曾炳文

義務(wù)教育階段的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確規(guī)定學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的各種目標(biāo)，其中之一是要求學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。下面以本人課堂教學(xué)中的一道探索題為例加以闡述。以折射出同學(xué)們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力，從而發(fā)映我們要追求的課堂教學(xué)景觀。

例：觀察下列正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓點(diǎn)，每個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是S。

n=2，S=4n=3，S=8n=4，S=12……

按此規(guī)律推斷出S與n的關(guān)系式。

此問題一在課堂上展現(xiàn)，立即引起同學(xué)廣泛的興趣。同學(xué)們躍躍欲試，紛紛想發(fā)表自己的見解。在經(jīng)過小組合作、思考、討論后，各小組選派一位同學(xué)發(fā)言。同學(xué)A說，S=4n-4，理由是：正方形每條邊上的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)有n個(gè)，那么4條邊上共有4n個(gè)圓點(diǎn)，扣除4個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算各一次，結(jié)果有(4n-4)個(gè)。他的敏捷思維和流暢的表達(dá)得到大家的一致贊許。緊接著同學(xué)B說，S=4(n-1)。隨后她自信地走上講臺(tái)，在黑板上刷刷地把每個(gè)正方形的圓點(diǎn)分成四個(gè)部分(如圖(1)所示)。

她發(fā)現(xiàn)每部分的圓點(diǎn)數(shù)比每條邊的圓點(diǎn)數(shù)少1個(gè)且數(shù)目相同，結(jié)果總數(shù)為S=4(n-1)。在同學(xué)B的啟示下，學(xué)生的思維火花得到充分綻放。緊接著，同學(xué)C也上臺(tái)說，S=2n+2(n-2)，并在黑板上畫出示意圖(如圖(2)所示)。

他的理由是：上、下兩條邊中每條邊各有n個(gè)圓點(diǎn)，共2n個(gè)。中間每行有2個(gè)點(diǎn)，且行數(shù)比n少2，結(jié)果有2(n-2)個(gè)，所以總數(shù)S=2n+2(n-2)個(gè)。同學(xué)D說，正方形是中心對(duì)稱圖形，被圖中虛線分開的兩部分的圓點(diǎn)數(shù)一樣(如圖(3)所示)，且每部分均為n+(n-2)，所以總數(shù)為S=2[n(n-2)]。

同學(xué)E說，正方形也是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，能否從軸對(duì)稱角度來考慮，經(jīng)過幾分鐘的思考，他說，S=2[1+2(n-2)]+2(如圖(4)所示)

理由是：被圖中虛線分開的每部分圓點(diǎn)數(shù)是1+2(n-2)，根據(jù)圖形對(duì)稱性，再加上虛線上的兩個(gè)點(diǎn)，所得總點(diǎn)數(shù)S=2[1+2(n-2)]+2。至此，同學(xué)的積極性已發(fā)揮得淋漓盡致，大家都在積極思考與眾不同的解法。忽然同學(xué)F說，老師我還有一種想法，如果把正方形里面的空洞按規(guī)律放上圓點(diǎn)，讓行、列的圓點(diǎn)數(shù)一樣，則每個(gè)正方形的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為n²個(gè)，而放上的中間正方形的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為(n-2)²個(gè)，所以結(jié)果S=n²-(n-2)²。這時(shí)，全班同學(xué)報(bào)以熱烈的掌聲。這位同學(xué)臉上也露出了自豪的微笑。

正當(dāng)大家為同學(xué)F叫好的時(shí)候，也許是受課堂熱烈氣氛的感染，班上一位平時(shí)比較靦腆的同學(xué)舉了手說，老師，我發(fā)現(xiàn)S是4的倍數(shù)，只要把數(shù)據(jù)分析一下可以看出，當(dāng)n=2時(shí)，S=4=4×2-4；

當(dāng)n=3時(shí)，S=8=4×3-4；

當(dāng)n=4時(shí)，S=12=4×4-4；

不難發(fā)現(xiàn)，S=4n-4。

由此可見，課堂良好的氛圍對(duì)同學(xué)潛移默化的影響是多么大啊!

這時(shí)有的同學(xué)說，老師，怎么它們的結(jié)果的書寫表達(dá)式不一樣呢?在老師的適當(dāng)引導(dǎo)下，同學(xué)們明白經(jīng)過適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、整理，結(jié)果都可以寫成S=4n-4，正好驗(yàn)證一句成語一殊途同歸。

本節(jié)探討的是“歸納—猜想”型題目。這種題目的命題形式是：結(jié)合幾個(gè)具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論。它的解題基本思路是：從特殊向一般的轉(zhuǎn)化。它的具體做法是：(1)歸納：通過對(duì)幾個(gè)特例的分析，尋找規(guī)律并加以歸納；(2)猜想：猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論；(3)驗(yàn)證：驗(yàn)證或證明結(jié)論是正確的。

通過本節(jié)課的教學(xué)，我深深地體會(huì)到，只要課堂上盡可能多地提供學(xué)生自主、寬松的學(xué)習(xí)時(shí)空和合作交流的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，課堂必然會(huì)煥發(fā)出生機(jī)勃勃的活力。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生投入到探索與交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，使學(xué)生享有廣闊的思維空間，從而迸發(fā)出創(chuàng)新的火花。