摘要：思政教育是培養(yǎng)社會(huì)主義接班人的必要條件，課程思政在育人方面效果顯著。在新時(shí)代背景下，結(jié)合近幾年的熱點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)案例將思政元素和概率統(tǒng)計(jì)中的知識(shí)點(diǎn)相融合。使學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)，兼顧道德品質(zhì)教育，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；思政元素；教學(xué)案例

中圖分類(lèi)號(hào)：G4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.20.083

0引言

高校立身之本在于立德樹(shù)人。2020年5月教育部發(fā)布了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，為課程思政指明了方向。

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基礎(chǔ)學(xué)科，其應(yīng)用普及很多領(lǐng)域，也是學(xué)習(xí)其他課程的工具。概率統(tǒng)計(jì)中很多知識(shí)與我們的生活聯(lián)系緊密，里面的思政元素可深入挖掘。那么，如何將思政教育潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地引入到概率統(tǒng)計(jì)的課堂中，是新時(shí)代教育工作者和研究者面臨的一個(gè)重要課題。我們可以結(jié)合生活中發(fā)生的一些熱點(diǎn)問(wèn)題，將其和課堂上的知識(shí)點(diǎn)融合起來(lái)。近幾年，許多學(xué)者探究了概率統(tǒng)計(jì)課程中的思政元素。下文將以案例的形式將思政元素融入到概率統(tǒng)計(jì)中。

1概率統(tǒng)計(jì)的思政案例

1.1生命起源案例（概率的定義）

良好的開(kāi)端是成功的一半。第一堂課時(shí)，可以給學(xué)生介紹概率統(tǒng)計(jì)的起源和發(fā)展，自然地引入生命的起源問(wèn)題。我們知道地球上曾經(jīng)有過(guò)億萬(wàn)種生物，出現(xiàn)過(guò)五次大滅絕，只有人類(lèi)是目前極少數(shù)數(shù)量仍在不斷增長(zhǎng)的物種之一。接著，我提出了一個(gè)問(wèn)題：“進(jìn)化成人類(lèi)的概率是多大？”這個(gè)問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生的搶答，10-12！這么渺小的概率發(fā)生在我們身上，是多么的令我們感到幸運(yùn)??！因此，我們更應(yīng)該珍視自己的生命，熱愛(ài)生活。但是甲流、支原體肺炎、呼吸道合胞病毒等以及日本核廢水的排放等事件，學(xué)生立刻體會(huì)到了生命的脆弱，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生珍愛(ài)生命、敬畏生命，以及熱愛(ài)大自然的品質(zhì)。

2.2“狼來(lái)了”案例（貝葉斯公式的應(yīng)用）

在講貝葉斯公式時(shí)，此知識(shí)點(diǎn)有一定難度，公式比較繁瑣，例題比較晦澀，很多同學(xué)學(xué)完以后也是一知半解，時(shí)間一長(zhǎng)就忘記了。課堂上，我們引入伊索寓言里面的《狼來(lái)了》的故事。寓言中，隨著放羊娃說(shuō)謊次數(shù)的增加，村民們對(duì)他的信任度也隨之一步步的下降，以至于最后放羊娃無(wú)論怎么呼喚也沒(méi)有人來(lái)救他。下面我們從概率的角度來(lái)討論放羊娃的信譽(yù)是怎么下降的。

不妨設(shè)，A={放羊娃可信}，B={放羊娃說(shuō)謊}，村民以前對(duì)放羊娃印象P（A）=0.82，則不可信的概率P（A）=0.18。

如果放羊娃可信的話，其說(shuō)謊概率就小一些，反之說(shuō)謊概率就大一些。我們假設(shè)P（B|A）=0.11，P（B|A）=0.5

P（A|B）為放羊娃第一次說(shuō)謊后，村民對(duì)他的信任程度，

則P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=0.82×0.110.82×0.11+0.18×0.5=0.501

通過(guò)計(jì)算得出村民第一次被欺騙后，對(duì)放羊娃的信任程度由原來(lái)的0.82下降為0.501。

接著我們?cè)俅斡?jì)算，此時(shí)的P（A）為0.501，P（A）為0.499，則

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.501×0.110.501×0.11+0.499×0.5=0.181

放羊娃第二次說(shuō)謊后，信任度由0.501變成0.181，所以當(dāng)狼真的來(lái)了，放羊娃再次呼救時(shí)，基本沒(méi)有人相信他了。

下面計(jì)算出放羊娃連續(xù)四次說(shuō)謊后的信任度，見(jiàn)表1。

從表1看出，放羊娃連續(xù)兩次說(shuō)謊信任度就從0.82下降到0.181，連續(xù)四次說(shuō)謊后，信任度大幅度降低，只有0.0106。這個(gè)案例的引入讓學(xué)生在領(lǐng)會(huì)抽象公式的同時(shí)，懂得做人要有誠(chéng)信的道理。在講解案例的同時(shí)再引入當(dāng)下的網(wǎng)貸問(wèn)題，告訴同學(xué)們信用卡的使用要有計(jì)劃，做到按期還款，積累個(gè)人信任度。緊接著，深挖德育內(nèi)涵，“誠(chéng)信”是我們中華民族的傳統(tǒng)美德，古有“商鞅立木建信”“曾子殺豬”，在新時(shí)代下，誠(chéng)信更是我們的立身之本，也是社會(huì)主義核心價(jià)值觀之一。

2.3驗(yàn)血案例（數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用）

對(duì)某種疾病進(jìn)行篩查，現(xiàn)要檢驗(yàn)N個(gè)人的血，有兩種方案可供選擇。

一、逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)N次。

二、k人一組混檢。將這k個(gè)人的血液混合放進(jìn)一個(gè)試劑盒檢驗(yàn)：檢驗(yàn)出來(lái)若是陰性，此時(shí)結(jié)束，只要檢驗(yàn)這一次即可；若是陽(yáng)性，就把這k個(gè)人的血液分別放入k個(gè)不同試劑盒再次檢測(cè)，此時(shí)共檢驗(yàn)了k+1次。

現(xiàn)設(shè)每個(gè)人檢測(cè)結(jié)果是陽(yáng)性的概率為p，且每個(gè)人的檢測(cè)是相互獨(dú)立的。那么，方法二是否能減少驗(yàn)血次數(shù)？如果減少的話，k取何值時(shí)最優(yōu)？

現(xiàn)考慮方法二，X——每人需檢驗(yàn)的次數(shù)，則X的分布列為：

X1k1+1k

p（1-p）k1-（1-p）k

每人平均需要檢驗(yàn)的次數(shù)是：

E（X）=1k（1-p）k+（1+1k）［1-（1-p）k］=1-（1-p）k+1k

設(shè)f（k）為每人平均減少的驗(yàn)血次數(shù)，

則f（k）=1-E（X）=1-［1-（1-p）k+1k］=（1-p）k-1k。

所以，當(dāng)1-E（X）<0，即（1-p）k>1k的時(shí)候，方法二能減少驗(yàn)血工作。

我們?nèi)=0.01，k=5，假設(shè)檢驗(yàn)人數(shù)為10000，則減少的次數(shù)為［（1-0.01）5-15］10000≈7510。

下面對(duì)p取不同的值來(lái)討論，分別取p=0001，001，005和01，k=2，3，4，…70，繪制圖形如圖1。

由圖1可以看出，對(duì)于不同的p，k∈（5，10）時(shí)，減少的次數(shù)基本達(dá)到了峰值。由此聯(lián)想到體檢時(shí)，有些疾病的檢查就是10人一組。課堂上還可以讓學(xué)生討論，方法二是否一定比方法一好？當(dāng)p的值較大的時(shí)候又如何解決？學(xué)生可以分組合作，用軟件畫(huà)圖解決這個(gè)問(wèn)題，這樣記憶更加深刻。

學(xué)生用所學(xué)知識(shí)尋找到最佳方案，減少實(shí)際支出，不僅能更好地理解課堂所講內(nèi)容，與此同時(shí)還得到了思政教育。

2.4水滴石穿案例（小概率問(wèn)題）

現(xiàn)設(shè)水滴每秒一次滴在石頭上，事件A為“水滴擊穿石頭”，我們?cè)O(shè)P（A）=10-7，求多長(zhǎng)時(shí)間水滴能擊穿石頭？

由二項(xiàng)分布的知識(shí)，可以假設(shè)每次水滴落在石頭上為相互獨(dú)立的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，n為水滴落在石頭上的次數(shù)，X為事件A發(fā)生的次數(shù)，則

P（n次試驗(yàn)中A至少發(fā)生一次）=Pn{X≥1}

=1-P{X0}=1-C0np0（1-p）n=1-（1-p）n

=1-（1-10-7）n=1-0.9999999n

n分別取104，105，106，107，108，2.1×108，計(jì)算結(jié)果如表2。

由表2可以看出，當(dāng)水滴在石頭上2.1億次的時(shí)候，大約2.1億秒，即6年半的時(shí)間，實(shí)現(xiàn)水滴石穿。一滴水可以擊穿石頭，這個(gè)小概率事件成為事實(shí)，靠的是長(zhǎng)年累月的毅力。通過(guò)此案例的學(xué)習(xí)，學(xué)生明白知識(shí)的積累是一點(diǎn)一滴的，學(xué)習(xí)要腳踏實(shí)地，堅(jiān)持不懈，厚積而薄發(fā)，這里也體現(xiàn)了量變引起質(zhì)變的哲學(xué)道理。聯(lián)合實(shí)際，在過(guò)去的時(shí)間里，全國(guó)人民在黨的領(lǐng)導(dǎo)下，齊心協(xié)力，共同創(chuàng)建美好社會(huì)。另一方面，“千里之堤毀于蟻穴”，在我們的生活中，一些不經(jīng)意的小紕漏都有可能釀成大禍。最近的南京雨花臺(tái)區(qū)“2·23”火災(zāi)，其實(shí)就是人們沒(méi)有遵守規(guī)則，漠視責(zé)任，結(jié)果釀成了大禍。

2.5“3σ-規(guī)則”（正態(tài)分布的應(yīng)用）

正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中極其重要且常見(jiàn)的一種分布，其蘊(yùn)含的思政元素也很多。課堂講解正態(tài)分布的應(yīng)用時(shí)，可以介紹正態(tài)分布的“3σ-規(guī)則”。

隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則

P（X-μ<σ）=2Φ（1）-1=0.6826，

P（X-μ<2σ）=2Φ（2）-1=0.9544，

P（X-μ<3σ）=3Φ（1）-1=09974。

由于X落在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)概率約為0997，而落在區(qū)間外的約是0003，此部分可以忽略。因此，把（μ-3σ，μ+3σ）作為X的實(shí)際取值區(qū)間，即正態(tài)分布的“3σ-規(guī)則”，具體見(jiàn)圖2。在企業(yè)中，很多質(zhì)檢部門(mén)用此方法來(lái)檢測(cè)產(chǎn)品。

由圖2知，X～N（μ，σ2）時(shí)，P（X-μ<σ）=06827，也就是（μ-σ，μ+σ）這部分占到了6827%，此部分稱(chēng)為正態(tài)分布的基區(qū)部分，也是正態(tài)分布的主體。由此得到啟示，平時(shí)無(wú)論做事還是學(xué)習(xí)一定也要抓住重點(diǎn)及主要矛盾，這樣才能事半功倍。當(dāng)下，我們中國(guó)無(wú)論是經(jīng)濟(jì)發(fā)展還是創(chuàng)新步伐都走在世界前列，這與我們黨的正確領(lǐng)導(dǎo)是分不開(kāi)的。由此也激發(fā)了學(xué)生對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)和身為中國(guó)人的自豪感。另外，我們看出正態(tài)分布是“中間大，兩頭小”。人的智力也是正態(tài)分布，智力超常的和低下的比較少，智力中等的約占到95%～99%。那我們大部分人都是智力一般，要想得到學(xué)習(xí)或者工作的成功必須依靠辛勤與努力。

3教學(xué)效果

期末測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，加入思政的教學(xué)班級(jí)不僅基礎(chǔ)知識(shí)、概念得到了鞏固，而且他們應(yīng)用能力的知識(shí)點(diǎn)掌握的也很好，整個(gè)班級(jí)的及格率和優(yōu)秀率（85以上為優(yōu)秀）也較高，特別是在主觀試題上，得分率大幅度提高。加入思政的班級(jí)（實(shí)驗(yàn)班）與對(duì)照班級(jí)成績(jī)?nèi)绫?所示。

根據(jù)期末成績(jī)，分別做出兩種班級(jí)的成績(jī)直方圖，如圖3所示。

由圖3可見(jiàn)，實(shí)驗(yàn)班成績(jī)基本上符合正態(tài)分布，對(duì)照班成績(jī)略有偏。整體來(lái)看，實(shí)驗(yàn)班成績(jī)高于對(duì)照班，差異小，表明實(shí)驗(yàn)班不僅基礎(chǔ)知識(shí)牢固，而且創(chuàng)新意識(shí)也較強(qiáng)。

4結(jié)論

課程思政是國(guó)家意識(shí)形態(tài)的重要組成部分，教育安全是意識(shí)形態(tài)安全的重要基礎(chǔ)，課程安全是“課程思政”建設(shè)的基本依據(jù)。課堂教學(xué)時(shí)結(jié)合熱點(diǎn)問(wèn)題，借助案例，充分挖掘相關(guān)思政元素，不但讓學(xué)生加深概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容，還培養(yǎng)了他們的德育。課程思政不僅是一種教育觀念，也是教學(xué)改革的一次新嘗試，教師需要緊跟時(shí)代潮流，終身學(xué)習(xí)，如鹽入水般地將課程思政融入到教學(xué)過(guò)程中。

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