莊億農(nóng)

特殊的平行四邊形及等腰梯形是四邊形的主要內(nèi)容，它們的應(yīng)用非常廣泛．現(xiàn)就它們的識別條件舉例說明，供同學們參考．

[一、平行四邊形]

例1（2007年·吉林?。┤鐖D1，有一矩形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點．求證：四邊形AECG是平行四邊形．

分析：要證明四邊形AECG是平行四邊形，題中已有條件CG∥AE，因此可考慮證明CG= AE，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”；也可以考慮證明AG∥CE，利用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”．下面用第二種思路證明．

證明：在矩形ABCD中，因為AD∥BC，所以∠DAC=∠BCA．由題意，得∠GAH=∠1/2DAC，∠ECF=∠1/2BCA，所以∠GAH=∠ECF，所以AG∥CE．又因為CG∥AE，所以四邊形AECG是平行四邊形．

點評：平行四邊形常見的判定方法還有：①兩組對邊分別相等的四邊形；②對角線互相平分的四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形．運用時，要靈活選擇．如果一種方法不易解出，可以嘗試其他的方法.

[二、矩形]

例2（2007年·東營）如圖2，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC，垂足為點D.AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．求證：四邊形ADCE為矩形．

分析：要證明四邊形ADCE為矩形，題設(shè)中已有兩個角是直角的條件，可考慮利用“有三個角是直角的四邊形是矩形”來證明，故只要證明∠DAE是直角即可．

證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC．因為AN是△ABC外角∠CAM的平分線，所以∠MAE=∠CAE．故∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°．又因為AD⊥BC，CE⊥AN，所以四邊形ADCE為矩形．

點評：矩形常見的判定方法有：①三個角是直角的四邊形；②有一個角是直角的平行四邊形；③兩條對角線相等的平行四邊形．

[三、菱形]

例3（2007年·雙柏）如圖3，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD>CD.將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C1處，折痕DE交BC于點E．求證：四邊形CDC1E是菱形．

分析：由于是折疊問題，因此有很多邊相等、角相等，可以考慮利用“四條邊都相等的四邊形是菱形”來證明．

證明：由題意可知△CDE≌△C1DE，則有CD=C1D，∠C1DE=∠CDE，CE=C1E．因為AD∥BC，所以∠C1DE=∠CED．故∠CDE=∠CED，于是CD=CE．所以CD=C1D=C1E=CE，四邊形CDC1E是菱形．

點評：菱形常見的判定方法有：①四條邊都相等的四邊形；②有一組鄰邊相等的平行四邊形；③對角線互相垂直的平行四邊形．在折疊問題中，如果有平行線的條件，一般都會有等腰三角形存在.這點應(yīng)當重視.

[四、正方形]

例4（2006年·深圳）如圖4所示，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O．若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加的一個條件是________．

分析：這是一道開放型題目.根據(jù)已知條件知四邊形ABCD是菱形，要使四邊形ABCD是正方形，按其判定方法只要增加條件∠BAD=90°，或∠ABD=45°，或AC=BD等.

解：略.

點評：正方形常見的判定方法有：①有一組鄰邊相等的矩形；②有一個角是直角的（或?qū)蔷€相等的）菱形.

[五、等腰梯形]

例5（2007年·連云港）如圖5，在等腰△ABC中，AB=AC.BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為點D、E，連接DE．求證：四邊形BCDE是等腰梯形．

分析：要證明四邊形BCDE是等腰梯形，首先要證明它是梯形，再證明其兩腰相等即可．由圖形知BE與CD顯然不平行，因此要證明DE∥BC，可通過“同位角相等，兩直線平行”來解決．要證明這個梯形是等腰梯形，可通過說明兩腰相等的方法達到．

證明：在等腰△ABC中，AB= AC，∠ABC=∠ACB．因為BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC=∠CDB=90°．又BC=CB，所以△BEC≌△CDB（AAS）．于是BE=CD.從而AB-BE= AC-CD，即AE=AD.所以∠AED=∠ADE.所以 ∠ABC=∠AED=1/2（180°-∠A）.所以DE∥BC.而BE與CD不平行，所以四邊形BCDE是梯形．又因為BE=CD，故四邊形BCDE是等腰梯形．

點評：等腰梯形常見的判定方法有：①兩腰相等的梯形；②同一底上的兩個角相等的梯形；③對角線相等的梯形．