方向分量fT_h，其關(guān)系式為

其中，節(jié)點(diǎn)系和軌道系的關(guān)系如圖1所示。

3 基于沖量變軌的變軌點(diǎn)火信息求取方法

圖1 節(jié)點(diǎn)系和軌道系的關(guān)系圖

一般單沖量變軌方式有以下三種：一是僅改變軌道傾角，不改變半長(zhǎng)軸時(shí)（在升或降交點(diǎn)施加沖量），需要的速度增量是Δvi=2v0sin（Δi/2）；二是僅增大軌道半長(zhǎng)軸，不改變傾角時(shí)（在遠(yuǎn)地點(diǎn)施加沖量），需要的速度增量是Δva=vf-v0；三是既變傾角又變半長(zhǎng)軸時(shí)，需要的速度增量是Δv=其中，v0為施加沖量前速度，vf為施加沖量后的最終速度，Δi為軌道傾角變化量。

圖2 變軌的速度增量

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，可設(shè)最省燃料的推力方向在慣性系上是不變的。在變軌時(shí)間不長(zhǎng)（即推力弧不長(zhǎng)）的情況下，可用沖量變軌原理來(lái)算出改變衛(wèi)星軌道要素所需的速度增量Δv，把Δv的方向作為變軌過(guò)程的推力方向。由此可求得發(fā)動(dòng)機(jī)的偏航角為ψ=arcsin（vfsin（Δi）/Δv），如圖2所示。同時(shí)，可由Δv的大小算出變軌過(guò)程的燃料消耗Δm和點(diǎn)火時(shí)間Δt，其計(jì)算公式如下

式中，m0為衛(wèi)星的初始質(zhì)量，w為發(fā)動(dòng)機(jī)的排氣速度，它是發(fā)動(dòng)機(jī)比沖與重力加速度的乘積，即w=Ispg，F(xiàn)為發(fā)動(dòng)機(jī)的推力。

有了推力方向和點(diǎn)火時(shí)間，只需求出點(diǎn)火時(shí)刻就能知道完整的變軌點(diǎn)火信息。為了減小變軌過(guò)程中推力弧產(chǎn)生的誤差，可將遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)刻設(shè)為變軌過(guò)程的中間時(shí)刻，即點(diǎn)火時(shí)刻和熄火時(shí)刻對(duì)稱地設(shè)在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)刻兩側(cè)。

4 最省燃料的多次變軌方案設(shè)計(jì)

在變軌過(guò)程中，如果采用一次變軌方案，需要很長(zhǎng)的點(diǎn)火時(shí)間，會(huì)產(chǎn)生一段很長(zhǎng)的推力弧段，造成大量燃料損失。如果采用多次變軌，推力弧段會(huì)比較短，有利于節(jié)省燃料，但推力發(fā)動(dòng)機(jī)的工作次數(shù)有一定限制，多次變軌開(kāi)關(guān)機(jī)會(huì)縮短其壽命，而且多次變軌過(guò)程比較復(fù)雜，不利于優(yōu)化。一般可采取3～4次變軌完成任務(wù)，前兩次變軌將橢圓軌道的軌道要素調(diào)整至地球同步軌道的軌道要素，最后1～2次變軌用于微調(diào)以消除前兩次變軌產(chǎn)生的誤差。

由于最后1～2次變軌的主要目的是微調(diào)軌道要素，故而關(guān)鍵是優(yōu)化前兩次變軌的軌道要素。而第一次變軌的初始軌道要素為已經(jīng)給定的近地橢圓軌道的軌道要素，第二次變軌的最終軌道要素為地球同步軌道的軌道要素，因此只需優(yōu)化第一次變軌后的最終軌道要素。其中，前兩次變軌總的燃料消耗Δm與第一次變軌后的半長(zhǎng)軸a和軌道傾角i的關(guān)系如下式所示

式中，v0，v1，vf的表達(dá)式分別為

下面考慮一項(xiàng)具體的變軌任務(wù)。設(shè)近地橢圓軌道的軌道參數(shù)為：a=24546km，e=0.7319，i=28.49°，Ω=323°，ω=180°。衛(wèi)星在格林威治時(shí)間2009年12月30日16時(shí)整的平近點(diǎn)角為M=1.06°，以此時(shí)刻為變軌過(guò)程的初始時(shí)刻。地球同步軌道的軌道參數(shù)為：a=42164km，星下點(diǎn)經(jīng)緯度為（100°，0°）。衛(wèi)星的初始質(zhì)量為m=3200kg，發(fā)動(dòng)機(jī)的推力為F=490N，比沖為Isp=309s。以下采用基于沖量變軌的變軌點(diǎn)火信息求取方法來(lái)設(shè)計(jì)變軌方案。

燃料消耗Δm隨第一次變軌后的半長(zhǎng)軸a和軌道傾角i變化的曲面關(guān)系如圖3所示。由圖可知，對(duì)應(yīng)于燃料消耗Δm最小的第一次變軌后的參數(shù)為：a=2.454632×107m，i=28.49°和a=4.25×107m，i=0°。但這兩組數(shù)據(jù)都相當(dāng)于一次變軌完成。而一次變軌在用有限推力推進(jìn)的情況下會(huì)浪費(fèi)燃料，故不采取。

圖3 Δm隨a和i變化的曲面圖

在這種情況下，可每隔2°取一個(gè)傾角值，計(jì)算每個(gè)傾角值下最小的Δm值及相應(yīng)的a值，并求出前兩次變軌的點(diǎn)火時(shí)間Δt1和Δt2。為了避免變軌時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，應(yīng)使兩次變軌的時(shí)間大致相同。通過(guò)計(jì)算可知，當(dāng)a=2.805×107m，i=12°時(shí)，燃料消耗最小且兩次變軌時(shí)間大致相同。

5 各變軌段的點(diǎn)火信息設(shè)計(jì)

（1）第一次變軌點(diǎn)火信息

取第一次變軌后的半長(zhǎng)軸和軌道傾角為a=2.805×107m，i=12°，則可由第2節(jié)中的變軌點(diǎn)火信息求取方法計(jì)算出第一次變軌的變軌參數(shù)：M=159.3846°，ψ=52.8656°，Δt1=4383.4s。仿真可得當(dāng)t=16740s時(shí)，平近點(diǎn)角M=159.3817°，因而其變軌參數(shù)如表1所示。仿真可得變軌后實(shí)際的軌道半長(zhǎng)軸和軌道傾角為a=2.7912×107m，i=12.0757°。

（2）第二次變軌點(diǎn)火信息

為減小變軌誤差，取第一次變軌后的實(shí)際軌道要素a=2.7912×107m，i=12.0757°計(jì)算第二次變軌的變軌參數(shù)，可算得M=161.8888°，ψ=36.0639°，Δt2=4669.5s。取t=63303.732s（M=161.8599°），仿真可得a=4.2542×107m，i=0.2038°。但平近點(diǎn)角產(chǎn)生突變（如圖4所示），故對(duì)點(diǎn)火時(shí)刻進(jìn)行調(diào)整。經(jīng)過(guò)反復(fù)調(diào)整可得，取M=168°為點(diǎn)火時(shí)刻時(shí)，平近點(diǎn)角變化曲線比較平緩（如圖5所示）。當(dāng)M=168°時(shí)，t=64092s，故取它為第二次變軌點(diǎn)火時(shí)刻。

表1 四次變軌的變軌參數(shù)

圖4 M=161.8599°時(shí)的平近點(diǎn)角變化曲線

圖5 M=168°時(shí)的平近點(diǎn)角變化曲線

在確定第二次變軌熄火時(shí)刻時(shí)，應(yīng)兼顧星下點(diǎn)位置要求，使衛(wèi)星在經(jīng)過(guò)第三次漂移后正好在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的星下點(diǎn)位置為（100°，0°）。表2列出了衛(wèi)星分別漂移1、2、3圈到達(dá)指定經(jīng)度時(shí)對(duì)應(yīng)的第二次變軌熄火時(shí)刻的半長(zhǎng)軸acoast和漂移時(shí)間tcoast。

表2 漂移圈數(shù)不同時(shí)的軌道半長(zhǎng)軸和漂移時(shí)間

如取熄火時(shí)刻tf=68657s（M=180°），可算得a=4.1766×107m，與表2中第三組數(shù)據(jù)相近。仿真得t=68610.276s時(shí)，a=4.1462×107m。用第三組數(shù)據(jù)進(jìn)行第三次漂移仿真得M=182.9639°。當(dāng)t=320000s時(shí)，M=180.0046°，星下點(diǎn)經(jīng)度為95.9836°。若能調(diào)整a=4.13553×107m，則漂移后星下點(diǎn)經(jīng)度為100.0002°。此時(shí)固定點(diǎn)火時(shí)間，調(diào)整偏航角使ψ=36.608°時(shí)，a=4.13553×107m。綜上所述，第二次變軌的變軌參數(shù)如表1所示。

（3）第三次變軌點(diǎn)火信息

第三次變軌的主要目的是調(diào)整a，i的值，其中軌道傾角調(diào)整比較難，且有增大的趨勢(shì)，故主要調(diào)整半長(zhǎng)軸。當(dāng)半長(zhǎng)軸增大到目標(biāo)值時(shí)，停止變軌。仿真可得其變軌參數(shù)如表1所示。

（4）第四次變軌點(diǎn)火信息

當(dāng)衛(wèi)星完成三次變軌時(shí)，軌道傾角i還存在0.6492°的誤差，因此必須再次變軌以修正軌道傾角誤差。而要改變軌道傾角，不改變半長(zhǎng)軸，應(yīng)在升或降交點(diǎn)施加沖量。同樣運(yùn)用第2節(jié)的方法可求出此次變軌的變軌參數(shù)，如表1所示。

6 仿真結(jié)果

在數(shù)值計(jì)算中，采用四階龍格—庫(kù)塔積分算法，變軌段步長(zhǎng)為0.3s，漂移段步長(zhǎng)為10s。衛(wèi)星在四次變軌中總計(jì)的燃料消耗為1477.8kg，由于產(chǎn)生推力弧，比理論的燃料消耗最優(yōu)值（1452.5kg）多1.74%。四次變軌后衛(wèi)星到達(dá)指定星下點(diǎn)位置的地球同步軌道，其中前兩次變軌主要是大范圍改變半長(zhǎng)軸a、偏心率e和軌道傾角i，后兩次變軌分別修正了半長(zhǎng)軸a和軌道傾角i的誤差。圖6描繪了衛(wèi)星的整個(gè)飛行軌跡，從圖中可看出前三次變軌基本在遠(yuǎn)地點(diǎn)位置附近，第四次修正軌道傾角的變軌在衛(wèi)星軌道的降交點(diǎn)位置附近。

圖6 衛(wèi)星飛行軌跡

7 結(jié) 論

通過(guò)引入最省燃料異面有限推力軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中推力方向在慣性空間不變這一假設(shè)，利用沖量變軌原理處理了有限推力軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題。這種方法可以避開(kāi)求解大型的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，使計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化。本文給出了利用沖量變軌原理求解最省燃料的每次變軌點(diǎn)火信息和最優(yōu)中間過(guò)渡軌道的方法。在第二次變軌時(shí)選擇合適的軌道半長(zhǎng)軸和適當(dāng)?shù)钠茣r(shí)間，使衛(wèi)星的星下點(diǎn)在第三次遠(yuǎn)地點(diǎn)變軌時(shí)到達(dá)指定的經(jīng)度位置。算例表明，本方法能夠得到較精確的變軌結(jié)果，包括每次變軌的最優(yōu)推力方向和點(diǎn)火起止時(shí)刻及最優(yōu)中間過(guò)渡軌道。由于推力弧的存在，實(shí)際仿真的燃料消耗比理論最優(yōu)值要稍多一些。

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Finite Thrust Maneuver Strategy for the Geostationary Satellite Based on Impulse Orbit Transfer

PENG Kun，XU Shijie
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

In the case of finite thrust apogee maneuver for the geostationary satellite，the fuel consumption increases due to the long burn arc.Based on the impulse orbit transfer principle，the finite thrust multi-impulse apogee maneuver for the geostationary satellite is studied in this paper.The minimum fuelmulti-impulse apogeemaneuver strategy with the constraint of sub satellite point is obtained.The thrust direction and firing time of each maneuver and the optimal intermediate transition orbits are given.Simulation results validate the effectiveness of the proposed method.

impulse orbit transfer；geostationary satellite；finite thrust；apogee maneuver

V448

A

1674-1579（2008）06-0048-04

2008-08-15

彭 坤（1984-），男，湖北人，博士研究生，研究方向?yàn)樾⊥屏壍擂D(zhuǎn)移的控制、建模與仿真研究（e-mail：bhkpeng@126.com）。