摘要： 固體介質(zhì)，如巖石、混凝土、貝殼和多孔材料等均具有細(xì)觀非連續(xù)、宏觀連續(xù)的特性，揭示這種細(xì)觀非連續(xù)性對材料動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律，對于材料設(shè)計(jì)、安全防護(hù)等具有重要意義。從廣義Taylor 公式出發(fā)，推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階定義下的非連續(xù)介質(zhì)的一維波動(dòng)方程，引入等效分?jǐn)?shù)階簡化了控制方程。利用有限差分法得到了控制方程的數(shù)值解，結(jié)果表明：控制方程中的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)越小，計(jì)算得到的波形衰減的程度越大。為了驗(yàn)證方程的可靠性，并進(jìn)一步研究非連續(xù)介質(zhì)的波傳播規(guī)律，在考慮多孔材料、巖石等介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，基于ABAQUS 軟件建立了隨機(jī)多孔介質(zhì)模型。分析發(fā)現(xiàn)：多孔介質(zhì)的波傳播受到介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度、材料屬性和輸入波脈寬的影響，但對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)只與介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度相關(guān)，因此，其可以作為評價(jià)非連續(xù)介質(zhì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的一個(gè)依據(jù)。等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)隨著孔隙率的增加而減小，孔洞相對數(shù)量分布大致相同的情況下，其統(tǒng)計(jì)關(guān)系近似呈線性關(guān)系。研究結(jié)果可為研究多孔材料、貝殼等細(xì)觀非連續(xù)介質(zhì)的波動(dòng)傳播提供新思路。

關(guān)鍵詞： 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；細(xì)觀非連續(xù)；波傳播；有限差分；等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)

中圖分類號： O347.3 國標(biāo)學(xué)科代碼： 13015 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

非連續(xù)介質(zhì)廣泛存在于日常生活中：泡沫鋁、紙蜂窩等多孔材料[1-4] 因具有輕質(zhì)高強(qiáng)、緩沖減震等優(yōu)點(diǎn)，被大量應(yīng)用于航空航天、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域；巖石和土壤內(nèi)部多含裂紋、孔洞等[5-6]；而貝殼、碳納米管纖維、肌肉組織等，雖然空間結(jié)構(gòu)在宏觀上是連續(xù)的，但其細(xì)微觀結(jié)構(gòu)卻是非連續(xù)的[7-8]。

應(yīng)力波在具有非連續(xù)結(jié)構(gòu)的材料中傳播時(shí)會(huì)發(fā)生衰減[9-11]，對具有空間結(jié)構(gòu)特征的材料力學(xué)響應(yīng)的研究[5，11-17] 很多。多孔材料在受到?jīng)_擊時(shí)，其孔隙會(huì)被逐漸壓實(shí)，造成其沖擊過程中的局部密實(shí)化現(xiàn)象[18-19]。Reid 等[12] 最早提出了一維剛性-塑性-鎖定（rigid， perfectly plastic， locking， R-PP-L） 沖擊波模型來描述這種材料在應(yīng)力波作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在此之后，根據(jù)工程環(huán)境中多種復(fù)雜的工況，發(fā)展了更多的本構(gòu)模型，如：理想彈性-理想塑性-剛性（elastic， perfectly-plastic， rigid， E-PP-R） 模型[13]、剛性-非線性塑性硬化（rigid， non-linear plastic hardening， R-NLPH） 模型[14]、率無關(guān)-剛性-塑性硬化（rigid， plastic hardening， RPH）和率相關(guān)-剛性-塑性硬化（dynamic， rigid， plastic hardening， D-R-PH） 模型[15] 等。大量的數(shù)值模擬工作驗(yàn)證了這些模型在解釋多孔材料受到?jīng)_擊時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面的可靠性[19-23]。與上述多孔材料不同，巖石類材料屬于脆性材料，其內(nèi)部多存在裂紋、孔洞等不連續(xù)結(jié)構(gòu)[5-6]。劉永貴等[5] 將巖體裂隙作為內(nèi)邊界處理，研究了巖體內(nèi)部裂紋、孔洞等不連續(xù)結(jié)構(gòu)對彈性波的散射。在此基礎(chǔ)上，徐松林等[16]、譚子翰等[17]討論了巖體中的諧波入射角、裂紋排列方向、孔隙率等對彈性波散射的影響。而貝殼、碳納米管、肌肉組織等材料在宏觀上可以看作連續(xù)結(jié)構(gòu)，但在微觀上具有十分規(guī)律的空間結(jié)構(gòu)特征[7-8，11，24]。例如貝殼珍珠層和碳納米管纖維，其結(jié)構(gòu)均類似磚泥結(jié)構(gòu)，常常用剪滯（shear lag） 模型研究其力學(xué)響應(yīng)[24-25]。

分?jǐn)?shù)階本構(gòu)因具有較強(qiáng)的時(shí)間記憶效應(yīng)，近年來被廣泛應(yīng)用于討論巖土、瀝青等多孔材料的蠕變、松弛特性[26-30] 等。汪成貴等[26] 建立了考慮鈣質(zhì)砂顆粒破碎和狀態(tài)相關(guān)特性的分?jǐn)?shù)階塑性邊界面本構(gòu)模型，能夠模擬不同初始密實(shí)度和圍壓條件下鈣質(zhì)砂三軸排水試驗(yàn)結(jié)果和顆粒破碎影響下的狀態(tài)相關(guān)行為。顏可珍等[29] 利用改進(jìn)的五參數(shù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型較好地表征了瀝青混合料的動(dòng)態(tài)黏彈函數(shù)，如存儲模量、損失模量、相位角、動(dòng)態(tài)模量、損耗因子等。袁良柱等[30] 利用分?jǐn)?shù)階本構(gòu)推導(dǎo)了復(fù)雜介質(zhì)的波傳播控制方程，以此為基礎(chǔ)分析了牡蠣殼微觀結(jié)構(gòu)對波傳播的影響。這些理論在處理材料時(shí)往往將介質(zhì)視為連續(xù)介質(zhì)，再用較復(fù)雜的本構(gòu)模型對其力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行解釋，目前尚缺乏從非連續(xù)角度出發(fā)的理論。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)在處理問題時(shí)，常常應(yīng)用Taylor 展開公式進(jìn)行增量形式的表達(dá)。Zaid 等[31] 根據(jù)Caputo 形式的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)提出了廣義Taylor 公式：

為此，本文中首先從分?jǐn)?shù)階定義的廣義Taylor 公式出發(fā)，推導(dǎo)一維非連續(xù)介質(zhì)的彈性波傳播方程，利用有限差分法得到其數(shù)值解。然后，基于多孔泡沫和巖石等材料的結(jié)構(gòu)特征，利用ABAQUS 建立隨機(jī)多孔數(shù)值模型，分析介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度、材料屬性和輸入波脈寬對介質(zhì)波傳播的影響。最后，配合有限差分法定量分析等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)與介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度、材料屬性和輸入波脈寬的具體關(guān)系。

1 控制方程

1.1 廣義Taylor 公式

對于連續(xù)介質(zhì)來說，在考察其微元體x+dx 處的物理量ψ（x+dx）（ψ 為任一物理量，如應(yīng)力σ、位移u 和速度v 等）時(shí)，通?？紤]用Taylor 公式的前兩項(xiàng)來得到，即：

ψ"（x+dx） =ψ" （x）+ψ ′ （x） dx （2）

對于非連續(xù)介質(zhì)來說，由于其空間結(jié)構(gòu)的非連續(xù)性，經(jīng)典Taylor 展開公式不再滿足。Zaid 等[31] 根據(jù)Caputo 形式的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)提出了廣義Taylor 公式，取式（1） 的前兩項(xiàng)，則非連續(xù)介質(zhì)微元體x+dx 處的物理量ψ（x+dx） 可表示為：

1.2 一維細(xì)觀非連續(xù)介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)方程

如圖1 所示的半無限長非連續(xù)介質(zhì)，其左端受外力σ0。在不考慮其橫向應(yīng)力、變形等，將其作為一維問題考慮的情況下，取x 處的微元體，則t 時(shí)刻微元體左、右兩側(cè)的應(yīng)力分別為σ（x，t） 和σ（x+dx，t）。根據(jù)牛頓第二定律，應(yīng)有：

式中：Δt 為時(shí)間步長。

2.2 一維細(xì)觀非連續(xù)介質(zhì)中的波動(dòng)傳播

方程（13） 表明了非連續(xù)介質(zhì)的波傳播與等效分?jǐn)?shù)階階數(shù) 有關(guān)，圖3 為 分別等于0.999、0.900 和0.800 時(shí)，波傳播至0.05、0.10 和0.15 m 處的波形，其中，輸入的邊界條件為幅值為100 MPa、脈寬為100 μs的單脈寬正弦波， 和 的數(shù)值分別取為2 700 kg/m2+α 和70 kg/（m2?α·s2）。

從圖3（a） 可以看出，當(dāng) ＜1 時(shí)，應(yīng)力波的幅值會(huì)隨著傳播距離的增大發(fā)生明顯的衰減，應(yīng)力波的脈寬隨著傳播距離的增大而變大，這符合波在非連續(xù)介質(zhì)中的傳播規(guī)律[9]。當(dāng) 逐漸變小時(shí)，波的衰減程度變得更加劇烈，通過圖3（b） 的頻率分析可知，高頻波和低頻波均有損耗，即波在非連續(xù)介質(zhì)中傳播時(shí)，各頻率的波均會(huì)反射一部分，使得非連續(xù)介質(zhì)中波的幅值會(huì)發(fā)生衰減。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，各個(gè) 計(jì)算得到的高頻波衰減的程度明顯高于低頻波，使得非連續(xù)介質(zhì)中波的脈寬會(huì)變大。

在圖 3（a） 中，當(dāng)ˉα=0.999 時(shí)，波在傳播過程中幾乎不會(huì)發(fā)生變化，注意到當(dāng) ˉα=1.0 時(shí)，方程（13） 變?yōu)橄率街械膹椥圆▊鞑シ匠蹋?/p>

即ˉα =1.0 對應(yīng)了連續(xù)介質(zhì)的波傳播。

3 細(xì)觀多孔介質(zhì)的波傳播規(guī)律

3.1 有限元模型

為了分析等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)與介質(zhì)非連續(xù)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，利用ABAQUS/ EXPLICIT 建立了如圖4（a）所示的二維有限元模型（finite element model，F(xiàn)EM）。模型由輸入桿、輸出桿和試樣三個(gè)部分組成，其中輸入桿、輸出桿為長1 500 mm、高50 mm 的細(xì)長桿，試樣為由多種大小孔洞（直徑分別為10、4 和1 mm 三種尺寸的孔洞）組成的多孔結(jié)構(gòu)（長度可變、高50 mm），通過改變孔洞的數(shù)量可獲得不同細(xì)觀非連續(xù)程度的介質(zhì)。模型中，試樣由大約40 000 個(gè)以上的S4R 殼單元（單元邊長為0.2 mm）組成，材料采用簡單的線彈性本構(gòu)，即密度為2 700 kg/m3、模量為70 GPa。輸入桿、輸出桿和試樣的材料屬性設(shè)置為同一種材料，并將輸入桿、輸出桿和試樣綁定，以避免由于桿和試樣材料屬性不同帶來的波的反射。

設(shè)定輸入波為幅值100 MPa、脈寬100 μs 的半脈寬正弦波。本文中，輸入波形取離試樣500 mm 處的單元進(jìn)行監(jiān)測，由于試樣內(nèi)部孔洞的隨機(jī)分布，波在傳到輸出桿時(shí)，沿著桿的橫截面的應(yīng)力是非均勻分布的，因此，輸出波形統(tǒng)一地取離試樣50 mm 后界面上所有單元的波形再平均得到。圖4（b） 顯示了孔隙率為11.03%，長度分別為0.05、0.10 和0.15 m 的試樣的波形，分?jǐn)?shù)階密度和模量分別取為2 700 kg/m2+α和70 kg/（m2?α·s2），通過波形對比可以確定其對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)為0.95，數(shù)值模擬和理論計(jì)算的波形重合度良好（數(shù)值模擬中波形下降沿之后出現(xiàn)的波動(dòng)來自于桿的橫向慣性效應(yīng)），表明空間結(jié)構(gòu)相同的多孔介質(zhì)對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)是相同的。

3.2 孔隙率對波傳播的影響

孔隙率P 是塊狀材料中孔隙體積與材料在自然狀態(tài)下總體積的百分比，它是評價(jià)介質(zhì)密實(shí)程度的一個(gè)重要指標(biāo)。改變孔洞數(shù)量，得到孔隙率分別為11.03%、26.06%、43.46% 和60.83% 的試樣，如圖5（a） 所示，同樣設(shè)定輸入波為幅值100 MPa、脈寬100 μs 的半脈寬正弦波，相應(yīng)的波形如圖5（b） 所示。隨著孔隙率的增加，介質(zhì)的細(xì)觀非連續(xù)程度增大，對應(yīng)的波形幅值減小、脈寬增大。這4 種孔隙率對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)分別為0.95、0.85、0.70、0.60，數(shù)值模擬和理論計(jì)算的結(jié)果對比如圖5 （b） 所示。值得注意的是，圖5（a） 中介質(zhì)的內(nèi)部孔洞實(shí)際上是非均勻分布的，其分?jǐn)?shù)階階數(shù)沿其長度方向也是非均勻的。當(dāng)介質(zhì)的孔隙率較?。紫堵蕿?1.03%、26.06%）時(shí)，介質(zhì)內(nèi)部孔洞對波傳播的影響較小，理論計(jì)算的結(jié)果與模擬結(jié)果一致性較好；當(dāng)介質(zhì)的孔隙率較大（孔隙率為43.46%、60.83%）時(shí)，介質(zhì)內(nèi)部孔洞對波傳播的影響顯著，其非均勻分布的作用不可忽略，理論計(jì)算結(jié)果也與模擬結(jié)果在下降沿段出現(xiàn)差異。觀察圖5（b） 中孔隙率與等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階階數(shù)是隨著介質(zhì)孔隙率的增大而減小的，這表明等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)可以在一定程度上反映非連續(xù)介質(zhì)的空間結(jié)構(gòu)特性。

在孔隙率相同的情況下，各個(gè)尺寸的孔洞在介質(zhì)中的分布差異也會(huì)帶來波傳播情況的不同。當(dāng)孔隙率較小時(shí)，波的衰減程度很小，因此，孔洞分布對波衰減的作用還不明顯，當(dāng)孔隙率較大時(shí)，這種由于孔洞分布引起的結(jié)構(gòu)差異開始對波形產(chǎn)生影響。圖6 顯示了不同孔隙率下、不同孔洞分布的介質(zhì)波傳播的波形，不同孔隙率下的波形均因孔洞分布的不一致產(chǎn)生差異，并且隨著孔隙率的升高，這種差異越來越明顯，但與之相對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)的差異不大。

為進(jìn)一步分析孔洞分布不均對波傳播的影響，對5 種不同孔隙率（19.58%、30.83%、39.25%、43.27% 和58.84%）下均勻分布孔洞的細(xì)觀模型進(jìn)行了數(shù)值模擬，波傳播的波形及其對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階階數(shù)如圖7 所示。對比圖5 和圖7 可以發(fā)現(xiàn)，孔隙分布不均會(huì)對輸出波形結(jié)果產(chǎn)生影響，在同樣的孔隙率下，均勻分布孔隙輸出的波形比隨機(jī)分布孔隙輸出的波形衰減更小。理論模型和數(shù)值模擬結(jié)果下降沿的偏差，隨機(jī)分布孔洞出現(xiàn)在孔隙率為43.46% 時(shí)，均勻分布孔洞出現(xiàn)在孔隙率為58.84% 時(shí)，因此，高孔隙率下理論模型和數(shù)值模擬結(jié)果的偏差一部分來自于細(xì)觀數(shù)值模型非均勻分布的影響。另一方面，由于試樣內(nèi)部孔洞的不均勻分布，其分?jǐn)?shù)階階數(shù)沿長度方向是不均勻的，即使是均勻分布孔隙的數(shù)值模型，其分?jǐn)?shù)階階數(shù)也并不是處處相等，因此，高孔隙率下理論模型和數(shù)值模擬結(jié)果偏差的另一部分來自于理論模型分?jǐn)?shù)階階數(shù)均勻化的影響。

為了探討孔隙率與等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)的具體關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了多種孔隙率下對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)，如表1 所示，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系如圖8 所示，細(xì)觀多孔介質(zhì)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)近似與介質(zhì)的孔隙率成線性關(guān)系，通過擬合可以得到其具體關(guān)系為：

-α = -0：65P+1 （18）

式中：P 為孔隙率，ˉα為孔隙率對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)。相較于隨機(jī)分布的細(xì)觀多孔介質(zhì)，孔隙率不同的均勻分布的細(xì)觀多孔介質(zhì)的分?jǐn)?shù)階階數(shù)與孔隙率之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系整體向上偏移，表明非均勻結(jié)構(gòu)對波的衰減作用要高于均勻分布的結(jié)構(gòu)。當(dāng)孔隙率較大時(shí)，由于孔洞分布不均勻，因此產(chǎn)生的波形差異較大，對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)差異也較大，因此式（18） 不適用于孔隙率較大的情況。此外，當(dāng)孔隙率達(dá)到73.80% 時(shí)，對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)約為0.50，此時(shí)，數(shù)值模擬和理論計(jì)算的波形也出現(xiàn)了較大的偏差。

3.3 材料屬性和輸入波脈寬對波傳播的影響

材料屬性是影響介質(zhì)力學(xué)響應(yīng)的重要物理參數(shù)。為研究材料屬性對于非連續(xù)介質(zhì)波傳播的影響，選取了4 種材料（鋼、鋁、銅和環(huán)氧樹脂）進(jìn)行數(shù)值模擬，其材料參數(shù)見表2。采用相同的試樣（孔隙率為43.46%） 進(jìn)行模擬以避免介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度帶來的影響，同樣設(shè)定輸入波為幅值100 MPa、脈寬100 μs 的半脈寬正弦波，得到波傳播至0.05 m 處的波形，如圖9 所示。由圖9 可知，材料屬性對波在非連續(xù)介質(zhì)中的傳播會(huì)產(chǎn)生影響，呈現(xiàn)波速越小，波衰減程度越大的趨勢。

輸入波的頻率或者說脈寬是影響非連續(xù)介質(zhì)波傳播的一個(gè)重要因素[5，16-17]。選取50、100 和200 μs等3 種脈寬的輸入波進(jìn)行模擬，同樣地，采用相同的試樣（孔隙率為43.46%） 進(jìn)行模擬以避免介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度帶來的影響，同樣設(shè)定輸入波為幅值100 MPa、脈寬100 μs 的半脈寬正弦波，得到了波傳播至0.05 m 處的波形，如圖10 所示。由圖10 可知，輸入波的脈寬對波的傳播會(huì)有影響，脈寬越小，波衰減的程度越大，但對于3 種脈寬的輸入波，其對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)相同。

圖9～10 說明了材料屬性和輸入波脈寬均會(huì)對波在非連續(xù)介質(zhì)中的傳播產(chǎn)生影響，但介質(zhì)對應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)與材料屬性和輸入波關(guān)系較小，在相同的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)下，計(jì)算得到的波形與模擬得到的波形相匹配，說明細(xì)觀多孔介質(zhì)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)只與介質(zhì)的細(xì)觀非連續(xù)程度相關(guān)。

4 結(jié) 論

從分?jǐn)?shù)階定義的廣義Taylor 公式出發(fā)，推導(dǎo)了一維細(xì)觀非連續(xù)介質(zhì)中的波傳播控制方程，利用有限差分法得到了控制方程的數(shù)值解，基于ABAQUS 軟件建立的二維隨機(jī)多孔數(shù)值模型驗(yàn)證了所建立方程分析問題的可靠性，以此為基礎(chǔ)研究了孔隙率、材料屬性和輸入波脈寬等因素對細(xì)觀多孔介質(zhì)波傳播的影響，建立了控制方程中的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)與孔隙率之間的聯(lián)系，得到的主要結(jié)論如下。

（1） 得到了一維細(xì)觀非連續(xù)介質(zhì)中的波傳播控制方程?？刂品匠讨械牡刃Х?jǐn)?shù)階階數(shù)等于1.0 時(shí)，對應(yīng)著連續(xù)介質(zhì)的波傳播，小于1.0 時(shí)，對應(yīng)著空間非連續(xù)介質(zhì)的波傳播。

（2） 非連續(xù)介質(zhì)的波傳播與介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度、材料屬性和輸入波脈寬相關(guān)，具體表現(xiàn)為介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度越高、材料波速越小、輸入波脈寬越大，應(yīng)力波幅值衰減越厲害。

（3） 控制方程中的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)與介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度有關(guān)，與材料屬性和輸入波脈寬無關(guān)。以孔隙率作為評價(jià)介質(zhì)細(xì)觀非連續(xù)程度的標(biāo)準(zhǔn)，孔隙率越大，應(yīng)力波幅值衰減得越厲害，相應(yīng)的等效分?jǐn)?shù)階階數(shù)也越小?？紫堵屎偷刃Х?jǐn)?shù)階階數(shù)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系近似為線性關(guān)系。

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（責(zé)任編輯 曾月蓉）

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金 （11672286， 11872361）；高壓物理與地震科技聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室室開放基金 （2019HPPES01）；中石油與中科院重大戰(zhàn)略合作項(xiàng)目（2015A-4812）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（WK2480000008）