摘" 要：該研究提出一種融合時域有限差分法（FDTD）和遺傳算法的優(yōu)化框架，旨在提高光學薄膜的反射性能。選擇三層薄膜結(jié)構(gòu)作為研究對象，通過使用FDTD方法計算薄膜結(jié)構(gòu)的反射率，并將其作為遺傳算法中的適應度函數(shù)。通過兩者結(jié)合，在多維設計空間中有效搜索到了優(yōu)化參數(shù)，顯著降低了薄膜的反射率。這一方法不僅降低了計算成本，還提供了一種靈活且可擴展的解決方案，對未來高性能光學系統(tǒng)的設計和優(yōu)化具有重要的實際意義。

關鍵詞：光學薄膜；時域有限差分法；反射率；遺傳算法；設計優(yōu)化

中圖分類號：TP18；TB332" 文獻標識碼：A" 文章編號：2096-4706（2024）10-0165-04

High Precision Optical Thin Film Optimization of Integrating FDTD and Genetic Algorithm

XU Yunshi1， LI Jifeng2， DAI Zhiping1，2

（1.College of Physics and Electronic Engineering， Hengyang Normal University， Hengyang" 421002， China;

2.Nanyue College of Hengyang Normal University， Hengyang" 421008， China）

Abstract： This research proposes an optimization framework that integrates the FDTD method and Genetic Algorithm， aiming to enhance the reflective performance of optical thin films. It selects a three-layer thin film structure as the research object， employs the FDTD method to calculate the reflectivity of the thin film structure and uses it as the fitness function in the Genetic Algorithm. By combining these two methods， we effectively search for optimized parameters within a multi-dimensional design space， significantly reducing the reflectivity of the thin film. This method not only reduces computational costs but also provides a flexible and scalable solution， holding significant practical implications for the design and optimization of future high-performance optical systems.

Keywords： optical thin film; Finite-Difference Time-Domain method; reflectivity; Genetic Algorithm; design and optimization

0" 引" 言

光學薄膜在各個領域中具有廣泛應用，它們在各種設備中扮演著關鍵角色，例如在激光系統(tǒng)中作為反射鏡和濾波器，在攝像頭和望遠鏡中作為增強元件，以及在通信系統(tǒng)中作為波分復用器[1]。薄膜的性能很大程度上取決于其材料、厚度、折射率和層數(shù)等參數(shù)[2]。優(yōu)化這些參數(shù)以獲得期望的反射、透射和吸收特性對于滿足特定應用的要求是至關重要的[3]。

然而，隨著技術的不斷進步和應用需求的日益復雜化，傳統(tǒng)的薄膜設計和優(yōu)化方法面臨挑戰(zhàn)[4]。單純的直覺和經(jīng)驗方法在多層薄膜結(jié)構(gòu)的設計中變得不夠準確和高效。此外，新材料的出現(xiàn)、微納米尺寸結(jié)構(gòu)的加入以及對于極端環(huán)境下的性能穩(wěn)定性的要求都使得薄膜設計面臨更高的復雜性[5]。為了實現(xiàn)高性能和高精度的光學薄膜，我們需要更先進、系統(tǒng)和智能的設計方法，以滿足現(xiàn)代科技和工業(yè)中日益增長的性能需求[6]。

盡管有各種數(shù)學模型和計算方法用于模擬光學薄膜的性能，但由于涉及多個參數(shù)和計算復雜性，這些方法往往需要大量的計算資源和時間[7]。此外，當面臨多目標優(yōu)化問題時，找到理想的參數(shù)組合還是一個巨大的挑戰(zhàn)[8]。時域有限差分（FDTD）方法是一種高度準確的數(shù)值模擬方法，已被廣泛應用于電磁場的模擬和分析，包括光學薄膜。然而，由于其計算密集型的特性，單獨使用FDTD方法往往需要多次的迭代和模擬，耗費大量的計算資源和時間[9]。遺傳算法是一種全局優(yōu)化算法，模仿自然界中生物的進化過程，已成功地應用于多個復雜的優(yōu)化問題[10]。與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，遺傳算法能夠更高效地找到目標解，并且計算成本相對較低[11]。特別地，在本研究中，我們采用了一種精英策略來保留每一代中的優(yōu)秀個體，確保它們的優(yōu)秀基因能夠被傳遞到下一代[12]。精英策略通過直接將一定比例的表現(xiàn)最佳的個體復制到下一代，保證了算法在迭代過程中不會丟失已獲得的優(yōu)秀解，從而在一定程度上加快了算法的收斂速度并提高了解的質(zhì)量[13]。此外，我們還在選擇、交叉和變異等操作中引入了一些特定的策略，以期在保持種群多樣性的同時，也能夠有效地探索解空間，尋找到滿足特定光學性能要求的薄膜參數(shù)組合[14]。

本研究提出一種將FDTD和遺傳算法相結(jié)合的方法，用于優(yōu)化光學薄膜的反射性能。通過這種結(jié)合，不僅大大減少了需要的模擬次數(shù)，還可以在多維參數(shù)空間中找到理想的參數(shù)組合。這種方法旨在建立一種普適性強、操作簡單且計算效率高的光學薄膜設計策略，在光電技術、通信工程和光電子學等多個領域擁有廣泛的應用前景。

1" FDTD和遺傳算法簡介

1.1" 時域有限差分（FDTD）方法

時域有限差分（FDTD）是一種數(shù)值分析技術，用于解決復雜的電磁場問題。該方法起源于20世紀60年代，并迅速成為電磁問題數(shù)值解決方案的一個主要手段。FDTD基于Maxwell方程，在時域和空間域內(nèi)進行離散化，以模擬電磁波的傳播和相互作用。由于其能夠處理復雜幾何和非線性材料，F(xiàn)DTD在通信、醫(yī)療成像、雷達設計、光子學和量子計算等多個領域都有廣泛應用。

FDTD的一個顯著優(yōu)點是其靈活性，可以適應多種邊界條件和場強分布。然而，這種方法也存在一些局限性，例如，對于非常大或者復雜的問題，計算需求可能會變得極其巨大，尤其是當需要高度精確的解時。這些計算通常需要高性能的計算機硬件和大量的運算時間，這也限制了FDTD方法在實際應用中的普及程度[8]。

1.2" 遺傳算法

遺傳算法是一種受自然界中生物進化過程啟發(fā)的搜索和優(yōu)化算法，能夠處理高維、非線性和多目標的優(yōu)化問題[4，5]。該算法通過模擬自然選擇、交叉和突變等生物學機制，在解空間內(nèi)高效搜索最優(yōu)或接近最優(yōu)的解。遺傳算法主要用于解決優(yōu)化和搜索問題，包括函數(shù)優(yōu)化、路徑規(guī)劃、機器學習參數(shù)調(diào)整等。

遺傳算法的工作過程通常包括初始種群的生成、適應度函數(shù)的評估、選擇、交叉和突變等步驟。通過迭代，每次迭代都可能會產(chǎn)生更適應環(huán)境（即具有更高適應度值）的個體，直到滿足某些停止準則，算法趨于找到或接近理想的解。

2" 模型設計與模擬結(jié)果

2.1" 模型設計

本研究結(jié)合時域有限差分（FDTD）方法和遺傳算法，來設計并優(yōu)化多層光學薄膜的反射特性。

2.1.1" FDTD模型

我們首先設置了一個三層光學薄膜結(jié)構(gòu)，平面波垂直入射到該結(jié)構(gòu)上，如圖1所示；然后通過FDTD模擬，得到平面波在通過這三層薄膜結(jié)構(gòu)后的反射率，該反射率后續(xù)將被應用于遺傳算法的適應度函數(shù)中進行進一步分析和優(yōu)化。模型設定完美匹配層（PML）作為邊界，以最小化邊界反射對模擬的影響；光源采用單色平面波，波長為550 nm；每一薄膜層包括折射率和厚度兩個獨立變量；我們在薄膜上方設置了監(jiān)視器以記錄薄膜的反射率。在進入遺傳算法前，初始FDTD模型的個體參數(shù)為：[1.7，2.1，2.4，0.12 μm，0.15 μm，0.18 μm]，其中前3個參數(shù)為每層薄膜的折射率，后3個參數(shù)為每層薄膜的厚度；運行后，得到薄膜的反射率為0.427。

2.1.2" 遺傳算法模型

我們采用遺傳算法對薄膜參數(shù)進行優(yōu)化，尋找最小反射率對應的參數(shù)組合，這個過程通過遺傳算法代碼實現(xiàn)。在本研究中，考慮到實際應用和材料的物理屬性，我們設定了薄膜折射率和厚度的取值范圍，分別為：1.5～2.5 μm和0.1～0.2 μm，這些約束條件確保了模型的實際可行性和物理合理性。

首先，遺傳算法初始化了一組潛在的解作為初始種群，每個解代表一組特定的薄膜參數(shù)（折射率和厚度），這些參數(shù)被編碼成染色體。接著，通過FDTD模擬得到每個解對應的反射率，遺傳算法將光學薄膜的反射率作為適應度函數(shù)，用于評估每個個體的性能。我們的目標是最小化這一反射率，因此，具有較低反射率的個體會被視為更優(yōu)秀的個體。通過適應度函數(shù)，我們模擬了自然界中“適者生存”的原理，在每一代中，更具適應性的個體將會被優(yōu)先選中作為下一代的父代。進行選擇后，算法執(zhí)行交叉和變異操作，這些操作是在模擬自然界中的生物進化過程，通過這些操作，生成新一代的種群。每一代種群都會經(jīng)過適應性評估，來尋找優(yōu)秀的個體。這一流程將會持續(xù)進行，直到滿足預定的終止條件，例如達到最大迭代次數(shù)或達到一個特定的適應度閾值，如圖2所示。

2.2" 模擬結(jié)果

在遺傳算法中，通過代碼調(diào)用FDTD模擬，根據(jù)模擬結(jié)果計算適應度，然后更新模擬參數(shù)進入下一代。通過幾代的演化，我們得到了幾組不同的最佳個體和適應度，具體數(shù)據(jù)如表1所示。

從表1中可以看出，隨著遺傳算法的演化，系統(tǒng)的最佳適應度在不斷改善。FDTD模型最初的反射率為0.427，而通過遺傳算法優(yōu)化后第一代的反射率就降低到了0.012 1，這一迅速且顯著的降低表明遺傳算法能夠快速找到參數(shù)空間中的高質(zhì)量區(qū)域，并通過精確的參數(shù)調(diào)整，顯著改善光學系統(tǒng)的性能。隨著算法繼續(xù)演化，系統(tǒng)的反射率從第一代的0.012 1降至第四代的0.003 2。圖3展示了第四代的FDTD仿真效果，光源從z = 0.5 μm處往下傳播，三層薄膜從z = 0開始依次往上排列，因此z＞0.5 μm的區(qū)域可視為反射區(qū)域，z＜0的區(qū)域為透射區(qū)域。從圖3中不難發(fā)現(xiàn)，此時光場反射極小，而透射很大。這一持續(xù)的改進展現(xiàn)了遺傳算法的迭代優(yōu)化能力，算法能夠在每一代中更加精確地探索參數(shù)空間，不斷靠近最優(yōu)解，逐漸減小系統(tǒng)的反射率。這一過程表明，F(xiàn)DTD與遺傳算法相結(jié)合，在處理多維參數(shù)時能保持優(yōu)越的搜索和優(yōu)化能力，能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)光學性能的高效精確優(yōu)化，有助于開發(fā)具有更高性能和更低損耗的光學系統(tǒng)。

分析每一代的適應度不難發(fā)現(xiàn)，隨著適應度的不斷提升，每一代所帶來的改進變得越來越小。這是因為當算法開始時，解通常遠離最優(yōu)，因此改進的空間較大，而當算法不斷迭代，特別是當它接近某一最優(yōu)解時，可行的改進空間通常會變小。當適應度值降低速度減緩時，意味著算法可能已經(jīng)找到了一個理想的解，且進一步的優(yōu)化可能只會帶來較小的改進。

3" 結(jié)" 論

通過本研究，我們展示了將FDTD軟件與遺傳算法相結(jié)合，可以有效地優(yōu)化多層光學薄膜的參數(shù)。這種集成方法突破了傳統(tǒng)優(yōu)化技術在處理多參數(shù)和非線性問題上的局限性，實現(xiàn)了對系統(tǒng)光學性能的高精度和高效優(yōu)化。從最初的模型開始，F(xiàn)DTD與遺傳算法相結(jié)合顯示出顯著降低反射率的能力，并隨著每一代的演化，這一優(yōu)化效果得到加強。此外，我們注意到，隨著優(yōu)化過程的深入，每一代所能實現(xiàn)的改進逐漸變小。這一趨勢暗示著系統(tǒng)正逐步靠近其可能達到的某一最優(yōu)解，每個迭代階段所能帶來的性能提升也因此變得越來越小。這一點不僅揭示了該優(yōu)化策略的高效性，同時也反映出通過FDTD軟件與遺傳算法協(xié)同工作，能夠更為精確地探索參數(shù)空間，逐步逼近系統(tǒng)的最佳性能。

總之，本文驗證了FDTD與遺傳算法結(jié)合的優(yōu)化方法在多層光學膜設計中的實用性和有效性。這一方法不僅提供了一種強大的工具，用于解決光學設計中遇到的復雜問題，而且還為未來發(fā)展更高效、低損耗的光學系統(tǒng)奠定了基礎。我們相信，這一結(jié)合優(yōu)化方法的應用將在光學設計領域中擁有廣泛的應用前景。

參考文獻：

[1] MACLEOD H A. Thin-film optical filters [M].CRC Press，2017.

[2] 姚啟鈞.光學教程：第6版 [M].北京：高等教育出版社，2019.

[3] 高峰，劉其中，單潤紅，等.遺傳算法與FDTD優(yōu)化設計智能天線陣 [J].微波學報，2005（3）：5-8.

[4] 項陽，錢祖平，王增和.基于自適應遺傳算法的FDTD中完全匹配層的設置方法 [J].微波學報，2006（3）：28-31+44.

[5] 龍福海.基于改進遺傳算法優(yōu)化的特征選擇方法研究 [D].貴陽：貴州民族大學，2022.

[6] 李玉春.光學薄膜的發(fā)展及應用前景 [J].黑龍江科技信息，2017（2）：14-15.

[7] 陳衛(wèi)，王磊，李亞，等.1550 nm波段光學薄膜寬帶抗反射膜的設計 [J].中國激光，2005，32（12）：1591-1594.

[8] CUI Z Y，WEI H G，WANG S，et al. Efficient Method of Optimizing Reverberation Chamber Using FDTD and Genetic Algorithm Method [J].Applied Computational Electromagnetics Society journal，2013，28（4）：293-299.

[9] KIM J，YOO H，YUN T，et al. Analysis of a New Ultra Wideband Printed Monopole Antenna Using FDTD and Genetic Algorithm [C]//ITC-CSCC： International Technical Conference on Circuits Systems，Computers and Communications.The Institute of Electronics and Information Engineers，2004：1187-1190.

[10] BALL J M，STRANKS S D，HOERANTNER M T，et al. Optical Properties and Limiting Photocurrent of Thin-Film Perovskite Solar Cells [J].Energy amp; environmental science： EES，2015，8（2）：602-609.

[11] KAZMERSKI L. Polycrystalline and Amorphous Thin Films and Devices [M].[S.I.]：Elsevier，2012.

[12] CHIN J Y，STEINLE T，WEHLUS T，et al. Nonreciprocal Plasmonics Enables Giant Enhancement of Thin-Film Faraday Rotation [J/OL]. Nature communications，2013，4（1）：1-6（2013-03-19）. https：//www.nature.com/articles/ncomms2609.pdf.

[13] CUI Y Z，WEI G H，WANG S，et al. Efficient Method of Optimizing Reverberation Chamber Using FDTD and Genetic Algorithm Method [J].The Applied Computational Electromagnetics Society Journal （ACES），2013，28（4）：293-299.

[14] 晉亮亮.基于深度強化學習的光學薄膜設計優(yōu)化算法研究 [D].北京：中央民族大學，2024.

作者簡介：許韞詩（1998—），女，漢族，安徽淮南人，碩士研究生在讀，主要研究方向：光學薄膜的設計與優(yōu)化；通訊作者：戴志平（1981—），男，漢族，湖南岳陽人，教授，博士，主要研究方向：光傳輸理論及其應用。