人教2003年版高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)(選修Ⅱ)p?11有這樣一道例題：有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15％．對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過10次．求抽查次數(shù)ξ的期望(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)．
　　課本中解答：
　　抽查次數(shù)ξ取1～10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中每次抽取一件檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0．85，前k-1次取出正品而第k次(k=1，2，…，9)取出次品的概率P(ξ=k)=0．85^k-1×0．15，(k=1，2，…，9).
　　需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P(ξ=10)=0．85⁹．
　　由此可得ξ的概率分布如下：
　　
　　
　　根據(jù)以上的概率分布，可得ξ的期望：Eξ=1×0.15+2×0.1275+…+10×0.2316=5.35.上課時(shí)，筆者先向同學(xué)提出以下幾點(diǎn)問題：
　　(1)題目條件中沒有說是“有放回”地抽查，還是“無放回”
　　地抽查，例題(課本例題的簡(jiǎn)稱，以下同)的解答是否有問題?
　　(2)前k-1次抽到次品，第k次抽到正品，隨機(jī)變量ξ服從幾何分布，例題解答的分布列是否有問題?
　　(3)在例題解答中，有“需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P(ξ=10)=0．85⁹．為什么不考慮第10次的抽查結(jié)果?
　　待同學(xué)積極思考，熱烈討論大約10分鐘后，筆者作如下講解：
　　(1)題目中有條件“有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品”，說明有限的少許幾次抽查，是否放回對(duì)每次取到正品或次品的概率可以認(rèn)為沒有影響，因此，無需說明“是否放回”；
　　(2)課本p?7寫道，隨機(jī)變量ξ服從幾何分布的條件：“ξ=k”表示第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生．強(qiáng)調(diào)的是:①前k-1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件沒有發(fā)生，第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生；②這樣的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可能無限次地進(jìn)行下去．而例題中的隨機(jī)變量“ξ=k”是指抽查k次，并不是“事件在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)第一次發(fā)生”，因此，不服從幾何分布；
　　(3)例題中，“ξ=10”指需要抽查10次，前9次一定抽到正品，否則抽查早就結(jié)束，而第10次抽查時(shí)，沒有說一定是抽到次品，可能抽到正品或次品，是一個(gè)必然事件；于是P(ξ=10)=0.85⁹×1.另一種理解：P(ξ=10)=0．85⁹×0．15+0．85⁹×0．85=0．85⁹×(0．15+0．85)=0．85⁹×1．
　　由于事先進(jìn)行了精心準(zhǔn)備和思考，所以上課時(shí)受到了學(xué)生的普遍歡迎，收效顯著，學(xué)生掌握了知識(shí)的來龍去脈，解答自如，觸類旁通．
　　例1(2005年高考廣東卷第18題)箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)量比為s∶t，現(xiàn)從箱中每次任意取出一個(gè)球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱中，并繼續(xù)從箱中任意取出一個(gè)球，但取球的次數(shù)最多不超過n次．以ξ表示取球結(jié)束時(shí)已取到白球的次數(shù)．
　　(Ⅰ)求ξ的分布列；
　　(Ⅱ)求ξ的數(shù)學(xué)期望．
　　分析若只注意到前k-1次取到白球，第k次取到黃球，則試驗(yàn)結(jié)束，很容易認(rèn)為ξ服從幾何分布，從而錯(cuò)誤地得到Eξ=1/p=s+t/s.
　　其實(shí)，這道題的隨機(jī)變量ξ不服從幾何分布，一方面，可以是“ξ=0”；另一方面，“ξ=n”表示前n次都沒有取到黃球(即取到黃球的事件沒有發(fā)生).于是
　　(Ⅰ)ξ的分布列是：ξ012…n
　　
　　
　　正確寫出分布列，是解決第二問的前提．
　　第（Ⅱ）問解答略.
　　例2袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從其中任取一個(gè)球，直到取到白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的分布列.
　　分析題中球的個(gè)數(shù)很少，未指明取出的黑球是否放回，所以本題應(yīng)分兩種情況解答.
　　（1）當(dāng)取出的球?yàn)楹谇驎r(shí)就放回，則隨機(jī)變量ξ服從幾何分布，
　　P（ξ=k)=（4/5）^k-1?1/5.
　　隨機(jī)變量ξ的分布列是：ξ123…n…
　　
　　
　　(2)當(dāng)取出的球?yàn)楹谇驎r(shí)不放回，則隨機(jī)變量η不服從幾何分布：
　　P(η=1)=1/5=