摘 要：從高等幾何的重要知識(shí)出發(fā)，結(jié)合初等幾何中的題目，深入探討高等幾何中的仿射變換、德薩格定理、完全四點(diǎn)形的調(diào)和性等知識(shí)對(duì)初等幾何的重要指導(dǎo)作用.通過學(xué)習(xí)高等幾何知識(shí)，幫助師范生和中學(xué)教師深入理解初等幾何中的概念和原理，從而拓展他們的數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞：高等幾何；仿射變換；德薩格定理；完全四點(diǎn)形

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0026-03

高等幾何是比初等幾何更深層次的學(xué)問，它以初等幾何、解析幾何等知識(shí)為基礎(chǔ)，不僅可以培養(yǎng)師范生的幾何素養(yǎng)，還能提高中學(xué)教師以高等幾何方法指導(dǎo)初等幾何教學(xué)的水平.所以要求師范生及中學(xué)教師掌握高等幾何的重要思想，站在更高的觀點(diǎn)下審視初等幾何.

1 高等幾何與初等幾何的關(guān)系

1.1 高等幾何在初等幾何中的地位

初等幾何是運(yùn)用最簡單直接的方法來討論問題，即在基本定理公式的基礎(chǔ)之上，通過簡單的邏輯推理得出很多關(guān)于圖形的性質(zhì)（定理），利用得到的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.然而這種討論問題的方法具有很高的技巧性，對(duì)于復(fù)雜的問題往往束手無策.

高等幾何是初等幾何的進(jìn)一步延伸.雖然高等幾何對(duì)抽象性、邏輯性要求較高，但是初等幾何和高等幾何聯(lián)系密切，掌握高等幾何的必要知識(shí)，對(duì)解決初等幾何學(xué)習(xí)中的問題有著必不可少的作用.

1.2 高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)意義

高等幾何是利用變換群的觀點(diǎn)定義的幾何學(xué)，掌握了高等幾何，可以在研究初等幾何問題時(shí)居高臨下，思維更加開闊，進(jìn)一步加深對(duì)幾何學(xué)的理解.高等幾何拓展了研究初等幾何的方法，高校師范專業(yè)學(xué)生或在職教師通過對(duì)高等幾何的學(xué)習(xí)，能夠提高自己對(duì)幾何學(xué)的認(rèn)知和業(yè)務(wù)水平，更好地把握幾何教材，有利于搞好教學(xué)工作.

高等幾何知識(shí)對(duì)初等幾何學(xué)習(xí)的影響并不是要提供具體的公式和解題方法，而是要從其自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，來類比分析初等幾何的問題.相對(duì)于初等幾何而言，高等幾何有著許多的特有知識(shí)結(jié)構(gòu)，例如正交變換、仿射變換、射影變換等[1].此外，深入理解初等幾何與解析幾何之間的聯(lián)系也具有重要意義.因此，在高等幾何的學(xué)習(xí)中，除了掌握課本內(nèi)容，還需要追溯與初高中已學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步深化對(duì)初等幾何理論與實(shí)際應(yīng)用的探究.

2 高等幾何在初等幾何解題中的應(yīng)用2.1 初等幾何題中的仿射變換

仿射變換是一種向量空間之間的線性變換[2]，經(jīng)過仿射變換，圖形間的相對(duì)位置關(guān)系不會(huì)發(fā)生變化，例如平行線變換后還是平行線、直線變換后還是直線，并且同一條直線上的點(diǎn)的位置順序和長度的比例關(guān)系不變.但向量的夾角可能會(huì)發(fā)生變化，垂直關(guān)系可能會(huì)發(fā)生變化.

例1 設(shè)直線l：y=kx+m（|k|≤12）與橢圓

x24+y23=1相交于A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作

OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求|OP|的取值范圍.

解析 圖1經(jīng)過仿射變換后橢圓轉(zhuǎn)化成圓，平行四邊形轉(zhuǎn)化成菱形，如圖2，由題意知|kAB|≤12，所以得|kDE|≤13.又因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線相互垂直，所以|kOF|≥3，從而|xF|≤1，得到|xP|=|xF|≤1.于是OP2=x2P+y2P=x2P+3（1-x2P4）=x2P4+3∈［3，134］.因此OP的取值范圍是［3，132］.

例2 已知△ABC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，使得AD=13AB，AE=13AC，分別連接BE，CD相交于點(diǎn)F，證明：S△FBC=12S△ABC.

證明 將原來的三角形（如圖3）仿射變換成等邊三角形如圖4，知A1D1=13A1B1，A1E1=13A1C1.又因?yàn)锽1E1交D1C1于點(diǎn)F1，連接A1F1并延長交B1C1于點(diǎn)G1，所以A1G1

⊥B1C1.作F1H1∥B1C1交A1C1于點(diǎn)H1，連接D1E1，得到D1E1=13B1C1.又因?yàn)椤鱁1F1D1∽△B1F1C1，所以F1D1=13C1F1，C1D1=43C1F1.又△E1C1D1∽△H1C1F1，E1D1=43F1H1.故F1H1C1G1=2·F1H1B1C1=2·1/33/4=12.所以F1H1=12C1G1.所以F1是A1G1的中點(diǎn).所以S△F1B1C1=12S△A1B1C1.而兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量，即S△FBCS△ABC=S△F1B1C1S△A1B1C1=12.所以S△FBC=12S△ABC.

類似于這樣的初等幾何題都可以利用仿射變換的性質(zhì)，將一般的圖形轉(zhuǎn)化成特殊圖形，化難為易，讓學(xué)生解決容易理解的特殊題目，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想，啟發(fā)學(xué)生的解題思路，從而解決一般的初等幾何題.

2.2 初等幾何題中的德薩格定理

德薩格定理是指如果兩個(gè)三點(diǎn)形三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.而德薩格逆定理是指如果兩個(gè)三點(diǎn)形三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上，則三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn).

例3 已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC三條邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，證明AD，CF，BE相交于點(diǎn)G.

證法1 （初等幾何法）如圖5，連接BE，CF交于點(diǎn)G1，連接AG1并延長交BC于點(diǎn)D，連接EF，所以EF∥BC，從而△G1EF∽△G1BC.又由三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，所以G1FG1C=FECB=EG1BG1.又因?yàn)锽C=2EF，所以BG1=2EG1，G1C=2G1F.設(shè)AD和BE相交于點(diǎn)G，依舊可以證明BG=2EG，GA=2GD.所以G1和G都是BE上從B到E三分之二點(diǎn)處，故G1和G重合，AD，CF，BE相交于點(diǎn)G，三條中線共點(diǎn).

證法2 （德薩格定理法）因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是三角形三條邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可知

EF∥BC，ED∥AB，F(xiàn)D∥AC.根據(jù)

德薩格逆定理，△ABC和△DEF這兩個(gè)三角形，它們每一條對(duì)應(yīng)邊都相交于一點(diǎn)，而每一個(gè)交點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)直線上，所以它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AD，CF，BE相交于一點(diǎn)G.

例4 已知點(diǎn)P，O，Q分別是△ABC的垂心、重心、外心，證明P，O，Q三點(diǎn)共線.

證法1 （初等幾何方法）如圖6，作BC的中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，連接AP并延長交BC于點(diǎn)F，連接BP并延長交AC于點(diǎn)G，連接AD，DE，DQ，EQ.因?yàn)辄c(diǎn)Q是△ABC的外心，D是BC的中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，所以DQ是BC的垂直平分線，EQ是AC的垂直平分線，從而DQ⊥BC，EQ⊥AC.又因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC的垂心，所以AP⊥BC，BP⊥AC，因此AP∥DQ，BP∥EQ.又由D是BC的中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，得到DE∥AB.所以△ABP∽△DEQ.所以APDQ=ABDE=2.因?yàn)镺是△ABC的重心，AD是BC邊的中線，所以點(diǎn)O在AD上且OAOD=2.因?yàn)锳P∥DQ，所以∠PAO=∠QDO.又因?yàn)锳PDQ=OAOD=2，得到△AOP∽△DOQ.所以O(shè)POQ=OAOD=2，∠AOP=∠DOQ.因?yàn)锳，O，D共線，所以∠AOQ+∠DOQ=180°，即∠AOQ+∠AOP=180°.所以P，O，Q三點(diǎn)共線.

證法2 （德薩格逆定理法）在△ABP和△DEQ中，因?yàn)锳P∥DQ，BP∥EQ，DE∥AB，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的邊都是平行關(guān)系，也就是說△ABP和△DEQ三組對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)都是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以我們也就可以利用德薩格逆定理的知識(shí)，得出AD，BE的交點(diǎn)O與P，Q共線這個(gè)結(jié)論.

2.3 初等幾何題中的完全四點(diǎn)形

不是所有的共點(diǎn)共線問題都可以用德薩格定理解決，完全四點(diǎn)形也是重要的方法之一.平面上四個(gè)點(diǎn)（其中無三點(diǎn)共線）及其兩兩連接的六條直線所組成的圖形稱為完全四點(diǎn)形.完全四點(diǎn)形包含四個(gè)頂點(diǎn)，六條邊，而它的對(duì)邊沒有共同的頂點(diǎn)，對(duì)邊點(diǎn)就是對(duì)邊的交點(diǎn)，三對(duì)邊點(diǎn)所構(gòu)成的三點(diǎn)形稱為它的對(duì)邊三點(diǎn)形（或中心三點(diǎn)形）.

完全四點(diǎn)形的性質(zhì)應(yīng)用有兩方面：首先，在完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形的每條邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn)，其中兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)邊點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是這條邊與通過第三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)的一對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)；其次，在完全四點(diǎn)形的每條邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn)，其中兩個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另一個(gè)對(duì)偶點(diǎn)里，一個(gè)點(diǎn)是對(duì)邊點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)是這個(gè)邊與對(duì)邊三點(diǎn)形的邊的交點(diǎn).

例3應(yīng)用德薩格定理證明三角形的三中線共點(diǎn)，也可應(yīng)用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性.證明如下：

如圖7，AFGE是完全四點(diǎn)形，連接BE，CF交于點(diǎn)G，連接AG并延長交BC于點(diǎn)D1，由EF∥BC知EF和BC相交于無窮點(diǎn)Q∞，所以由完全四點(diǎn)形的調(diào)和性可知（BC，D1Q∞）=-1，所以D1是BC中點(diǎn)，即D1和D重合，即AD，CF，BE共點(diǎn)G.圖7 三角形中線圖

3 結(jié)束語

通過上述幾種高等幾何中的方法，為中學(xué)幾何的教育提供了更具有深度、廣度的教授方法和學(xué)習(xí)方法.我們可以將中學(xué)幾何中的特殊命題和圖形與普遍意義下的幾何概念建立聯(lián)系，這種聯(lián)系有助于學(xué)生更深入地理解幾何的本質(zhì)和性質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 馬麗君.淺談高等幾何在初等幾何中的應(yīng)用[J].長春教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，29（23）：146-147.

[2] 梅向明.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2008.

［責(zé)任編輯：李 璟］