1 引 言

以柱殼為基本構(gòu)件的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)常見于海洋工程等大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)物中。由于柱殼良好的綜合性能，船舶與海洋工程的各種平臺大多將其作為主體結(jié)構(gòu)。通常此類平臺造價昂貴，平臺上載有各種專用設(shè)備并有較多的人員在平臺上工作，因此一旦發(fā)生重大安全事故，將可能造成巨大的生命財產(chǎn)損失，甚至導(dǎo)致海洋環(huán)境的嚴(yán)重污染和社會層面上的連鎖負(fù)面反應(yīng)；另一方面，海洋平臺在服役期間長期處于較為惡劣的環(huán)境之中，盡管平臺的安全性設(shè)計要求非常高，但歷史事實表明也未能完全避免災(zāi)難性事故的發(fā)生。應(yīng)該說在安全系數(shù)較大的前提下，一般意義上的強(qiáng)度或失穩(wěn)破壞不易發(fā)生，但究其原因，一個重要的問題是未充分考慮無法回避的自身的隱傷或服役期間所產(chǎn)生的損傷、破損等因素的影響。由于各種交變疲勞載荷的長期沖擊，裂紋損傷是各種損傷中最常見且最危險的一種損傷形式。

另一方面，如何從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的角度判斷在裂紋損傷條件下的安全度，正確評估結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的殘余壽命，科學(xué)地制定保護(hù)維修方案，有效進(jìn)行裂紋控制，是精確評估平臺安全性的一個重要課題。很明顯,只有實現(xiàn)裂紋損傷條件下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體分析才能回答上述相關(guān)問題，但用現(xiàn)行的傳統(tǒng)方法無法得到滿意的答案。對于“裂紋”也許會首先想到“斷裂力學(xué)”；而涉及到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)或許會想到“結(jié)構(gòu)力學(xué)”，可這兩者的關(guān)注點差別很大?！皵嗔蚜W(xué)”可處理線性到非線性，以及脆斷到撕裂的問題，但它最終關(guān)注的是如何表達(dá)裂紋尖端的力學(xué)特性，所以,一般而言它著眼于單一孤立構(gòu)件的“局部”，其方法不能提供與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間相互影響的關(guān)系；而“結(jié)構(gòu)力學(xué)”已可對復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行非線性極限分析，但在其“整體”中無法涉及如裂紋這樣的損傷，即對局部的地方出現(xiàn)的裂紋損傷的力學(xué)特性如何表現(xiàn)顯得無能為力。通用的三維有限元方法從原理上似乎可以將上述所謂“整體”和“局部”放在一起求解，但因裂紋尖端奇異性特點，僅對單一裂紋構(gòu)件和裂紋尖端單元網(wǎng)格的密分?jǐn)?shù)據(jù)量就已非?？捎^，與之相關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的其它構(gòu)件則因此很難再考慮。非常大的建模工作量和數(shù)據(jù)量使得對海洋工程平臺這樣復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的求解變得非常困難。由此產(chǎn)生了研究和開發(fā)一個具有有限元特點的含裂紋影響的理想化單元的設(shè)想。通過一個單元來包含裂紋影響的力學(xué)信息，使單元網(wǎng)格劃分最大限度地減少，從而實現(xiàn)對復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體的分析評價。

目前國內(nèi)外尚不存在這樣一個完善的單元。由于材料科學(xué)的發(fā)展，高韌性材料被廣泛使用，在外力作用下，裂紋擴(kuò)展前，其前端附近將出現(xiàn)不能忽略的較大范圍的塑性區(qū)域，在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體分析中如何考慮這一影響也是一個新課題。

YAO等[1]介紹了裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的彈塑性分析方法，但由于不涉及斷裂力學(xué)的內(nèi)容，事實上只是采用了彈塑性結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析方法，以致因裂紋而引起的剛性降低，內(nèi)力再分配無法反映。EI-HADDAD等[2]雖然引入了斷裂力學(xué)的內(nèi)容，但因僅局限于線彈性范圍的靜止裂紋，自然塑性影響無法考慮。BRUST等[3]采用的簡便方法，由于其推導(dǎo)基于指數(shù)型材料，故難以用于彈塑性增量矩陣法。劉松柏等[4]雖考慮了非靜定單一構(gòu)件邊界約束的強(qiáng)弱，但忽略了塑性變形與裂紋撕裂的內(nèi)在聯(lián)系，丟失了耦合關(guān)系，和文獻(xiàn)[3]的結(jié)果一樣只能是單一裂紋構(gòu)件的一種近似算法。藤久保昌彥等[5]采用了與文獻(xiàn)[2]相似的方法，通過能量釋放率將一個特殊的裂紋單元結(jié)合到一般的梁柱單元中，雖從中也可考慮裂紋前端塑性修正，但從理論上講仍應(yīng)是線彈性小塑性修正解，并且在全塑性條件下與塑性節(jié)點理論不協(xié)調(diào)，需要進(jìn)行人工干預(yù)，不利于完整意義上的計算機(jī)處理。

本文研究開發(fā)了可用于裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體計算的新的彈塑性裂紋單元，新的單元為彌補(bǔ)目前已有工作的不足，重點考慮了韌性材料在裂紋前端進(jìn)入較大范圍塑性時的彈塑性影響。本研究利用了SANDERS[6]周向壁穿裂紋彈塑性解析解，通過增量微分，獲得了節(jié)點內(nèi)力與位移的顯式增量關(guān)系，進(jìn)而建立了彈塑性裂紋增量剛度方程，并將理論結(jié)果通過有限元分析方法，形成了一個新的特殊單元，為實現(xiàn)裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體分析奠定了理論基礎(chǔ)。

2 分析方法

分析模型為柱殼，其中無因次軸向坐標(biāo)為z，距原點的軸向距離為zR。設(shè)材料為理想彈塑性材料，裂紋損傷為周向壁穿裂紋，裂紋長所對的圓心角為2α，裂紋面保持全自由；載荷為施加橫截面彎矩，載荷作用方向取使裂紋張開的方向，即保持裂紋處于 Ⅰ 型裂紋破壞狀態(tài)(圖1、圖2)。

設(shè)參量ε的表達(dá)式為:

ε2=(h/R)[12(1-μ2)]-1/2

(1)

式中，μ為泊松比；R為柱殼中面半徑;h為板厚。

無因次載荷參數(shù):

(2)

式中，σF為材料的屈服應(yīng)力;M為作用彎矩。

圖1 計算模型

圖2 裂紋截面

2.1 基本理論

由于裂紋的存在，在載荷作用下，裂紋截面附近的截面呈較為復(fù)雜的應(yīng)力分布，實驗和數(shù)值仿真結(jié)果[7]表明裂紋在柱殼軸向上的影響有限，應(yīng)力分布從裂紋截面開始沿柱殼軸方向經(jīng)過大約1/5～1/4柱殼半長的變化，就基本可收斂到相應(yīng)條件下的非裂紋柱殼的分布狀態(tài)，因此從整體上可作為梁考慮，這樣上述發(fā)生的變化可認(rèn)為主要是裂紋截面中性軸位置發(fā)生變化所致，裂紋和非裂紋截面在中性軸上的差距，形成一個附加的轉(zhuǎn)角。另外，在Ⅰ型裂紋彎矩載荷作用下，在截面拉應(yīng)力區(qū)的裂紋前端將出現(xiàn)拉應(yīng)力Dugdale塑性長度，即圖2中β-α的長度。隨著載荷作用，在截面壓應(yīng)力區(qū)，將可能出現(xiàn)類似的壓應(yīng)力塑性長度，文獻(xiàn)[6]將此稱為壓應(yīng)力Dugdale塑性長度，即圖2中的π-γ的長度。SANDERS利用殼理論邊值解和Dugdale裂紋模型推導(dǎo)了裂紋附加轉(zhuǎn)角理論解，而且結(jié)果與軸向z坐標(biāo)無關(guān)，其表達(dá)式為：

(3)

式中，Θ為裂紋附加彎曲轉(zhuǎn)角；d可理解為裂紋對圓柱殼柔度的影響，其表達(dá)式如下:

(4)

Csinβ=β-α+sin(β-α)-

(5)

πc=-(β-γ+sinβcosβ-sinγcosγ)C-

(π-γ-sinγcosγ)G1+

2(sinα-sinβ-sinγ)+(π-γ)+(β-α)cosα+

cosβsin(β-α)-sinγcosγ

(6)

Psinx=Qcosx+β-α-σBsinβ

(7)

Q=-π+γ+σBsinγ

(8)

(9)

(10)

其中，Dugdale拉伸和壓縮塑性長度β和γ，從式(11)的超越方程中求解。

(11)

式中，

N1=[sinβ-sinα+(β-α)cosβ]sinx-

N2=[sinγ-(π-γ)cosγ]sinx+

初始，壓縮塑性區(qū)域不出現(xiàn)時，γ=π，并由式(12)的不等式成立[8]，則只需通過式(11)第一式求出β即可，其第二式此時是自動滿足的；當(dāng)式(12)的不等式不成立時，塑性壓縮長度出現(xiàn)，γ<π。

(12)

2.2 裂紋附加轉(zhuǎn)角與彎矩的增量關(guān)系

式(3)是反映裂紋影響的主要等式，它不僅包含了裂紋存在的影響，而且由前述可知，裂紋截面的大范圍的塑性影響也計入其中，利用該式將可以有效解決本文引言中所提出的問題。由于上述非線性因素，從式(3)～式(11)顯然可知，裂紋附加轉(zhuǎn)角與彎矩的關(guān)系為隱式，故不宜用矩陣形式表達(dá)。另一方面，出于本研究的目的，對于非線性方程求解，運用增量理論是必要的。故這里將推導(dǎo)上述相關(guān)公式的增量表達(dá)形式。對式(3)進(jìn)行分析，從Dugdale塑性長度和彎矩的因果關(guān)系，可以認(rèn)為β和γ均應(yīng)是隨σB的變量，可以推導(dǎo)出裂紋附加轉(zhuǎn)角的增量表達(dá)式為:

(13)

經(jīng)整理可得另一種表達(dá)方式:

(14)

由上述對β和γ的考慮，同樣可對式(11)進(jìn)行微分計算，從而可得如下表達(dá)式:

(15)

將式(15)整理得到:

(16)

將式(16)代入式(14)，消去dβ和dγ組成的向量，可得：

(17)

2.3 裂紋單元增量剛度方程

如圖1所示，選擇裂紋左右截面分別為i′,j′兩節(jié)點。利用有限元梁柱理論可以將附加轉(zhuǎn)角與彎矩的關(guān)系寫成單元剛度方程式的形式，即

(18)

其中，

對于一般梁柱單元，由于剛度矩陣為常量，故其增量形式僅僅將內(nèi)力和位移向量改為增量寫法即可。

就海洋平臺結(jié)構(gòu)而言，通常殼長度方向的尺度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于殼截面的最大尺度，因此采用梁單元是一個合理的選擇。設(shè)如圖1所示裂紋損傷的圓柱殼兩端節(jié)點分別為i和j，在運用有限元計算進(jìn)行單元劃分時，可分為3個單元，第一個單元從柱殼左端到裂紋左截面，為i—i′單元，是一般梁單元；第二個單元從裂紋左截面到裂紋右截面，為i′—j′單元，為本文介紹的彈塑性裂紋單元(注意到該單元與長度無關(guān))；第三個單元從裂紋右截面到柱殼右端,為j′—j單元，也為一般梁單元。

由于上述推導(dǎo)建立在有限元框架體系內(nèi)，由有限元理論，上述各單元可以進(jìn)行單元剛度矩陣組裝或與全體構(gòu)件的單元剛度矩陣組裝，形成結(jié)構(gòu)整體的總體結(jié)構(gòu)剛度矩陣，然后實施有限元計算。顯然，這里包含的是有限元單元族中節(jié)點數(shù)最少的單元，故形成的未知量也是目前有限元計算中最少的，自然對計算機(jī)資源的占用和建模處理等工作量也是最少的，從而使對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體計算成為可能。

當(dāng)裂紋截面進(jìn)入全截面塑性，不難推出有下式成立:

(19)

此時裂紋截面已形成塑性節(jié)點。在計算處理上只需將本裂紋單元去掉，然后用塑性節(jié)點取而代之，其后將與UEDA等[9]的塑性節(jié)點法或YAO的計算[1]構(gòu)成無縫相接，進(jìn)一步實施裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的極限分析計算。從理論上講，兩者之間的這一過渡具有一致性，從而回避了由于理論上的不一致所帶來的計算上的人為處理，有利于計算機(jī)的高效編程和運算。

3 精度的定性分析

從推導(dǎo)過程看，解的誤差主要來自SANDERS的理論解，而SANDERS理論解的主要誤差來源是殼半膜理論和斷裂力學(xué)中的Dugdale模型。

另一方面，來自Dugdale模型的誤差主要是因為塑性判斷使用的是單軸應(yīng)力條件,并且忽略了塑性區(qū)域沿軸向的擴(kuò)展，因此所獲得的塑性長度常常會偏長，但Dugdale模型巧妙地通過線性結(jié)果疊加消除裂紋尖端奇異性的辦法實現(xiàn)了對彈塑性非線性問題的求解，避免了復(fù)雜數(shù)學(xué)推導(dǎo)，目前仍是一種公認(rèn)的非常有效的方法。其誤差所帶來的結(jié)果也是偏于安全的。

在前述整個公式體系中，基本上是對式(3)～式(11)的微分，即是一個正向運算過程，故一般不存在計算上的特別的困難。剩余的計算是增量有限元的常規(guī)計算。

4 結(jié) 論

本文研究開發(fā)了可用于裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體計算的新的彈塑性裂紋單元，重點考慮了韌性材料在裂紋前端進(jìn)入較大范圍塑性時的彈塑性影響，形成了一個新的特殊單元，為實現(xiàn)裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體分析奠定了理論基礎(chǔ)。獲得了以下結(jié)論：

1) 利用SANDERS周向壁穿裂紋彈塑性解析解，通過增量微分運算，獲得了內(nèi)力與位移的顯式增量關(guān)系。

2) 建立了彈塑性裂紋增量剛度方程，形成了節(jié)點或未知數(shù)最少的彈塑性裂紋單元，依有限元分析方法，該單元可方便地和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中其它有限元單元進(jìn)行組合裝配并實施整體計算。

3) 定性誤差分析表明對于海洋平臺的主要結(jié)構(gòu)，其誤差為可控。

4) 整個公式體系中，基本上是微分的正向運算，故一般不存在計算上的特別的困難。

5) 該單元的計算可與塑性節(jié)點法無縫相接，進(jìn)行裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的極限分析，實現(xiàn)了兩者在理論上的一致性，回避了在計算上的人為處理，有利于進(jìn)一步提高計算機(jī)的計算效率。

作為下一步的工作，該研究將進(jìn)一步考慮裂紋擴(kuò)展的影響、擴(kuò)充組合載荷條件下的單元并且完成該單元的定量精度校核。

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