摘 要：帶權(quán)集合覆蓋問(wèn)題（WSCP）是一個(gè)著名的NP-hard問(wèn)題。為了利用人工蜂群算法（ABC）高效求解帶權(quán)集合覆蓋問(wèn)題，提出了一個(gè)新穎二進(jìn)制ABC（記作nBABC）。在nBABC中，首先提出了隨機(jī)學(xué)習(xí)和繼承性相結(jié)合的全局進(jìn)化算子，以提高算法的全局勘探能力。其次，基于動(dòng)態(tài)調(diào)整策略提出了自適應(yīng)隨機(jī)取反算子，以維持勘探與開(kāi)發(fā)的平衡。在借鑒近似算法的思想提出處理WSCP不可行解的修復(fù)算法WSCP-GRA和優(yōu)化算法WSCP-GOA的基礎(chǔ)上，利用nBABC給出了求解WSCP的一個(gè)新方法。為了驗(yàn)證nBABC求解WSCP的高效性，利用它求解OR-Library中45個(gè)WSCP實(shí)例，與多個(gè)算法的比較表明：nBABC能夠求得所有實(shí)例的最優(yōu)值，比已有求解WSCP的算法更具競(jìng)爭(zhēng)力。

關(guān)鍵詞：演化算法；帶權(quán)集合覆蓋問(wèn)題；二進(jìn)制人工蜂群算法；隨機(jī)學(xué)習(xí)機(jī)制；修復(fù)與優(yōu)化

中圖分類(lèi)號(hào)：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1001-3695（2024）09-022-2722-10

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2024.01.0015

Novel binary artificial bee colony algorithm for solving weighted set covering problem

Sun Feia，He Yichaoa，b，c，Zhang Hansonga，Li Minglianga，c，Wang Linaa，Gao Zexiana

（a.College of Information Technology，b.Hebei Key Laboratory of Optoelectronic Information & Geo-detection Technology，c.Intelligent Sensor Network Engineering Research Center of Hebei Province，Hebei GEO University，Shijiazhuang 050031，China）

Abstract：The weighted set covering problem（WSCP）is a famous NP-hard problem.In order to solve the WSCP efficiently by using artificial bee colony algorithm（ABC），this paper proposed a novel binary ABC（nBABC）.In nBABC，it proposed a global evolution operator which combined random learning and inheritance to improve the global exploration ability of the algorithm.Secondly，based on the dynamic adjustment strategy，it proposed an adaptive random inversion operator to maintain the balance between exploration and development.Based on the idea of approximate algorithm，it proposed the repair algorithm WSCP-GRA and optimization algorithm WSCP-GOA for dealing with the infeasible solution of WSCP，on the basis of which a new method for solving WSCP was given by using nBABC.In order to verify the efficiency of nBABC in solving WSCP，using it to solve 45 WSCP instances in OR-Library.The comparison with several algorithms shows that nBABC can obtain the optimal values of all instances，which is more competitive than the existing algorithms for solving WSCP.

Key words：evolutionary algorithms;weighted set covering problem;binary artificial bee colony algorithm;random learning mechanism;repair and optimization

0 引言

帶權(quán)集合覆蓋問(wèn)題（weighted set cover problem，WSCP）［1］是一個(gè)經(jīng)典的NP-hard問(wèn)題，也是一個(gè)著名的組合優(yōu)化問(wèn)題，在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、測(cè)試集優(yōu)化和故障診斷等［2］領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。目前，求解WSCP的算法分為精確算法和非精確算法兩類(lèi)。精確算法主要包括割平面法、分支限界法、拉格朗日法。由于不存在求解WSCP的多項(xiàng)式時(shí)間精確算法，隨著實(shí)例規(guī)模的增加，精確算法的耗時(shí)極速增長(zhǎng)，不適用于求解大規(guī)模WSCP實(shí)例。

求解WSCP的非精確算法主要包括近似算法［3～7］和演化算法［8～17］，它們都具有多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度。近似算法雖然不能保證求得最優(yōu)解，但能夠在較短的時(shí)間內(nèi)獲得一個(gè)相對(duì)滿意的近似解。例如：Peleg等人［3］基于隨機(jī)舍入技術(shù)提出了求解WSCP的一個(gè)近似算法；Chvatal［4］基于啟發(fā)式貪心策略提出了近似比為ln（m）+1的近似算法（m是WSCP中的元素個(gè)數(shù)）；Ohlsson等人［5］基于平均場(chǎng)反饋過(guò)程人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提出了一種有效近似算法MF，該算法將近似比控制在幾個(gè)百分點(diǎn)以內(nèi)；Haddadi［6］基于拉格朗日啟發(fā)式算法提出了一種求解WSCP的近似算法LHSCP；陳端兵等人［7］基于啟發(fā)式貪心算法和隨機(jī)跳坑策略，提出了一種求解WSCP的有效近似算法CGRA。雖然近似算法的求解速度很快，但是它們的求解結(jié)果欠佳，不足以滿足實(shí)際應(yīng)用的要求。

演化算法具有適應(yīng)性好、魯棒性強(qiáng)和易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì)，利用演化算法求解WSCP已成為研究的熱點(diǎn)。例如，Beasley等人［8］引入了修補(bǔ)算子和貪心策略處理WSCP的不可行解，基于遺傳算法提出了求解WSCP的有效算法（記作BeGA）。BeGA不僅穩(wěn)定性強(qiáng)，而且求解效果很好。陳亮等人［9］基于遺傳算法提出了一個(gè)求解WSCP的可行方法，并利用4個(gè)WSCP實(shí)例驗(yàn)證了所給方法的可行性。吳志勇等人［10］建立了WSCP的一種數(shù)據(jù)約簡(jiǎn)方法，基于二階段遺傳算法提出了求解WSCP的一種有效算法TSGA。Lessing等人［11］基于不同策略提出了多個(gè)啟發(fā)式信息更新方式，探討了利用蟻群優(yōu)化（ACO）求解WSCP的可行性。類(lèi)似地，Ren等人［12］提出了利用ACO求解WSCP的一種可行方法。Crawford等人［13～15］分別探討基于二進(jìn)制教學(xué)優(yōu)化算法、二進(jìn)制螢火蟲(chóng)算法和二元入侵雜草優(yōu)化求解WSCP的可行性。Lanza-Gutierrez等人［16］提出了二進(jìn)制貓群優(yōu)化BCSO，并利用它給出了一個(gè)求解WSCP的有效方法。最近，Crawford等人［17］基于二進(jìn)制猴群搜索提出了求解WSCP的一個(gè)新算法IBMSAV，該算法的求解結(jié)果較好。

基于不同的靈感與思想，學(xué)者們相繼提出了許多優(yōu)秀的演化算法，例如粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）［18］、差分演化（differential evolution，DE）［19］和人工蜂群算法（artificial bee colony，ABC）［20］等，并將它們成功應(yīng)用于求解組合優(yōu)化問(wèn)題。因此，如何利用它們高效地求解WSCP是一個(gè)值得探討的問(wèn)題。其次，如何有效地處理不可行解，是利用演化算法求解WSCP的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。然而，目前還缺少普遍且有效地處理WSCP不可行解的方法，這值得研究與探討。為此，本文首先提出了一個(gè)新穎二進(jìn)制ABC（記作nBABC），然后借鑒近似算法的思想，提出處理不可行解的一個(gè)修復(fù)算法與一個(gè)優(yōu)化算法；在此基礎(chǔ)上，利用nBABC給出了一個(gè)求解WSCP的新的高效方法。

1 背景知識(shí)

1.1 集合覆蓋問(wèn)題

WSCP描述為：給定一個(gè)含有m個(gè)元素的集合U={u1，u2，…，um}和U的子集族S={S1，S2，…，Sn}，∪S=U；每一個(gè)Si都具有一個(gè)非負(fù)權(quán)重ci，滿足SiU且Si≠（i=1，2，…，n）。WSCP的目標(biāo)是求一個(gè)S*S，使得∪S*=U且∑Sj∈S*cj最小。

4 仿真計(jì)算與比較

4.1 計(jì)算環(huán)境與測(cè)試用例

本文所有仿真計(jì)算使用的微型計(jì)算機(jī)為Dell G15筆記本，硬件配置為11th Gen IntelCoreTMi5-11260H CPU-2.61 GHz RAM 16 GB（15.7 GB可用），操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 11。所有算法均采用C語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)，編譯環(huán)境為Visual Studio 2019。使用Python語(yǔ)言在Jupyter Notebook（Anaconda）環(huán)境下繪制小提琴圖、折線圖、柱狀圖、收斂曲線圖和Friedman秩和檢驗(yàn)圖［37］。

仿真計(jì)算用例為OR-Library中的45個(gè)WSCP實(shí)例，它們依照矩陣規(guī)模和density（密度：矩陣中非零元素的百分比）分為7組，詳細(xì)信息如表1所示。WSCP實(shí)例的命名規(guī)則為：SCPa.b，其中a表示實(shí)例集編號(hào)，b表示該實(shí)例在實(shí)例集中的序號(hào)。例如，實(shí)例SCP5.8表示實(shí)例集5中的第8個(gè)WSCP實(shí)例，它的規(guī)模為m×n=200×2000，density=2%。所有45個(gè)實(shí)例的具體數(shù)據(jù)可從http：//mscmga.ms.ic.ac.uk/info.html下載。

4.2 nBABC算法參數(shù)

為了確定nBABC的全局進(jìn)化算子中參數(shù)r的值，利用nBABC獨(dú)立求解SCP4.4、SCP5.2、SCP6.3、SCPA.2、SCPB.2、SCPC.3和SCPD.2等實(shí)例各10次，根據(jù)計(jì)算結(jié)果確定r的合理取值。圖3給出了r取5個(gè)代表性值0.1、0.3、0.5、0.7和0.9時(shí)，nBABC計(jì)算各實(shí)例10次所得最好結(jié)果的小提琴圖，從中不難看出，當(dāng)r取值0.3時(shí)，nBABC的求解性能最佳。

用類(lèi)似上述的方法可以確定nBABC的全局進(jìn)化算子中參數(shù)rf的最佳取值為0.7；基于動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的自適應(yīng)隨機(jī)取反算子中參數(shù)a1=0.1，b1=0.6，a2=0.01，b2=0.6時(shí)，nBABC的性能最佳。

綜上，在表2中給出了nBABC的參數(shù)取值，其中N為種群的規(guī)模，MIT為迭代次數(shù)，limit為蜜源轉(zhuǎn)換為偵察蜂的閾值，r和rf為具有隨機(jī)學(xué)習(xí)與繼承的全局進(jìn)化算子中的參數(shù)，a1、b1、a2、b2為基于動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的自適應(yīng)隨機(jī)取反算子中的參數(shù)。

4.3 比較指標(biāo)

為了闡明nBABC求解WSCP的高效性，首先將它與5個(gè)優(yōu)秀的二進(jìn)制人工蜂群算法NBABC［30］、BitABC［32］、IbinABC［33］、KBABC［34］和HBABC［35］求解45個(gè)WSCP實(shí)例的結(jié)果進(jìn)行比較。其他5個(gè)二進(jìn)制人工蜂群算法與nBABC一樣，均使用WSCP-GRA和WSCP-GOA處理WSCP的不可行解。其次，將nBABC與7個(gè)求解WSCP的先進(jìn)算法MF［5］、LHSCP［6］、CGRA［7］、BeGA［8］、TSGA［10］、BCSO［16］、IBMSAV［17］的求解結(jié)果進(jìn)行比較。

表3給出了所有13個(gè)算法的參數(shù)設(shè)置，其中N為種群規(guī)模，MIT為迭代次數(shù)，RT為每個(gè)算法獨(dú)立計(jì)算各實(shí)例的次數(shù)。由于MF、LHSCP、CGRA是近似算法，不涉及參數(shù)N與MIT，這3個(gè)算法的N、MIT指標(biāo)用“—”標(biāo)出。各算法的參數(shù)含義請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)［5～8，10，16，17，30，32～35］，不再贅述。

4.4 與其他二進(jìn)制人工蜂群算法的比較

表4給出了nBABC與NBABC、BitABC、IbinABC、KBABC、HBABC求解45個(gè)WSCP實(shí)例的計(jì)算結(jié)果，其中Opt是實(shí)例的最優(yōu)值，Best為各算法在10次計(jì)算中求得各實(shí)例的最好值，Mean是平均值，當(dāng)Best或Mean等于Opt時(shí)加粗表示。

為了比較nBABC與NBABC、BitABC、IbinABC、KBABC、HBABC獲得Best的優(yōu)劣，令#Opt表示上述6種算法求解45個(gè)WSCP實(shí)例所能獲得Opt的實(shí)例個(gè)數(shù)。從表5中可以看出：nBABC能求得所有WSCP實(shí)例的Opt，是BitABC的1.41倍，是NBABC的2.81倍，是IbinABC的4.10倍，是HBABC的11.25倍，是KBABC的15倍。以上比較結(jié)果說(shuō)明，nBABC在求得Opt方面比其他的二進(jìn)制ABC均優(yōu)。

眾所周知，平均性能是衡量演化算法的一個(gè)重要指標(biāo)。因此根據(jù)nBABC與NBABC、BitABC、IbinABC、KBABC、HBABC求得45個(gè)WSCP實(shí)例的Mean值，在圖4中利用Friedman秩和檢驗(yàn)［37］進(jìn)一步比較了四個(gè)算法的平均性能。從圖4中可以看出，nBABC的平均性能最佳，其次是BitABC，并且明顯優(yōu)于NBABC、IbinABC、KBABC和HBABC。

在圖5中，給出了nBABC與NBABC、BitABC、IbinABC、KBABC、HBABC求解45個(gè)WSCP實(shí)例的Std的直方圖?？梢钥闯觯簄BABC的Std值遠(yuǎn)小于NBABC、IbinABC、KBABC和HBABC，略優(yōu)于BitABC。由此說(shuō)明，nBABC是這6個(gè)二進(jìn)制ABC算法中穩(wěn)定性最佳的。

為了比較nBABC與NBABC、BitABC、IbinABC、KBABC、HBABC的收斂速度，在圖6中給出了它們求解7個(gè)隨機(jī)選取的WSCP實(shí)例SCP4.2、SCP5.9、SCP6.5、SCPA.1、SCPB.4、SCPC.3和SCPD.4的平均收斂曲線。可以看出：nBABC的收斂速度明顯優(yōu)于NBABC、BitABC、IbinABC、KBABC、HBABC，這說(shuō)明nBABC不僅求解結(jié)果是最好的，而且收斂速度也是最快的。

根據(jù)上述比較可得結(jié)論：在求解WSCP時(shí)，nBABC的計(jì)算結(jié)果不僅遠(yuǎn)優(yōu)于NBABC、BitABC、IbinABC、KBABC、HBABC，而且其穩(wěn)定性、收斂速度也是最佳的。這表明在已有的二進(jìn)制ABC算法中，nBABC是最適用于求解WSCP的。

4.5 與求解WSCP的先進(jìn)演化算法的比較

為了闡明nBABC求解WSCP的高效性能，利用nBABC求解45個(gè)WSCP實(shí)例，并與7個(gè)求解WSCP的先進(jìn)算法MF、LHSCP、CGRA、BeGA、TSGA、BCSO、IBMSAV進(jìn)行比較。計(jì)算結(jié)果如表6所示，由于LHSCP、CGRA和TSGA沒(méi)有提供各實(shí)例的Mean，這3個(gè)算法的Mean指標(biāo)用“—”標(biāo)出。

表7統(tǒng)計(jì)了上述8個(gè)算法求解45個(gè)WSCP實(shí)例所能獲得Opt的實(shí)例個(gè)數(shù)。從中可以看出：nBABC能求得所有WSCP實(shí)例的Opt，比BeGA和IBMSAV多1個(gè)；同時(shí)，nBABC求得Opt的實(shí)例個(gè)數(shù)是CGRA的1.36倍，是TSGA的1.45倍，是LHSCP的1.67倍，是BCSO的9倍，甚至是MF的11.25倍。因此，在求得WSCP實(shí)例的最優(yōu)值方面，nBABC是最優(yōu)的。

表8統(tǒng)計(jì)了nBABC、MF、BeGA、BCSO、IBMSAV求解45個(gè)WSCP實(shí)例中Mean等于Opt的個(gè)數(shù)。從中可以看出：nBABC求解27個(gè)WSCP實(shí)例的Mean等于Opt，比BeGA的多1個(gè)，是IBMSAV的1.9倍，是MF的27倍。BCSO不能求得任意實(shí)例的Opt。這說(shuō)明nBABC的平均性能也是最佳的。

在圖7中，利用Friedman秩和檢驗(yàn)［37］對(duì)BCSO、MF、BeGA、IBMSAV和nBABC求解45個(gè)WSCP實(shí)例的平均性能的優(yōu)劣進(jìn)行了排序比較。從圖7中不難看出：五個(gè)算法的平均性能由好到差的順序依次是nBABC>BeGA>IBMSAV>MF>BCSO，這說(shuō)明nBABC的平均性能是最佳的。

為了量化目標(biāo)函數(shù)值Mean與Opt的偏差，基于指標(biāo)RPD=|Mean-Opt|Opt×100%對(duì)nBABC、MF、BeGA、BCSO和IBMSAV進(jìn)行比較。圖8給出了5個(gè)算法求解45個(gè)WSCP實(shí)例的RPD曲線。從中不難看出：nBABC的RPD曲線與BeGA的相差不大，它們都幾乎與X軸重合，明顯好于MF、BCSO和IBMSAV。因此，nBABC的穩(wěn)定性是最佳的。

根據(jù)上述比較可得結(jié)論：對(duì)于WSCP，nBABC求得最優(yōu)解的能力、算法的平均性能與穩(wěn)定性比BeGA略優(yōu)，且遠(yuǎn)優(yōu)于MF、LHSCP、CGRA、TSGA、BCSO和IBMSAV。因此，nBABC比已有求解WSCP的先進(jìn)算法更優(yōu)異，是求解WSCP的最具競(jìng)爭(zhēng)力的算法。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先提出了具有隨機(jī)學(xué)習(xí)和繼承性相結(jié)合的改進(jìn)全局進(jìn)化算子，其次給出了具有動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的自適應(yīng)隨機(jī)取反算子，由此提出了一個(gè)新的二進(jìn)制人工蜂群算法nBABC。為了有效處理基于演化算法求解WSCP時(shí)所產(chǎn)生的不可行解，提出了修復(fù)算法WSCP-GRA和優(yōu)化算法WSCP-GOA，在此基礎(chǔ)上利用nBABC給出了一個(gè)求解WSCP的新方法。通過(guò)與5個(gè)優(yōu)秀的二進(jìn)制人工蜂群算法以及7個(gè)求解WSCP的先進(jìn)算法的比較表明：nBABC不僅求得最優(yōu)解的能力最佳，而且平均性能與穩(wěn)定性也是最優(yōu)的。

為了探究nBABC的實(shí)用性，今后將探討利用它求解無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)覆蓋、路徑規(guī)劃和測(cè)試集優(yōu)化等工程問(wèn)題，進(jìn)一步研究nBABC的進(jìn)化方程與局部?jī)?yōu)化策略，使其成為一個(gè)更高效的離散演化算法。

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收稿日期：2024-01-08

修回日期：2024-03-04

基金項(xiàng)目：河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（F2020403013）；河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（ZD2021016）；河北省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目（22375415D）；河北省研究生創(chuàng)新能力培養(yǎng)資助項(xiàng)目（CXZZSS2014109）

作者簡(jiǎn)介：孫菲（1998—），女，河北邢臺(tái)人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檠莼惴捌鋺?yīng)用；賀毅朝（1969—），男（通信作者），河北晉州人，教授，碩導(dǎo)，主要研究方向?yàn)檠莼惴?、組合優(yōu)化（heyichao@hgu.edu.cn）；張寒崧（1999—），男，河北邯鄲人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檠莼惴ㄅc組合優(yōu)化；李明亮（1976—），男，河北井陘人，教授，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)檠莼惴?、物?lián)網(wǎng)技術(shù)；王麗娜（1999—），女，河北唐山人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檠莼惴捌鋺?yīng)用；高澤賢（1997—），女，河北石家莊人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檠莼惴捌鋺?yīng)用.