摘 要：在常規(guī)數(shù)學(xué)解題中，教師都是按照“先設(shè)后求”的方式引導(dǎo)學(xué)生完成問題的解答.在面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，固定的數(shù)學(xué)思維常常導(dǎo)致學(xué)生進(jìn)入困境.鑒于此，教師在優(yōu)化解題教學(xué)時，必須靈活運(yùn)用“設(shè)而不求”的方法，引導(dǎo)學(xué)生積極搭建條件和所求問題的橋梁，開拓學(xué)生數(shù)學(xué)解題新思路、新方向，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

關(guān)鍵詞：“設(shè)而不求”；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；思維能力

數(shù)學(xué)作為初中階段一門基礎(chǔ)類必修學(xué)科，素有“思維體操”的美稱，具有抽象性、邏輯性等特性，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重任.鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，以及初中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)下的要求，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，是當(dāng)前課堂教學(xué)的重中之重.在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，目前教師基本上都是遵循“先設(shè)后求”的方式引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題進(jìn)行分析和解答.一旦數(shù)學(xué)問題難度變大，這種固定的解題思維和模式就變得“無能為力”.面對這一現(xiàn)狀，教師要想幫助學(xué)生順利解答問題，唯有徹底轉(zhuǎn)變這種固定的解題思維和模式，適當(dāng)融入“設(shè)而不求”的思想，使得學(xué)生在“設(shè)而不求”中找到新的解題方向.本文以此切入，結(jié)合大量的例題，針對“設(shè)而不求”在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用技巧進(jìn)行了詳細(xì)的探究，為教師提供參考.

1 “設(shè)而不求”的意義 “設(shè)而不求”是一種非常重要的數(shù)學(xué)解題技巧，教師將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中，可達(dá)到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果，幫助學(xué)生從新的視角切入問題，形成新的解題思路，高效完成數(shù)學(xué)題目的解答.具體來說，“設(shè)而不求”就是根據(jù)題目條件，在不求解的前提下，假設(shè)某個對象存在，并將其設(shè)置為未知數(shù)，用符號表示出來.學(xué)生以此作為過渡，獲得一種全新的問題解答方法.在初中數(shù)學(xué)解題中，“設(shè)而不求”作為一種全新的解題思路，可促使復(fù)雜問題簡單化，使得學(xué)生在“設(shè)”的過渡中，順利找到新的解題思路.

在“設(shè)而不求”解題中，首先，這種被“設(shè)”的對象可以是題目中的已知條件，也可以是經(jīng)過推理得出的結(jié)論，或者是假設(shè)的存在；其次，針對“為什么‘設(shè)’”這一問題，從根本上來說是為了解決某一個問題，學(xué)生在數(shù)學(xué)求解，或者數(shù)學(xué)證明的過程中，需要用到某一個量，就可以將其“設(shè)”出來，以此作為過渡，進(jìn)行后續(xù)的推導(dǎo)求解.［1］

2 “設(shè)而不求”在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

2.1 利用“設(shè)而不求”比較分?jǐn)?shù)大小

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分?jǐn)?shù)是一個重要的知識點(diǎn)，在關(guān)于分?jǐn)?shù)大小對比中，學(xué)生常常會遇到一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問題.此時，如果按照傳統(tǒng)的思維進(jìn)行解答，學(xué)生需要先進(jìn)行通分，這些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)通分需要經(jīng)過大量的運(yùn)算，不僅浪費(fèi)了學(xué)生的解題時間，還會出現(xiàn)計算性的錯誤.鑒于此，教師在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題時，就可充分借助“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，尋找一種新的、簡便的計算方法.

例題 比較368972764797、368975764804的大小.

解析：從題目類型上來說，本題目就是單純的分?jǐn)?shù)比大小，解題思路非常明確.但是在具體解答時，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解答，學(xué)生需要先進(jìn)行通分，但是對這兩個分?jǐn)?shù)來說，計算過程十分復(fù)雜.此時，通過觀察分析得知，由于兩個分?jǐn)?shù)的分子、分母都比較接近，即可借助“設(shè)而不求”的思想，將其中一個分?jǐn)?shù)設(shè)為ba，從而可將另一個分?jǐn)?shù)化為b+常量a+常量，如此，即可在兩個分?jǐn)?shù)之間建立聯(lián)系，以便進(jìn)行對比.在本題目中，就可將368972764797設(shè)為ba，則368975764804可轉(zhuǎn)化為b+3a+7.如此，學(xué)生只要計算ba-b+3a+7即可得出結(jié)果.經(jīng)計算得ba-b+3a+7=7b-3aa（a+7）.又7b-3a＞0，可得ba-b+3a+7＞0，即368972764797＞368975764804.可見，在這一復(fù)雜的分?jǐn)?shù)比大小中，通過“設(shè)而不求”方法的運(yùn)用，將其轉(zhuǎn)化成為一個特殊的問題，不僅減少了學(xué)生的計算量，也提高了學(xué)生的解題準(zhǔn)確率，并使學(xué)生在解題中提升數(shù)學(xué)思維能力.［2］

2.2 利用“設(shè)而不求”解決方程問題

方程是初中數(shù)學(xué)中最為重要的知識點(diǎn)，也是中考的熱點(diǎn).在初中階段，學(xué)生遇到的方程問題一般比較簡單，但偶爾也會遇到一些特殊的問題，尤其是一些分式方程、一元二次方程相關(guān)問題，部分題目難度系數(shù)比較高，學(xué)生用傳統(tǒng)的解題思路和模式不能解決問題.面對這一現(xiàn)狀，教師即可引導(dǎo)學(xué)生借助“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，將復(fù)雜的方程問題進(jìn)行簡化，降低問題的求解難度.

例1 解分式方程x-45+x+54=5x-4+4x+5.

解析：在這一道分式方程的求解中，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題，學(xué)生需要在對方程進(jìn)行去分母、去括號、移項、合并、簡化系數(shù)等操作后求解.這需要學(xué)生進(jìn)行大量的計算，不僅浪費(fèi)了時間，也對學(xué)生的計算能力提出了更高的要求，稍有不慎就會出現(xiàn)錯誤.鑒于此，教師在優(yōu)化方程解題教學(xué)時，可對其進(jìn)行觀察、分析，鑒于x-45和5x-4、x+54和4x+5互為倒數(shù)，即可融入“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想.假設(shè)x-45=m，x+54=n，則原來復(fù)雜的分式方程可轉(zhuǎn)化為m+n=1m+1n.圍繞這一方程去分母，得出m2n+mn2=n+m，對其進(jìn)行移項合并，最終得出（m+n）（mn-1）=0.由此，得出m+n=0或者mn-1=0.最終得出x-45+x+54=0，或者x-45·x+54=1.如此，即可將原本復(fù)雜的分式方程轉(zhuǎn)化為兩個簡單的方程，降低了學(xué)生的解題難度.

例2 若一元二次方程x2-11x+（30+k）=0存在兩個根，且均大于5，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析：這一道題涉及一元二次方程的知識.同樣，學(xué)生如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行求解，就會出現(xiàn)碰壁的現(xiàn)象.因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生融入“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，設(shè)x2-11x+（30+k）=y，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.由于該方程存在兩個根且均大于5.所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出，當(dāng)x=5時，對應(yīng)的點(diǎn)在x軸的上方，即y＞0.因此，52-55+（30+k）＞0，解不等式，可得出k＞0.又方程有兩個根，所以Δ=112-4（30+k）≥0，解得k≤14，所以0<k≤14.由此可見，在一些比較復(fù)雜的方程問題中，當(dāng)常規(guī)解題思維受限時，教師即可引導(dǎo)學(xué)生尋找已知條件和所求結(jié)論的關(guān)系，借助“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，對其進(jìn)行化簡、轉(zhuǎn)化等，以便于快速解答這一問題.

2.3 利用“設(shè)而不求”解決幾何問題

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何問題占據(jù)極大篇幅，是歷年中考的熱點(diǎn).但是在一些比較復(fù)雜的幾何證明題中，學(xué)生僅僅依靠題目中所給的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，很難形成明確的證明思路，甚至證明過程異常繁瑣.針對這類幾何問題，教師在引導(dǎo)學(xué)生解答時，即可運(yùn)用“設(shè)而不求”的方法.

例1 假如在一條直線上依次存在四個點(diǎn)，分別為A、B、C、D（如圖1）.請對A、B、C、D四點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行證明，即證明AD·BC+AB·CD=AC·BD.

解析：在這一幾何題目已知條件中，并未說明A、B、C、D四個點(diǎn)之間的關(guān)系，也沒有明確指出線段和線段的關(guān)系.在這種情況下，學(xué)生如果按照常規(guī)的思維就會無從下手，無法進(jìn)行證明.因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生證明該題目時，即可融入“設(shè)而不求”的思想，將這一幾何問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為代數(shù)問題.假設(shè)AB=a，BC=b，CD=c.據(jù)此，即可將線段圖中點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即AD=a+b+c，AC=a+b，BD=b+c.即可將所要證明的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為AD·BC+AB·CD=（a+b+c）b+a·c=ab+b2+bc+ac=b（a+b）+c（a+b）.又因?yàn)锳C·BD=（a+b）·（b+c）=ab+ac+b2+bc=b·（a+b）+c（a+b）.

因此，AD·BC+AB·CD=AC·BD.

在這一幾何證明題中，由于在題目中并未給出相關(guān)的條件，學(xué)生按照常規(guī)的思路很難完成其證明，運(yùn)用“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題就迎刃而解.

例2 如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且BD=BA，點(diǎn)E在BC的延長線上，且CE=CA，隨著∠B的變化，∠DAE的度數(shù)會變化嗎？請說明理由.

解析：這一題目考查的是“三角形中邊的等量關(guān)系到角的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化”.在題目中，∠B發(fā)生變化，∠DAC、∠CAE度數(shù)也在發(fā)生變化.在這種情況下，要想求出∠DAE的度數(shù)就相對比較困難.鑒于此，就可融入“設(shè)而不求”的思想，設(shè)∠B=x，∠ACB=y.

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=12（180°-∠B）=90°-12x.

∵CE=CA，

∴∠CAE=12∠ACB=12y，∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-（90°-12x）=12x.

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12x+12y=12（x+y）=12×90°=45°.

在這一題目的解答中，學(xué)生根據(jù)題目中已有的條件，很難做出正確的判斷，難以形成明確的解題思路.此時，唯有借助“設(shè)而不求”的思想，引入?yún)?shù)，將圖中所需角用符號表示出來，即可借助條件中所給的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解.

2.4 利用“設(shè)而不求”解決函數(shù)問題

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)問題是重中之重，其不僅是考試的熱點(diǎn)，還是考查的重點(diǎn)，常常占據(jù)很大的比例.就初中階段而言，學(xué)生所接觸到的函數(shù)知識主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等.同時，在一些綜合性的問題中，函數(shù)問題常常與幾何等知識聯(lián)系起來，題目極具綜合性，這也在很大程度上增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.學(xué)生面對這些已知條件比較少的函數(shù)問題，即可運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行解答.

例題 如圖3所示，點(diǎn)A為函數(shù)y=9x（x＞0）圖象上的一點(diǎn)，連接OA，與函數(shù)y=1x（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)B.點(diǎn)C是x軸上的一點(diǎn)，且AO=AC，則△ABC的面積是多少？

解析：在這一問題中，已知條件非常少，僅僅只有兩個反比例函數(shù)的解析式，學(xué)生根據(jù)題目中已有的條件，無法求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).在這種情況下，如果按照常規(guī)的思維進(jìn)行解題，就會導(dǎo)致學(xué)生陷入困境.此時，學(xué)生如果借助“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)用a、b兩個參數(shù)表示出來，還可通過點(diǎn)C的坐標(biāo)，將a、b之間的關(guān)系表示出來，最終轉(zhuǎn)化為三角形的底和高，完成面積的求解.即設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為a，9a，點(diǎn)B的坐標(biāo)為b，1b.∵點(diǎn)C位于x軸上，且AO=AC，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（2a，0），即OC=2a.

設(shè)過點(diǎn)O（0，0）、Aa，9a直線的解析式為y=kx，則ka=9a，解方程，得k=9a2.

又點(diǎn)Bb，1b在y=9a2x上，則9a2×b=1b，解方程，得b=a3或b=-a3（舍去）.

∴S△ABC=S△AOC-S△OBC=2a×9a×12-2a×3a×12=6.

這一道題難度系數(shù)比較高，題目將反比例函數(shù)和三角形問題整合到一起，給出的條件則又非常少，傳統(tǒng)的解題思路受限.面對這一現(xiàn)狀，教師即可引導(dǎo)學(xué)生借助“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，設(shè)坐標(biāo)，但又不求坐標(biāo)，利用其數(shù)量關(guān)系，將三角形的面積順利地求出來.

2.5 利用“設(shè)而不求”解決實(shí)際問題

實(shí)際問題具有極強(qiáng)的綜合性，常常集多個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)于一體，并與學(xué)生的實(shí)際生活緊密相連，這就在很大程度上增加了問題的難度.在解答這一類型數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生如果傳統(tǒng)解題思路受限，即可運(yùn)用“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，開辟問題解答的新思路.

例題 有A、B、C三種貨物，已知購買A貨物3件，B貨物7件，C貨物1件一共需要花費(fèi)415元.如果買A貨物4件，B貨物10件，C貨物1件一共需要花費(fèi)520元.則買A、B、C貨物各1件一共需要花費(fèi)多少元？

解析：這一道實(shí)際應(yīng)用問題涉及“三元一次方程”中的知識點(diǎn)，根據(jù)題目中已知條件，學(xué)生如果要分別求出A、B、C貨物各1件時的費(fèi)用，存在很大的困難.此時，學(xué)生即可借助“設(shè)而不求”的方法，將A、B、C貨物的單價分別設(shè)為x、y、z元，結(jié)合題目中已知條件可列出一個方程組，即3x+7y+z=415，

4x+10y+z=520.結(jié)合所學(xué)的知識，將該方程組進(jìn)行變形，使其成為2（x+3y）+（x+y+z）=415，

3（x+3y）+（x+y+z）=520.如此，即可通過解方程得出答案.

這一題目難度系數(shù)比較低，學(xué)生在解答的時候，只需要將各個貨物的單價設(shè)出來，無需進(jìn)行求解，并將x+y+z作為整體，求出x+y+z的值即可完成本題目的解答.

3 結(jié)語

面對復(fù)雜、綜合性的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在解題的時候，難免會陷入困境，致使解題思路頻頻受限.面對這一現(xiàn)狀，教師唯有轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的解題教學(xué)觀念，引導(dǎo)學(xué)生借助“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，將原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而為學(xué)生營造一個全新的解題視角，以便開拓學(xué)生的解題思路，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

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