摘 要：“面積”是人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三年級下冊》第5單元的內(nèi)容，也是首次出現(xiàn)面積的概念.較舊版教材而言，新版教材不再出示“物體表面或封閉圖形的大小，叫作面積”這樣明確的定義，而是突出學(xué)生對“面”的本質(zhì)的充分感知.本文詳述了“面是什么—面在哪里—面有不同—面可比較”四步進階設(shè)計，通過突出學(xué)生對于“面”的感受和體驗，幫助學(xué)生建構(gòu)面積概念．

關(guān)鍵詞：定向；感知；分類；刻畫；面積概念

在圖形與幾何領(lǐng)域，從長度到面積，從一維走向二維，對學(xué)生來說是圖形認識發(fā)展上的一次飛躍［1］，具體而言，無論是從意義的角度還是從度量的角度，兩者均存在本質(zhì)的區(qū)別.通過分析學(xué)生“認識面積”的前測發(fā)現(xiàn)，三年級學(xué)生在面對一個封閉圖形時，有57%的學(xué)生下意識關(guān)注到封閉圖形的周長.學(xué)生在理解面積概念上有困難，特別是對“面”的感受很淡薄，不夠深刻.為了有效幫助學(xué)生更好地感知和體驗“面”，建構(gòu)面積概念，教師可以嘗試以下的教學(xué)設(shè)計．

1 面是什么：經(jīng)歷面與生活的聯(lián)系，定向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的面

教師出示“面”字.

師：看到這個字你想到了什么？

生：面積、面條、面包、面粉、面相……

師：同學(xué)們想到了各種各樣與“面”相關(guān)的內(nèi)容，那數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“面”到底指的是什么呢？本節(jié)課就一起來研究像數(shù)學(xué)書封面、桌面、黑板面這樣的“面”．

【設(shè)計意圖】教師從“面”字引入教學(xué)，聯(lián)系生活，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性，從而喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗.同時，教師根據(jù)學(xué)生的回答，幫助學(xué)生厘清哪些是數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)的面，使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的面是什么．

2 面在哪里：經(jīng)歷多感官的體驗，感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的面

2.1 看一看，摸一摸，感知面多成片

教師展示被統(tǒng)一顏色覆蓋的面，如黑板的面、樹葉的面、數(shù)學(xué)書的封面和桌面，讓學(xué)生對面有初步的感知.

接著，教師提出問題“你能像老師這樣找一找周圍物體上的面嗎”.

生：音響上面有音響外殼的面、教室地板的面、教室前面的墻面、凳子上的面……

教師進一步引導(dǎo)學(xué)生摸一摸凳子上的面，讓學(xué)生通過視覺和觸覺來感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“面”，鼓勵學(xué)生用自己的語言來表達“面”.

師：在學(xué)習(xí)線的時候，我們都說它是一條條的，那么你能形容一下面嗎？

生：面是一片片的、一塊塊的．

師：面是一片片的，像黑板這樣一整片的大小就是面．

【設(shè)計意圖】教師從黑板、樹葉、數(shù)學(xué)書、桌子等具體的實物中抽象出面，讓學(xué)生形象地感受到面，接著讓學(xué)生列舉在生活中看到的面，通過看一看、摸一摸去感受“面”，增加學(xué)生對“面”的具象了解．

2.2 辨一辨，理一理，感知面在體上

師：找到那么多的面，這些面都是單獨存在的嗎？它們都在哪里？

生：凳面在凳子上，地面在地上；面在某個物品的附近；面指的是某個物品上面的一個平面；面都是依附在某個物體上的.

學(xué)生的回答從具象的描述到特征的概括，語言越來越精練，感知越來越鮮明．

師：我們看得見摸得著的面都在物體上，簡單來說就是“面在體上”．

2.3 探一探，悟一悟，感知面有邊界

教師指著數(shù)學(xué)書封面之外的地方，再次提問“這里還是數(shù)學(xué)書的封面嗎”，引發(fā)學(xué)生思考和討論．

生1：我覺得不是，因為它不在物體的上面，而是在物體的外面.

生2：因為你手指的這一塊面不是貼著這個物體的，所以我認為它不屬于數(shù)學(xué)書的封面.

生3：我補充，面是有規(guī)定的，有范圍的．

教師又指著數(shù)學(xué)書的外圍一周繼續(xù)追問“這是數(shù)學(xué)書的封面嗎”.

生：外面一圈是一條線，面積是一整片的.你剛才指的應(yīng)該是數(shù)學(xué)書封面上的周長．

【設(shè)計意圖】教師圍繞著“讓學(xué)生深刻感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的面，關(guān)注面的要素”，設(shè)計“面在哪里”的一系列探究問題，首先讓學(xué)生充分感知面是一整片的二維圖形，其次讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)面都是依附在物體上的，不可能孤立存在，最后讓學(xué)生深刻認識面是有范圍有邊界的.這樣的認知過程是深刻的，這樣的本質(zhì)體驗是潛移默化的，不是直接告知的.

3 面有不同：經(jīng)歷比較活動，分類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的面

首先，教師讓學(xué)生找出指定學(xué)具材料中的面，分類感受面的不同.提供的材料有：薯片桶、樹葉、紐扣、正方形和長方形卡片、紙巾盒、數(shù)學(xué)書、課桌、撕壞了的紙等．

接著，學(xué)生四人小組開展合作，通過看一看、摸一摸，找到這些物體上的面，比較這些面的異同.活動時間三分鐘．

再次，學(xué)生分小組進行匯報.

學(xué)生總結(jié)：①這些圖形的周長都不一樣；②這些圖形的面積不一樣；③面的大小不一樣；④圖形面的彎度不一樣，長方形卡片是平的，薯片筒的側(cè)面是彎的；⑤這些面的形狀不一樣，撕壞了的紙面是一個多邊形，而紙巾盒的上面就是一個長方形；⑥物體的材質(zhì)不一樣，表面的光滑程度不一樣，葉子的面比較粗糙，而薯片筒側(cè)面比較光滑；⑦這些物體的面積大小不同，而且有些面是不規(guī)則的，有些面是規(guī)則的.

最后，教師小結(jié)：觀察的角度不同，小組之間的發(fā)現(xiàn)也不同，都各有各的價值，說明“面有不同”．

【設(shè)計意圖】教師通過小組合作，讓學(xué)生經(jīng)歷將不同的面進行分類的過程.從外觀上看，面包括各種形狀，有規(guī)則形狀的面，有不規(guī)則形狀的面；從形態(tài)上看，有些面是平的，有些面是彎曲的；從范圍上看，面有大、有小，而且面的大小是確定的，是可描述的，是可度量的.這個環(huán)節(jié)的目的有兩個：一是通過比較每個面之間的不同，從外觀、形態(tài)和大小三個維度全面、深刻地理解“面”；二是強調(diào)了面的大小是確定的、可度量的，從而更好地過渡到下一環(huán)節(jié)．

4 面可比較：經(jīng)歷比較辨析，刻畫數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的面

4.1 教師提供素材，讓學(xué)生找出物體上的面并比較出九個面的大小

教師出示圖1，讓學(xué)生比較圖中九個面的大小.

學(xué)生的匯報出現(xiàn)兩種比較結(jié)果.一個小組認為，面的大小順序是⑧>⑦>⑥>⑨>⑤>④>②>①>③；另一個小組則認為是⑧>⑦>⑥>⑨>④>⑤>②>①>③．

（2）教師梳理比較的方法.明顯可觀察分辨出的是⑧>⑦>⑥和②>①>③.⑥和⑨兩個面可以用重疊的方法進行比較，發(fā)現(xiàn)⑥>⑨.所以，基本能確定的順序是⑧>⑦>⑥>⑨>（ ）>（ ）>②>①>③.小組之間意見有分歧的是⑤和④的面，不能確定哪個比較大．

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過小組合作，將這些物品的面的大小按照一定的順序進行排列，進而感受面的大小是可以比較的.同時，教師通過學(xué)生匯報，總結(jié)面的大小比較的方法是多元的，有些面直接觀察就能看出大小，有些面可以用覆蓋重疊的辦法來比較，有些面則可以利用其他物品作為參照來比較.在這個活動中，特意放置了⑤和④兩個面積相同而形狀不同的面，一個是長方形，一個是正方形，學(xué)生得到不同的結(jié)論，難以精確比較這兩個面的大小，這為后面統(tǒng)一度量單位的活動環(huán)節(jié)做鋪墊．

4.2 學(xué)生借助測量工具，比較出有爭議的兩個面的大小

教師提供大正方形、小正方形、圓形、三角形、正方形卡片和長方形卡片等學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生借助學(xué)具合作完成正方形卡片和長方形卡片大小比較．

（1）學(xué)生反饋各自的探索結(jié)果：用4個大正方形就可以填滿長方形卡片和正方形卡片，說明它們一樣大；用圓片去擺，都用了16個圓片，說明它們一樣大，但16個圓片不能等同于長方形或正方形卡片的面積；用小長方形的標(biāo)準(zhǔn)去擺，發(fā)現(xiàn)長方形卡片上用了25個，而正方形卡片上用了24個之后還有缺口，不能鋪滿.

（2）教師追問：那能不能比出長方形卡片和正方形卡片這兩個面的大小.

生1：再拿一個小長方形剪成兩半，正好就可以補上缺口，那么兩張卡片都是25個長方形那么大，可以說明兩張卡片面積一樣大，就是操作麻煩了點兒．

生2：嘗試用了三角形，但無論怎么擺，就是不能全部鋪滿．

生3：選擇小正方形去鋪，鋪了一部分，可是發(fā)現(xiàn)要用的太多，太麻煩就放棄了．

（3）教師把準(zhǔn)備好的兩份用大正方形和小正方形標(biāo)準(zhǔn)鋪成的卡片分別展示，讓學(xué)生觀察，看看有何發(fā)現(xiàn).

學(xué)生得出結(jié)論：要比較出大小，用同樣大小的工具去鋪，正方形能將這兩張卡片的面都鋪滿，用小的麻煩，用大的方便，所以建議大家用大的正方形做標(biāo)準(zhǔn)，可以準(zhǔn)確又方便地數(shù)出個數(shù)．

【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)主要解決“如何比較兩個面積相等但形狀不同的面的大小”問題.學(xué)生利用教師提供的各種各樣的度量標(biāo)準(zhǔn)，通過動手操作發(fā)現(xiàn)圓和長方形可以度量這兩個面，但是用圓來度量還不夠精準(zhǔn)，用正方形度量能夠精確且快速地表征出長方形和正方形的面積.同時，學(xué)生通過比較用大正方形和小正方形來表示測量的結(jié)果，得出結(jié)論：①用圓、三角形可以度量，但不夠精準(zhǔn)；②用大正方形、小正方形可以精確度量，但不好比較；③為了比較，所以要統(tǒng)一度量單位．

4.3 學(xué)生經(jīng)歷累加過程，數(shù)出圖形面積，刻畫出圖形大小

教師出示方格圖（如圖2），讓學(xué)生嘗試以小正方形為標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)出方格紙上三個圖形的面積．

學(xué)生交流數(shù)個數(shù)的方法，分別描述出圖形的大?。旱谝粋€圖形有15個小正方形.第二個圖形可ipHbO9a5irtf0CvB70JhzA==以把那個斜的三角形移到右邊，拼成一個完整的正方形，共16個小正方形.第三個圖形也可以把上面的三角形拼成正方形，這樣就有27個小正方形．

教師總結(jié)：今天這節(jié)課我們通過看一看、找一找、摸一摸，認識了面，明白了“面是什么，面在哪里”；通過辨一辨、測一測、比一比，了解了面，知道了“面有不同，面可比較”；用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對面進行測量，從而比較出圖形的大?。?/p>

【設(shè)計意圖】一個圖形的大小，即這個圖形的面積，是這個圖形本身的一種數(shù)學(xué)屬性，也是它本身所擁有的一種數(shù)學(xué)特征.［2］這個圖形的大小可以度量，即用一個單位作為標(biāo)準(zhǔn)去度量，并用度量的結(jié)果來描述面的大?。?/p>

要精確地刻畫一個圖形，就需要刻畫它的大小，或者刻畫它的性質(zhì).在本課的教學(xué)中，要緊緊抓住刻畫圖形的大小這個重點.教師可以嘗試讓學(xué)生用自己的標(biāo)準(zhǔn)，用自己的方式去描述圖形的大小.通過描述，學(xué)生可以感受到，因為度量單位不同，所描述出來的面積也不同.［3］由此，學(xué)生深刻體會統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的必要性.

參考文獻

［1］ 李蘭瑛.在操作體驗中理解概念——“什么是面積”教學(xué)實踐與反思［J］.教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（6）：15-18．

［2］顧曉東.把握本質(zhì)，精致概念建構(gòu)過程——以“認識面積”教學(xué)為例［J］.教學(xué)與管理，2014（26）：44-46．

［3］唐慧榮，章勤瓊.基于學(xué)習(xí)路徑分析的“面積”單元整體教學(xué)——促進單元核心概念理解的課例設(shè)計［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（4）：12-15．