文章編號： 1006-9798（2024）03-0055-03； DOI： 10.13306/j.1006-9798.2024.03.008

摘要： 針對最小二乘法在處理總體特征不明顯的數(shù)據(jù)時效果欠佳的問題，提出了一種適用于“貧信息，小樣本”的預(yù)測方法，采用灰色GM（1，1）模型對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行歸納、總結(jié)和提煉，構(gòu)建相應(yīng)的預(yù)測模型。新的參數(shù)估算方法將初始誤差的絕對值和最小化，將參數(shù)估算轉(zhuǎn)化為目標(biāo)規(guī)劃問題，利用目標(biāo)規(guī)劃法，在不依賴于數(shù)據(jù)整體特性的前提下，有效降低異常值，簡化計算過程，提高預(yù)測精度。

關(guān)鍵詞： 灰色GM（1，1）模型； 預(yù)測模型； 參數(shù)估計方法

中圖分類號： TP301.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

隨著可視化技術(shù)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)分析工具揭示了檔案學(xué)研究熱點和發(fā)展方向[1]，但該方法過于主觀，缺乏數(shù)學(xué)模型的支撐，而數(shù)學(xué)模型預(yù)測檔案研究熱點，更客觀地反映未來趨勢[2]?；疑A(yù)測模型基于傳統(tǒng)的GM （1，1）模型，其預(yù)測效果優(yōu)于傳統(tǒng)模型。GM（1，1）模型包括均值、原始差分、均值差分和離散模型4種模型[3]，是一個連續(xù)微分方程，屬于數(shù)量經(jīng)濟模型的子結(jié)構(gòu)[4]，其優(yōu)勢在于不需要大量數(shù)據(jù)樣本，通過累加原始數(shù)據(jù)序列發(fā)現(xiàn)潛在規(guī)律。國內(nèi)很多學(xué)者針對數(shù)理模型進(jìn)行研究，并取得了較好的結(jié)果。張寧等[5]利用灰色模型GM（1，1）對情報學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測，蘇光耀等[6]分析了高校潛在學(xué)科的發(fā)展趨勢，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型在信息資源開發(fā)和管理決策中的應(yīng)用變革。使用GM（1，1）模型實現(xiàn)預(yù)測時，參數(shù)的估計至關(guān)重要，直接影響模型預(yù)測的結(jié)果[7]。傳統(tǒng)的最小二乘法要求數(shù)據(jù)特征符合正態(tài)分布[8]，但數(shù)據(jù)規(guī)模較小，尤其數(shù)據(jù)特征不明顯且存在異常值時[9]，處理效果不佳?；诖?，本文提出了新的優(yōu)化oYWBBAxNABPjWz4h+0lrf+DHuaf0RKzJdLFfJMtzsNk=算法進(jìn)行灰色預(yù)測模型的參數(shù)估計，綜合考慮數(shù)據(jù)特征和預(yù)測誤差，轉(zhuǎn)換最小二乘誤差平方和為最小誤差值，減少異常值影響，提升預(yù)測精度，通過應(yīng)用實例驗證了該算法的有效性。

1灰色GM（1，1）模型

設(shè)x（0）（n）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（N）}為已知的非負(fù)序列，其一次累加序列為x（1）（n）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（N）}，其中x（1）（k）=∑ki=1x（0）（i），k=1，2，…，N。灰色GM（1，1）模型為

dx（1）（n）dn+βx（1）（n）=λ（1）

時間響應(yīng)函數(shù)[9]為

x（1）（n）=（x（1）（1）－λθ）e－θn+λθ（2）

將式（1）離散化，得

－θa（2）+λ=x（0）（2）－θa（3）+λ=x（0）（3）……－θa（N）+λ=x（0）（N）（3）

其中，a（k）=x（1）（k）+x（1）（k－1）2，x（0）（k+1）=x（1）（k+1）－x（1）（k）。對式（3）用最小二乘法求θ︿和λ︿，得

min∑Nθ，λ k=2（x（0）（k）+a（k）θ－λ）2（4）

解得（θ︿，λ︿）T=（BTB）－1BTYN，其中

B=－a（2）1－a（3）1－a（N）1YN=x（0）（2）x（0）（3）x（0）（N）

得

x︿（1）（k+1）=（x（1）（1）－θ︿）e－θ︿x+θ︿（5）

x︿（0）（k+1）=x︿（1）（k+1）－x︿（1）（k） k=1，2，…，n－1（6）

2參數(shù)估計的目標(biāo)規(guī)劃法

在GM（1，1）模型中，參數(shù)估計對預(yù)測精度至關(guān)重要。本文提出了一個基于目標(biāo)規(guī)劃法的改進(jìn)參數(shù)估計方法，將初始誤差的絕對值和最小化，轉(zhuǎn)化為目標(biāo)規(guī)劃問題，更好地適應(yīng)數(shù)據(jù)的實際特征。式（2）為式（1）的時間響應(yīng)函數(shù)，其中θ和λ是未知參數(shù)，所以不能使用式（2）直接預(yù)測結(jié)果，通過離散化將式（1）轉(zhuǎn)化為式（3），求得未知參數(shù)θ和λ。而式（3）有解θ-和λ-的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等。

系數(shù)矩陣為－a（2）1－a（3）1－a（N）1; 增廣矩陣為－a（2）1x（0）（2）－a（3）1x（0）（3）－a（N）1x（0）（N）

求參數(shù)θ和λ時，需將式（3）左端與右端之差的絕對值之和達(dá)到最小，因此，建立模型

min∑Nk=2|x（0）（k）+a（k）θ－λ|（7）

引入偏差變量，轉(zhuǎn)化為以θ和λ為決策變量的目標(biāo)優(yōu)化問題，即θ=θ1－θ2， θ1，θ2≥0，λ=λ1－λ2， λ1，λ2≥0。相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型為

min∑Nk=2（d－k+d+k）－a（k）θ1+a（k）θ2+λ1－λ2+d－k－d+k=x（0）（k）θ1，θ2，λ1，λ2≥0，d+k≥0k=2，3，…，N（8）

其中，d+k≥0， d－k≥0， k=2，3，…，N分別為正、負(fù)偏差變量。

當(dāng)E+WH+NxTtoDhN0kx1zVwHQ==方程組（3）有解時，式（7）的目標(biāo)將達(dá)到，即d±k=0， k=2，3，…，N，求解式（7），得到參數(shù)θ︿=θ1－θ2，λ︿=λ1－λ2。預(yù)測結(jié)果由式（5）和式（6）求得。

3實例驗證

1991—1995年中國在校研究生（單位：萬人）數(shù)據(jù)為x（0）（k）=（8.7，9.34，10.8，12.7，13.9），對數(shù)據(jù)x（0）（m）進(jìn)行一次累加生成數(shù)列x（1）（k）=（8.7，18.04，28.84，41.54，55.44），a（k）=（13.5，9.46，11，13.5），YN=（9.42，10.7，12.8，14.5）

建立目標(biāo)規(guī)劃模型

mind－2+d+2+d－3+d+3+d－4+d+4+d－5+d+5－13.5θ1+13.5θ2+λ1－λ2+d－2－d+2=9.42－9.46θ1+9.46θ2+λ1－λ2+d－3－d+3=10.7－11θ1+11θ2+λ1－λ2+d－4－d+4=12.8－13.5θ1+13.5θ2+λ1－λ2+d－5－d+5=14.5θ1，θ2，λ1，λ2>0d－k≥0， d+k≥0， k=2，3，…，5

根據(jù)目標(biāo)規(guī)劃問題，解得θ1=0，θ2=0.148 2，λ1=7.418，λ2=0，d－2=d+2=d－3=d+3=d－4=d+5=0，d－2=d+2=d－3=d+3=d－4=d+5=0，d+4=1.323 8，d－5=0.323 4。將θ=－0.142 8，λ︿=7.418 8代入式（5），得x︿（1）（k+1）=58.859 379e0.148 2n－50.059 317 922，分別取k=1，2，3，4得，x︿（1）（2）=18.202 481 06，x︿（1）（3）=29.106 959 77，x︿（1）（4）=41.753 372 54，x︿（1）（5）=56.334 834 81。

通過式（6）還原獲得模型的計算值。模擬計算與實測值之間的誤差對比見表1，其中，平均絕對誤差為0.116 6，平均相對誤差為0.992 5%。如果直接構(gòu)建灰色GM（1，1）模型，可以得到0.127 8和1.047 5%的預(yù)測值，說明本文所提方法較已有的結(jié)果更精確。

4結(jié)論

本文針對檔案利用需求預(yù)測中數(shù)據(jù)復(fù)雜性與隨機性的問題，提出了一種基于目標(biāo)規(guī)劃法的GM（1，1）模型改進(jìn)方法。通過生成與提取已知信息，將絕對誤差和轉(zhuǎn)化為目標(biāo)優(yōu)化問題，利用目標(biāo)規(guī)劃法實現(xiàn)更準(zhǔn)確的預(yù)測。通過實驗驗證可知，相比傳統(tǒng)最小二乘法和其他改進(jìn)方法，本方法的預(yù)測精度更高，且無需假定數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布，減少了對數(shù)據(jù)特性的依賴。但數(shù)據(jù)波動較大時，模型預(yù)測仍存在一定誤差，且計算復(fù)雜度在大規(guī)模數(shù)據(jù)集上需進(jìn)一步優(yōu)化，可探索其他優(yōu)化方法與灰色模型結(jié)合，擴大應(yīng)用領(lǐng)域。

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Optimization Algorithm for Parameter Estimation of Grey GM（1，1） Archives Model

ZHENG Lei

（Department of Science and Technology， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：

Aiming at the problem that the least square method is not effective in dealing with the data with unobvious overall characteristics， a prediction method suitable for “poor information， small sample” is proposed. The grey GM （1，1） model is used to summarize and refine the data series， and the corresponding prediction model is constructed. The new parameter estimation method minimizes the absolute sum of the initial error and turns the parameter estimation into a goal programming problem. By using the goal programming method， the outliers are effectively reduced， the calculation process is simplified and the prediction accuracy is improved without relying on the overall characteristics of the data.

Keywords：

grey GM（1， 1 ）model; prediction model; parameter estimation method

收稿日期： 2024-05-28； 修回日期： 2024-07-21

基金項目： 青島市社科規(guī)劃資助項目（QDSKL2201067）

第一作者： 鄭蕾（1982-），女，博士，副研究館員，主要研究方向為中國高等教育管理理論與政策。Email： qdzhenglei@126.com