數(shù)學(xué)是一門浩瀚偉大的學(xué)科，看似平平無(wú)奇的數(shù)字中卻存在著很多玄妙而有趣的現(xiàn)象．

52=25．

認(rèn)真觀察這個(gè)等式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有意思的現(xiàn)象，算式52中僅含有數(shù)字2和5，而結(jié)果25中也僅含有2和5．

類似的算式還有很多，比如：

112=121．

（4÷2）10=1 024，

[（86+2x7）5-91]÷34=123 456 789.

如果一個(gè)數(shù)可以用自己的各位數(shù)字通過加、減、乘、除和乘方算出，這個(gè)數(shù)就叫作“弗里德曼數(shù)”（以美國(guó)數(shù)學(xué)家埃里希·弗里德曼的名字命名）．剛才我們看到，25，121，1 024，123 456 789都是弗里德曼數(shù)．

弗里德曼數(shù)有多少呢？在所有的兩位數(shù)中，只有25是弗里德曼數(shù)，占比約為1.1 0-10.在所有的三位數(shù)中，弗里德曼數(shù)一共有17個(gè)，占比約為1.9％．看起來，在自然數(shù)當(dāng)中，弗里德曼數(shù)的分布很稀疏．如果數(shù)字位數(shù)更多，組合出的算式就有更豐富的可能，是不是更容易算出自己呢？在所有的四位數(shù)中，弗里德曼數(shù)一共有58個(gè)，占了大約0.6％．?dāng)?shù)字位數(shù)變多，弗里德曼數(shù)所占的比例竟然下降了！

會(huì)不會(huì)到了位數(shù)特別多的時(shí)候，就再也沒有弗里德曼數(shù)了呢？不會(huì)！借助52=25，我們能構(gòu)造出無(wú)數(shù)多個(gè)弗里德曼數(shù)：

502+0=2 500．

5002+0+0=250 000．

5 0002+0+0+0=25 000 000.

事實(shí)上，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有：

（5×10n）2=52×102n=25×102n．

其中5×10n里面有n個(gè)0，25×102n里面有2n個(gè)0．因此，在（5×10n）2的后面添加n個(gè)“+0”，這個(gè)式子里用到的數(shù)字就和25×102n完全一樣了．

利用上面的“模板”，我們還能證明一個(gè)更加厲害的結(jié)論：弗里德曼數(shù)可以用任意數(shù)字串結(jié)尾！比方說，有沒有哪個(gè)弗里德曼數(shù)以123結(jié)尾呢？有！例如：

5 0002+123=25 000 123.

今年是2024年，有沒有哪個(gè)弗里德曼數(shù)以2 024結(jié)尾呢？有！例如：

50 0002+2 024=2 500 002 024.

這一招適用于任意一個(gè)n位數(shù)．如果把這個(gè)n位數(shù)記作N，那么：

（5×10n）2+N=52×102n+N=25×102n+N.

其中5×10n里面有n個(gè)0，25×102n里面有2n個(gè)0，但加上N之后，后n位數(shù)字就變得和N相同．所以，（5×10n）2+N和25×102n+N就擁有完全相同的一組數(shù)字．

邁克，里德發(fā)現(xiàn)，弗里德曼數(shù)也能以任意數(shù)字串開頭，比方說，下面這兩個(gè)弗里德曼數(shù)就分別以123和2 024開頭：

123×（4+6）5+66=12 346 656，

2024×（4+6）5+66=202 446 656.

這一招也可以用于任意一個(gè)n位數(shù)．如果把這個(gè)n位數(shù)記作N，那么N乘（4+6）5再加上66，就相當(dāng)于在N的末尾添加5個(gè)0．再加上46 656，本質(zhì)上也就是直接在N后面添加數(shù)字46 656.而46 656正好把“×（4+6）5+66”里的數(shù)字用了個(gè)遍，因此它就是弗里德曼數(shù)了．

有一類非常漂亮的弗里德曼數(shù)：算式和得數(shù)當(dāng)中的數(shù)字順序也能完全一樣，這樣的弗里德曼數(shù)就叫作“好的弗里德曼數(shù)”，比如：

-1+27=127．

（3+4）3=343，

163×（8-4）=16 384.

其實(shí)，好的弗里德曼數(shù)也有無(wú)數(shù)多個(gè)：

2+502=2 502，

2+（500+0）2=250 002，

2+（5 000+0+0）2=25 000 002，

這樣的式子能無(wú)限地寫下去，背后也是有原因的．對(duì)于任意正整數(shù)n．都有：

2+（5×10n）2=2+52×102n=25 000…00+2.

等式最右邊現(xiàn)在有2n個(gè)0，但加了2之后，最后那個(gè)0會(huì)變成2，所以得數(shù)實(shí)際上有2n-1個(gè)0．等式最左邊，數(shù)字5的后面一共有n個(gè)0．所以，在括號(hào)里面添加n-1個(gè)“+0”即可．

還有一類更厲害的弗里德曼數(shù)，算式里面只有一種數(shù)字，例如：

[（11-1）11-1×1]÷（11-1-1）

=11 111 111 111．

[5×（5+5）5+5-5]÷（5+5-5÷5）

=5 555 555 555.

顯然，這樣的弗里德曼數(shù)都是好的弗里德曼數(shù)，這樣的弗里德曼數(shù)又有多少個(gè)呢？答案還是無(wú)數(shù)多個(gè)，布倫丹·歐文發(fā)現(xiàn)，對(duì)于1到9中的任意數(shù)字a，25個(gè)a或者更多的a連在一起，形成的都是弗里德曼數(shù)．

看到這里，你是不是突然覺得，當(dāng)數(shù)字位數(shù)夠多時(shí)，弗里德曼數(shù)的分布應(yīng)該還是挺密集的？