劉書妹

數(shù)的“開方”運(yùn)算是同學(xué)們學(xué)習(xí)中繼“加、減、乘、除、乘方”五種運(yùn)算后的又一種運(yùn)算，也是初中階段需要掌握的一種重要的運(yùn)算. 由于開方運(yùn)算的特殊性，例如開平方運(yùn)算中被開方數(shù)取值范圍的限制、平方根運(yùn)算結(jié)果的不唯一性等，容易導(dǎo)致同學(xué)們在進(jìn)行開方運(yùn)算時犯錯誤. 下面針對同學(xué)們常犯的錯誤進(jìn)行剖析，希望同學(xué)們引以為戒.

一、概念理解不清

例1判斷：

（1） 無理數(shù)都是無限小數(shù).（）

（2） 帶根號的數(shù)都是無理數(shù).（）

（3） -3是9的平方根.（）

錯解：（1） ×（2） √（3） ×

分析：（1）錯解原因在于對無理數(shù)的概念理解不清，分不清無限小數(shù)與無理數(shù)的關(guān)系.由無理數(shù)的定義“無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)”，可知無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)都是無限小數(shù). 注意分清無限小數(shù)與無理數(shù)的范圍，無限小數(shù)范圍大，無理數(shù)范圍小，無理數(shù)屬于無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù).

（2） 判斷無理數(shù)的根據(jù)是無理數(shù)的概念，而不是數(shù)的表面形式. 帶根號的數(shù)分兩種情況：一種是被開方數(shù)能開方開盡的，是有理數(shù)，如= - 3，則 是有理數(shù)；另一種是被開方數(shù)是開方開不盡的（是無限不循環(huán)小數(shù)），是無理數(shù)，如 不能再化簡，因此是無理數(shù). 所以此題的說法錯誤.

（3）錯解原因在于對平方根的定義不能正確理解. 根據(jù)平方根的定義，“如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x叫做a的平方根”，因?yàn)椋?- 3）2 = 9， 所以 - 3是9的平方根，因此此題正確. 同理，3也是9的平方根，也可以說3與 - 3 都是9的平方根. 但反過來，只能說9的平方根是3與 - 3（此時必須是兩個）.

正解：（1） √（2） ×（3） √

點(diǎn)評：對于數(shù)學(xué)中的定義，一定要抓住其要點(diǎn)，準(zhǔn)確理解，這樣才能在有關(guān)概念的判斷題中作出正確判斷.

二、符號認(rèn)識不清

例2填空：如果 的平方根是 ± 3，那么a = .

錯解：9.

分析：由于9的平方根是 ± 3，因此= 9，即a的算術(shù)平方根是9，而不是a是9，所以a = 81. 同學(xué)們產(chǎn)生錯誤的原因在于沒有認(rèn)真審題，對算術(shù)平方根的符號認(rèn)識不清，混淆了a與 .

正解：81.

三、性質(zhì)理解不清

例3填空：的平方根是 .

錯解：3.

分析： 表示729的立方根，= 9，9的平方根是 ± 3，即 的平方根是 ± 3. 錯誤的原因是對平方根的性質(zhì)理解不透，由于互為相反數(shù)的兩數(shù)（非零）的平方相等，所以正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，即正數(shù)開平方運(yùn)算的結(jié)果有兩個，這一點(diǎn)一定要記清.不少同學(xué)往往容易丟掉負(fù)的平方根，而導(dǎo)致解題結(jié)果不完整.

正解： ± 3.

例4若（a2 - 3）2 + b2 - 5 = 0， 分別求a，b的值.

錯解：由題意，得a2- 3 = 0，b2 - 5 = 0.

解得a = ≈ 1.73，b =≈ 2.24.

分析：此題解法的錯誤之一是丟掉了負(fù)的平方根，錯誤之二是將結(jié)果取近似值，實(shí)際上此題對于最后的結(jié)果沒作要求，不必求出結(jié)果的近似值，應(yīng)取準(zhǔn)確值.

正解：由題意，得a2 - 3 = 0，b2 - 5 = 0.

解得a = ±，b =±.

四、忽視被開方數(shù)的取值范圍

例5解方程 ? - 2 = 0.

錯解：化簡，得x - 2 = 0.

故x = 2.

分析：錯解原因在于忽視算術(shù)平方根中被開方數(shù)的取值范圍為非負(fù)數(shù).此題中由x - 3 > 0知x > 3.所以x = 2不是方程的解.

正解：方程無解.L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”