曲線的切線是學(xué)習(xí)較早，應(yīng)用較多，中考，高考命題頻率較高的知識點(diǎn)之一，從《平面幾何》中圓的切線、《解析幾何》中圓錐曲線的切線、到應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，由特殊到一般，由低級到高級，步步深入，然而在學(xué)習(xí)過程中，老師、學(xué)生對各階段切線知識的認(rèn)識、理解相互隔離，沒能很好的整合，認(rèn)識上存在一些誤區(qū)。
　　
　　1　切線定義的演變
　　
　　1.　《平面幾何》中切線的定義：如果直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)AYm+lDZ7B6i3bOj+18xsXYhWNzdXGuM5p4IVZTZb2xc=，就說直線與圓相切。
　　這是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中最早認(rèn)識的切線的定義，沒有引申相交、相切之間的變化關(guān)系，沒有“兩個(gè)交點(diǎn)重合”的引申。
　　2.　《平面解析幾何》中切線的定義：高中解析幾何中沒有直接給出直線與圓錐曲線相切的定義，圓錐曲線的切線是在圓的切線定義的基礎(chǔ)上，結(jié)合一元二次方程有兩個(gè)相同的解的充要條件得出的結(jié)論，直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立的方程組有且只有兩組相同的解(即有“唯一的交點(diǎn)”)，成為平面解析幾何求切線的通法，或說就是高中《平面解析幾何》中“默認(rèn)”的圓錐曲線切線的定義。
　　3.　《空間解析幾何》中二次曲線的定義：如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個(gè)重合的點(diǎn)叫做切點(diǎn)。
　　與《平面解析幾何》中圓錐曲線的切線的“定義”相一致，但適用范圍更廣，與“二次曲線”解題的思想方法完全相同，只需聯(lián)立的方程組有兩組相同解(即D=0)，這樣，就形成了《解析幾何》體系下的切線的定義及解題方法。
　　學(xué)生對直線y=1是不是曲線y²=x的切線，認(rèn)識普遍不是太好，這與學(xué)生對二次曲線的切線沒有結(jié)合定義理解，而以記憶為主有關(guān)，也與切線的定義不直觀有關(guān)，因此，有資料把曲線的切線定義為：與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)并且位于曲線一邊的直線叫切線。
　　
　　4.極限理論中曲線的切線的定義：曲線在其上一點(diǎn)P處的切線，就是割線PQ當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線無限的接近于點(diǎn)P時(shí)的極限位置(如