趙　艷

近幾年動(dòng)態(tài)幾何命題的趨勢(shì)是：運(yùn)動(dòng)對(duì)象從動(dòng)點(diǎn)型→動(dòng)線型→動(dòng)圖型；運(yùn)動(dòng)形式從平移→旋轉(zhuǎn)→對(duì)稱→位似→折疊；蘊(yùn)涵的函數(shù)關(guān)系從一次函數(shù)→二次函數(shù)→分段函數(shù).從知識(shí)整合的角度來(lái)看不僅有幾何代數(shù)的數(shù)形結(jié)合，還有幾何坐標(biāo)的解析整合，較好地滲透了分類討論，數(shù)形結(jié)合.轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，有較強(qiáng)的綜合性.本文主要探討如何解決動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問(wèn)題.其基本策略：把握?qǐng)D形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，尋求圖形運(yùn)動(dòng)的一般與特殊位置關(guān)系，在“動(dòng)”中探求“靜”的本質(zhì)，在“靜”中去探“動(dòng)”的規(guī)律.解決問(wèn)題時(shí)在“動(dòng)”中建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，在“靜”中利用函數(shù)關(guān)系解決幾何問(wèn)題.

1 圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)問(wèn)題

圖形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，探求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)實(shí)際情況確定自變量的取值范圍，利用函數(shù)關(guān)系去解決有關(guān)的幾何問(wèn)題.

例1 已知：如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，解答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形?

(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm²)，求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t使四邊形APQC的面積是△ABC面積的23?如果存在，求出相應(yīng)的t值，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)設(shè)PQ的長(zhǎng)為x(cm)，試確定y與x之間的關(guān)系式.

圖1 圖2略解 (1)由題意，得AP=tcm，BQ=tcm，在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，所以BP=(3-t)cm，在△PBQ中，BP=(3-t)cm. BQ=t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，當(dāng)∠BQP=90°，BQ=12BP時(shí)，即t=12(3-t)，t=1(s).

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=12BQ. 3-t=12t，t=2(s)，故當(dāng)t=1s或t=2s時(shí)，△PBQ是直角三角形.

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，y與t的關(guān)系式為：y=34t²-334t+934，假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的23，則S┧謀咝蜛PQC=23S△ABC，所以34t²-334t+934=23×12×3²×32，但該方程無(wú)實(shí)數(shù)解. 所以無(wú)論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的23.

(3)y與x的關(guān)系式為：y=312x²+323.

評(píng)析 此類問(wèn)題在試題中出現(xiàn)的較多，結(jié)合幾何與代數(shù)的知識(shí)，綜合考查利用幾何圖形的基本性質(zhì)和列一元一次方程、一元二次方程解決問(wèn)題，并根據(jù)方程根的情況判斷t值的存在性，對(duì)分類討論思想和問(wèn)題轉(zhuǎn)化思想有一定的要求.

例2 有一根直尺，短邊長(zhǎng)2cm，長(zhǎng)邊長(zhǎng)10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長(zhǎng)12cm，如圖3，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB部分重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，將直尺沿AB方向平移，如圖4，設(shè)平移的長(zhǎng)度為xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形紙板的重疊部分(圖中陰影部分)的面積為Scm².

⑴當(dāng)x=0時(shí)(如圖3)，S=，當(dāng)x=10時(shí)，(如圖3)，S=；

⑵當(dāng)0

⑶當(dāng)4

⑷當(dāng)6

⑸求出當(dāng)x為何值時(shí)，陰影部分S的面積為11cm²?

圖3 圖4答案 ⑴2cm²，2cm²；⑵S=2x+2；⑶S=-x²+10x-14⑷；S=22-2x；⑸x=5時(shí).

評(píng)析 此是以圖形的平移為載體，蘊(yùn)含著分段函數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)中的變量關(guān)系的理解，學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和分類討論考慮問(wèn)題.

2 坐標(biāo)平面內(nèi)圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)問(wèn)題

解決此類問(wèn)題借用坐標(biāo)系中的幾何圖形，由圖形中的動(dòng)點(diǎn)引出兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而利用探索的函數(shù)關(guān)系求圖形在符合某個(gè)條件時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或者解決其它有關(guān)問(wèn)題.

圖5例3 如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(3、4).動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng). 過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連結(jié)MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.

⑴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)；(用含x的代數(shù)表示)

⑵設(shè)△MPA的面積為y，試求x為何值時(shí)y最大，最大是多少?

⑶請(qǐng)你探索，當(dāng)x為何值時(shí)，△MPA是一個(gè)等腰三角形?你發(fā)現(xiàn)了幾種情況?并求P點(diǎn)坐標(biāo).

略解 ⑴P(3-x，43x)；

⑵S△MPA=12MA·h=12(3-x)·43x=23x²+6x，當(dāng)x=32時(shí)，y最大為32.

⑶MA=3-x，要使△MPA為等腰三角形.

則有當(dāng)PA=PM，BN=x，BN=12MA，所以x=12(3-x)，所以x=1. 當(dāng)AP=AM時(shí)，3-x=x·53，所以x=98，當(dāng)AP=MA時(shí)，3-x=(3-2x)²+(43)²，x=0(舍去)，x=5443，因此有三種情況.

評(píng)析 此題的條件既相互關(guān)聯(lián)又相互制約，在解題中“由數(shù)思形”“以形促數(shù)”可以開(kāi)辟多角度，多層次的解題思維途徑，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和對(duì)復(fù)雜圖形的解構(gòu)能力.

圖6例4 如圖6所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，AB=3，AD=5. 若矩形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動(dòng). 同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿A—B—C—D的路線作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動(dòng).

⑴求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間；

⑵設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

①當(dāng)t=5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若△OAP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式(并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量t取值范圍).

略解 ⑴P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間為(3+5+3)÷1=11(秒)，⑵①當(dāng)t=5時(shí)，P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC上，此時(shí)OA=10，AB+BP=5，所以BP=2.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，則PE=AB=3，AE=BP=2，所以O(shè)E=OA+AE=10+2=12.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(12，3).

②分三種情況：(Ⅰ)當(dāng)02

評(píng)析 本題是動(dòng)點(diǎn)動(dòng)圖相結(jié)合的動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問(wèn)題.

此類題目應(yīng)從相關(guān)圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分類討論來(lái)解決. 用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看待分段函數(shù)和圖形結(jié)合問(wèn)題.

3 函數(shù)圖象中的圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

解決此類問(wèn)題先求函數(shù)解析式，然后在函數(shù)圖象上探求符合幾何條件的點(diǎn). 運(yùn)用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想，求出函數(shù)的解析式，再利用解析式解決有關(guān)幾何問(wèn)題.

圖7例5 如圖7所示，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1，0)，直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，4)，B點(diǎn)在y軸上.

(1)求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A，B不重合)，過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

略解 ⑴由題意可知4=3+m，所以m=1. 設(shè)函數(shù)關(guān)系為y=a(x-1)²，所以4=a(3-1)²，所以a=1，所以y=(x-1)²=x²-2x+1.

⑵設(shè)P、E縱坐標(biāo)分別為y璓和y璄，所以PE=h=y璓-y璄=(x+1)-(x+1)²=-x²+3x，

即h=-x²+3x(0

⑶存在，四邊形DCEP為平行四邊形則有PE=DC，因?yàn)镈在y=x+1上，所以D(1，2)，-x²+3x=2，x1=2，x2=1(舍去).

所以當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，3)時(shí)，四邊形DCEP是平行四邊形.

評(píng)析 此題以二次函數(shù)為對(duì)象，考查滿足條件的二次函數(shù)形式，而動(dòng)點(diǎn)P在一次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，應(yīng)從相關(guān)圖象圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，探求新的函數(shù)關(guān)系式，考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力.

圖8例6 矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖8所示，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6，0)，C(0，3)，直線y=34x與BC邊相交于點(diǎn)D.

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵若拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)D，A兩點(diǎn)，試確定此拋物線的表達(dá)式；

⑶P為x軸上方(2)中拋物線上一點(diǎn)，求△POA面積的最大值；

⑷設(shè)(2)中拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo).

答案 ⑴D(4，3)；

⑵y=-38x²+94x；

⑶S△POA的最大值=12×6×278=818；

⑷符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)：

Q1(3，0)、Q2(3，-4).

評(píng)析 本題仍以二次函數(shù)為載體，把確定解析式作為突破口，其中構(gòu)造的基本圖形也是動(dòng)態(tài)幾何圖形，解此類問(wèn)題也應(yīng)從圖形圖象的性質(zhì)入手，探求變量之間的關(guān)系，繼而探求圖形在符合某個(gè)條件時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

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