“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版三年級(jí)上冊(cè)第五單元的內(nèi)容?？梢哉f(shuō)，“倍”的認(rèn)識(shí)是小學(xué)階段“數(shù)概念”思維水平的一次重要提升，它使數(shù)從表示具體的“量”上升為表示抽象的“率”。建立好“倍”的概念，將為后續(xù)學(xué)習(xí)“零點(diǎn)幾倍”“幾分之幾”“百分之幾”打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，大部分老師把“幾倍”與“幾個(gè)幾”等同起來(lái)，客觀上降低了學(xué)生的思維難度。但“幾倍”與“幾個(gè)幾”是完全相同的概念嗎？這恐怕值得商榷。

一、“幾倍”與“幾個(gè)幾”的聯(lián)系

關(guān)于三年級(jí)“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課的教學(xué)，很多教師覺(jué)得完全不費(fèi)吹灰之力就能讓學(xué)生掌握，只要把之前乘法學(xué)習(xí)中的“幾個(gè)幾”學(xué)好了，在這里換個(gè)說(shuō)法就是“幾倍”。教材的編排也是在學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法和除法的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識(shí)”，通過(guò)借助“幾個(gè)幾”來(lái)降低學(xué)習(xí)的難度。（如下圖）

教學(xué)時(shí)，老師們通常先對(duì)蘿卜進(jìn)行分類計(jì)數(shù)——紅蘿卜有6根，胡蘿卜有2根；再通過(guò)圈圖、比較得出“胡蘿卜是1個(gè)2根，紅蘿卜是3個(gè)2根，我們就說(shuō)紅蘿卜是胡蘿卜的3倍”。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生很快就能遷移得到“白蘿卜有5個(gè)2根，白蘿卜就是胡蘿卜的5倍”。至此，大部分同學(xué)都會(huì)表示蘿卜間的倍數(shù)關(guān)系了，這時(shí)教師只要再通過(guò)幾道變式練習(xí)強(qiáng)化一下“幾個(gè)幾”和“幾倍”的聯(lián)系，就能讓幾乎全班同學(xué)在各類習(xí)題中順利過(guò)關(guān)。

用“幾個(gè)幾”來(lái)理解“幾倍”，既體現(xiàn)了知識(shí)的正向遷移價(jià)值，又提高了學(xué)習(xí)效率，似乎是一個(gè)不錯(cuò)的辦法。但有的學(xué)生在判斷上圖紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的幾倍的時(shí)候，把兩根胡蘿卜也看作“1個(gè)2”，這樣就一共有“4個(gè)2”，從而得出“紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的4倍”這樣的錯(cuò)誤結(jié)論——因?yàn)樵趯W(xué)生初次學(xué)習(xí)乘法意義“幾個(gè)幾”的時(shí)候，都是從“第一份”數(shù)起的，在學(xué)習(xí)“幾倍”的時(shí)候，也會(huì)自然而然地把原來(lái)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)“遷移”到這節(jié)課中。

由此可見(jiàn)，“幾倍”就是“幾個(gè)幾”的理解方法似乎存在思維上的漏洞。

二、“幾倍”與“幾個(gè)幾”的區(qū)別

從最淺顯的生活經(jīng)驗(yàn)可以想得到，“幾倍”與“幾個(gè)幾”還是有著本質(zhì)的區(qū)別的，具體的比較結(jié)果如下表：

由上表可見(jiàn)，“幾倍”與“幾個(gè)幾”有著本質(zhì)的區(qū)別。用“幾個(gè)幾”來(lái)理解“幾倍”，表面上看似充分發(fā)揮了舊知識(shí)向新知識(shí)的遷移作用，提高了所謂的課堂教學(xué)效率。但卻因言害意，降低了學(xué)生的思維水平，難以深入理解“倍”的概念本質(zhì)。

三、深入理解“幾倍”的實(shí)踐探索

深入理解“倍”的本質(zhì)，需要循序漸進(jìn)、展開(kāi)推理、逐步抽象，形成一個(gè)完整的思維閉環(huán)。

1. 明確“倍”是比出來(lái)的

“幾個(gè)幾”是“數(shù)”（shǔ）出來(lái)的，而“幾倍”是“比”出來(lái)的。它描述的是兩個(gè)量之間的比較結(jié)果——而這種比較不同于一年級(jí)所學(xué)的“相差數(shù)量比”（其結(jié)果是一個(gè)具體的相差量），而是一種“包含份數(shù)比”（其結(jié)果是較大數(shù)包含幾份相當(dāng)于較小數(shù)的量）?！皫讉€(gè)幾”在視覺(jué)上是由幾個(gè)零散的“部件”組成一個(gè)更大的“群體”，而“幾倍”在視覺(jué)上是用較小的一個(gè)數(shù)作為“尺子”去度量一個(gè)更大的“對(duì)象”。

教學(xué)中，老師可以通過(guò)圈一圈、數(shù)一數(shù)的方式，讓學(xué)生逐步明白“倍”是比出來(lái)的——它是兩個(gè)量之間的關(guān)系，所以不能單獨(dú)說(shuō)某個(gè)數(shù)是“幾倍”。再通過(guò)PPT動(dòng)畫(huà)演示，發(fā)現(xiàn)每比較一次都是“尺子”與“對(duì)象”的一部分“重合”，所以在描述“幾倍”的時(shí)候，不包括“尺子”（一倍數(shù)）。（如下圖）

2. “一倍數(shù)”是認(rèn)識(shí)“倍”的根本

同樣是紅蘿卜和胡蘿卜做比較，6根紅蘿卜是2根胡蘿卜的3倍，6根紅蘿卜是3根胡蘿卜的2倍。紅蘿卜的根數(shù)并沒(méi)有發(fā)生變化，變化的是“一倍數(shù)”，一倍數(shù)是“幾”，就要用這樣的“標(biāo)準(zhǔn)”到對(duì)象中去“度量”，度量得幾次，就說(shuō)對(duì)象是標(biāo)準(zhǔn)的“幾倍”。（如下圖）

縱向來(lái)看，同樣是得到了“2倍”。6根紅蘿卜是3根胡蘿卜的2倍，8根白蘿卜是4根胡蘿卜的2倍。都是把胡蘿卜的數(shù)量看成一倍數(shù)去度量，在紅蘿卜或白蘿卜中都分別度量得兩次，所以倍數(shù)都是2。不難發(fā)現(xiàn)，倍數(shù)是幾，其實(shí)和具體的蘿卜數(shù)量無(wú)關(guān)，只和“度量”得到的次數(shù)有關(guān)。

所以說(shuō)，“幾倍”是從“一倍”開(kāi)始的，“一倍”的標(biāo)準(zhǔn)是什么樣的，就按照這樣的標(biāo)準(zhǔn)在較大數(shù)中“一倍”“一倍”地比下去?！耙槐稊?shù)”是認(rèn)識(shí)“幾倍”的根本。

3. “倍數(shù)”學(xué)習(xí)中的“變”與“不變”

在上面的例子中，“一倍數(shù)”不變的情況下，在越大的對(duì)象中比出來(lái)的倍數(shù)就越多，反之則越少。在對(duì)象相同的情況下，“一倍數(shù)”（尺子）越大比出來(lái)的倍數(shù)就越少，反之則越多。

6根紅蘿卜是2根胡蘿卜的3倍，8根白蘿卜是2根胡蘿卜的4倍，“一倍數(shù)”不變——都是2，測(cè)量的對(duì)象變大了，測(cè)得的倍數(shù)也就多；而當(dāng)對(duì)象不變都是8時(shí)，一倍數(shù)是2，能比出4倍，一倍數(shù)是4時(shí)，就只能比出2倍了。

但也有不變的情況。就是當(dāng)“一倍數(shù)”和對(duì)象都按照相同的倍數(shù)擴(kuò)大或縮小的時(shí)候，比出來(lái)的倍數(shù)是相同的。（如下圖）

8根白蘿卜是2根胡蘿卜的4倍，當(dāng)胡蘿卜和白蘿卜的數(shù)量都增加到原來(lái)的2倍時(shí)，16根白蘿卜仍然是4根胡蘿卜的4倍，倍數(shù)不變——用“大尺子”測(cè)量“大對(duì)象”與“小尺子”測(cè)量“小對(duì)象”，得到的結(jié)果相同。

通過(guò)“變”與“不變”的操作、觀察與思考，學(xué)生終于體會(huì)到“倍”是兩個(gè)數(shù)相比得到的一種抽象的關(guān)系（率），與具體的數(shù)量沒(méi)有關(guān)系。

四、“幾倍”在生活中的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)習(xí)這么抽象的“倍”，有什么用呢？用途大致有三：

其一，簡(jiǎn)化數(shù)量關(guān)系。比如某位打字員錄入1500字的文稿需要11分鐘，他以同樣的速度錄入3000字的稿件需要多少分鐘？因?yàn)榈诙莞寮淖謹(jǐn)?shù)是第一份稿件的兩倍，第二次的耗時(shí)自然也是第一次的兩倍，所以需要22分鐘。

其二，揭示某種規(guī)律。比如在配置糖水的時(shí)候，水的數(shù)量與糖的數(shù)量相比得出的“倍數(shù)”其實(shí)意味著糖水的甜度。無(wú)論糖與水的具體數(shù)量如何，只要“倍數(shù)”相同則兩杯糖水的甜度相同。

其三，奠基后續(xù)學(xué)習(xí)。較大數(shù)與較小數(shù)相比的結(jié)果是一個(gè)“倍數(shù)”（強(qiáng)比）；較小數(shù)與較大數(shù)相比的結(jié)果是一個(gè)“分率”（弱比）。它們形式不同，本質(zhì)相通。對(duì)“倍”的本質(zhì)意義理解到位了，“分率”的意義理解，也就是水到渠成之事。

由此可見(jiàn)，“幾倍”不是“幾個(gè)幾”，值得我們下大功夫引導(dǎo)學(xué)生理解其本質(zhì)含義。

【注：本文系2022年度云南省教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目“基于核心素養(yǎng)的小學(xué)生推理意識(shí)培養(yǎng)的策略研究”（批號(hào)：BFJC22020）階段性研究成果】