摘 要：開放式問題通過條件開放、解題策略開放和結(jié)論開放實(shí)現(xiàn)對學(xué)生發(fā)散性思維、探究性思維以及獨(dú)立性思維的訓(xùn)練.本文以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以“兩點(diǎn)的聯(lián)想”為情境主線，探討如何設(shè)計(jì)開放式問題落實(shí)新課標(biāo)提出的“四能”發(fā)展，聚焦學(xué)生思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)課從技能訓(xùn)練到素養(yǎng)發(fā)展的轉(zhuǎn)變.

關(guān)鍵詞：開放式問題；數(shù)學(xué)“四能”；核心素養(yǎng)

1 問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程理念中指出：“發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱‘四能’）.”［1］“四能”是提升學(xué)生核心素養(yǎng)，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的關(guān)鍵能力，也是學(xué)生終身發(fā)展的必備能力.在當(dāng)前課堂教學(xué)中，教師更關(guān)注提升學(xué)生分析與解決問題的能力，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)尚顯不足.

開放式問題通過條件開放、解題策略開放和結(jié)論開放等特性，凸顯在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力上的優(yōu)勢.因此，基于“四能”視角的開放式問題設(shè)計(jì)能夠推進(jìn)課堂教學(xué)從發(fā)展“雙能”走向“四能”，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)效能和育人目標(biāo)的全面升級.［2］本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊》中“一次函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勛约旱淖龇ㄅc思考.

2 教學(xué)過程

2.1 淺度開放，自主提問

師：已知兩點(diǎn)A，B，能確定什么？

生：直線.

追問1：如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A1，203，B4，83，試確定直線AB的函數(shù)表達(dá)式.

學(xué)生動手求解并總結(jié)待定系數(shù)法，接著教師給出圖象上的點(diǎn)C（a，y1），D（a-2，y2），讓學(xué)生比較y1和y2的大小關(guān)系.教師借此帶領(lǐng)學(xué)生回顧k，b的幾何意義，即k決定方向，b決定直線與y軸交點(diǎn)位置.

追問2：觀察圖象，還能得到什么信息？

學(xué)生陸續(xù)說出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、直角三角形的斜邊、直角三角形面積和斜邊上的高以及△ABO的面積.

師：如何求△ABO的面積？

學(xué)生回答“大減小”，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧網(wǎng)格中求三角形面積的常規(guī)方法，即“框”的方法，用矩形面積減三角形面積（如圖2）.

追問3：觀察一次函數(shù)y＝-43x＋8的圖象，還能得到什么信息？

學(xué)生獨(dú)立思考后提出，可以得到當(dāng)y＞0，y＝0或y＜0時對應(yīng)x的取值范圍，從而將一次函數(shù)與一元一次方程和一元一次不等式結(jié)合起來.

【設(shè)計(jì)意圖】課堂設(shè)計(jì)回歸知識的原點(diǎn)，從“兩點(diǎn)的聯(lián)想”出發(fā)構(gòu)建思維訓(xùn)練活動.教師通過設(shè)計(jì)低起點(diǎn)的開放情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維發(fā)散，鼓勵學(xué)生大膽提出問題.經(jīng)過這些環(huán)節(jié)，學(xué)生既回顧了一次函數(shù)的表達(dá)式和k，b的幾何意義，又梳理了求三角形面積的常規(guī)方法，實(shí)現(xiàn)了知識和思維的自主建構(gòu)（如圖3）.這種從問題本身的開放而獲得新問題的處理方式充分引導(dǎo)學(xué)生積極思考，初步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

2.2 中度開放，探究方法

問題1 如圖4所示，已知直線y＝34x+b，提出一個直線與線段AB有關(guān)的問題.

學(xué)生思考交流后提出可以確定參數(shù)b的取值范圍.教師請學(xué)生用教具到黑板上演示（如圖5），學(xué)生將函數(shù)y＝34x沿y軸方向平移，得到函數(shù)過B點(diǎn)時b值最小，過A點(diǎn)時b值最大.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過增加一條直線設(shè)置開放式問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)和正比例函數(shù)的一般與特殊的關(guān)系，加深學(xué)生對一次函數(shù)表達(dá)式中b的幾何意義的理解，體會數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

問題2 從旋轉(zhuǎn)的角度提出一個與線段AB有關(guān)的問題.

學(xué)生回憶平時做過的相關(guān)題型，提出將線段AB繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后，求對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).教師順勢提問學(xué)生求線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo).學(xué)生根據(jù)已有的解題經(jīng)驗(yàn)，容易想到構(gòu)造K型圖解決（如圖6）.學(xué)生在動手構(gòu)圖和計(jì)算的過程中，感悟點(diǎn)坐標(biāo)和線段長度的相互轉(zhuǎn)化.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過運(yùn)動的變化設(shè)置開放式問題，從平移到旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧基本構(gòu)圖方法，為變式研究提供基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生解決問題的能力.

變式 若將直線AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，求旋轉(zhuǎn)后直線的函數(shù)表達(dá)式.

學(xué)生動手操作，教師巡視發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生受問題2解題思路的影響選擇連接BB′，試著求B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)（如圖7），但是在構(gòu)造K型圖求解時不知如何構(gòu)圖，思維受到了限制.

教師適時點(diǎn)撥學(xué)生從特殊角45°入手，學(xué)生意識到需要構(gòu)造等腰直角三角形.在構(gòu)造等腰直角三角形時，教師引導(dǎo)學(xué)生分別構(gòu)造∠B和∠C為直角，并加以對比兩種K型圖的構(gòu)造，感悟不同的構(gòu)造可以簡化計(jì)算（如圖8），逐步積累活動經(jīng)驗(yàn).

教師總結(jié)：定直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°，可以通過構(gòu)造等腰直角三角形求旋轉(zhuǎn)后直線函數(shù)的表達(dá)式.

【設(shè)計(jì)意圖】變式的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生不要把思想方法只聚焦在“線段旋轉(zhuǎn)90°”上，而是要將思路和眼界放得更寬，即“定直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°”也可以確定表達(dá)式.學(xué)生在動手操作中進(jìn)一步積累活動經(jīng)驗(yàn)，體會數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)發(fā)散性思維，提高分析和解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.3 深度開放，發(fā)展能力

問題3 若P是y軸上動點(diǎn)，提出一個與△ABP有關(guān)的問題.

學(xué)生根據(jù)本單元已有的解題經(jīng)驗(yàn)，提出等腰三角形存在性問題.學(xué)生熟知解題時要用“兩圓一線”來分類討論.教師給學(xué)生充足的動手操作時間，鼓勵學(xué)生小組討論，巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易完成了作圖（如圖9、圖10、圖11），但是在求解過程中學(xué)生對點(diǎn)坐標(biāo)和線段長度的靈活轉(zhuǎn)化不夠熟練.教師板書引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)坐標(biāo)與線段的有效轉(zhuǎn)化.

【設(shè)計(jì)意圖】特殊三角形的存在性問題是幾何中的重點(diǎn)問題和高頻考點(diǎn).學(xué)生通過等腰三角形的討論，鞏固坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)與線段長度的靈活轉(zhuǎn)化，加深對分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識，并進(jìn)一步促進(jìn)“四能”的提升.

3 教學(xué)思考

3.1 設(shè)定素養(yǎng)目標(biāo)，貫穿問題設(shè)計(jì)過程

核心素養(yǎng)的發(fā)展是提高“四能”的必備因素.在發(fā)現(xiàn)與提出問題的過程中，學(xué)生需要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模；在分析與解決問題的過程中，又需要學(xué)生借助直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)活動來解決問題.所以，“四能”的提高需要教師在設(shè)置情境時以素養(yǎng)目標(biāo)為導(dǎo)向，并將其貫穿開放式問題設(shè)計(jì)的全過程.

在“兩點(diǎn)的聯(lián)想”情境中，學(xué)生利用直觀想象有效建立形與數(shù)的聯(lián)系，進(jìn)行生成并不斷發(fā)現(xiàn)新問題，如函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、直角三角形的斜邊、直角三角形面積和斜邊上的高以及△ABO的面積等，初步培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.在后續(xù)環(huán)節(jié)中，教師采用增加條件的方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，如添加直線、旋轉(zhuǎn)以及y軸上動點(diǎn)P等條件，學(xué)生借助直觀想象、數(shù)學(xué)建模等來理解并解決問題.由此可知，直觀想象既是重要手段，也是學(xué)生理解和解決問題的基本素養(yǎng).

3.2 遵循邏輯主線，調(diào)整問題開放程度

開放式問題的開放程度不符合學(xué)生認(rèn)知水平和思維結(jié)構(gòu)水平時，會導(dǎo)致學(xué)生思維過于發(fā)散，偏離教學(xué)目標(biāo)，這就需要教師引導(dǎo)其按一定的邏輯發(fā)現(xiàn)和提出問題，并選擇有意義、與所授主題相關(guān)的問題，這樣教師在跟進(jìn)討論時也能回到教學(xué)的重點(diǎn).教師在課前也要針對重難點(diǎn)設(shè)計(jì)一些高質(zhì)量問題，當(dāng)學(xué)生提出問題過少或質(zhì)疑不全面時，就可以通過具有指向性的提示語啟發(fā)學(xué)生提出預(yù)設(shè)問題.

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師通過回歸知識原點(diǎn)設(shè)計(jì)低起點(diǎn)的開放情境，能使學(xué)生較容易地提出一系列相關(guān)問題，初步進(jìn)行知識和思維的自主建構(gòu).在后續(xù)環(huán)節(jié)中，由A，B兩點(diǎn)直接提出問題的開放程度較學(xué)生的認(rèn)知水平略高，故采用增加條件的方式降低問題的開放程度，如添加直線、旋轉(zhuǎn)以及y軸上動點(diǎn)P等條件，通過指向性提示語縮小問題切口，“收斂”學(xué)生思維.教師既要給予學(xué)生充分的探究空間，引發(fā)學(xué)生深層次的思考，又要為探究設(shè)置好主線，保證核心內(nèi)容與方法的主旋律，最后總結(jié)典型思路與方法，以實(shí)現(xiàn)課堂效果的最優(yōu)化.

3.3 聚焦思維活動，教學(xué)生學(xué)會思考

提高“四能”，就是要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、發(fā)現(xiàn)和提出問題，并在尋找解決問題的路徑和方法中形成基本能力.發(fā)展“四能”的核心就是“教學(xué)生學(xué)會思考”.“教學(xué)生學(xué)會思考”就是教學(xué)生在思維活動中學(xué)會“提出”問題、“建構(gòu)”概念、“尋找”方法以及研究解決問題的“一般方法”，這也意味著教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生形成由實(shí)踐而得來的能力、有益的思考方式以及應(yīng)有的思維習(xí)慣.

在變式環(huán)節(jié)，學(xué)生根據(jù)問題2的操作經(jīng)驗(yàn)求B′坐標(biāo)，但在構(gòu)圖時卻無從下手，這時已有經(jīng)驗(yàn)與新情境產(chǎn)生沖突，思維活動受阻.首先，教師引導(dǎo)學(xué)生重新審題，抓住“題眼”——45°，學(xué)生自然聯(lián)想到等腰直角三角形.其次，如何構(gòu)造等腰直角三角形.教師讓學(xué)生分別以∠B為直角和∠C為直角作圖并計(jì)算，在對比中切身感悟?yàn)槭裁礃?gòu)造∠B為直角更好，讓學(xué)生經(jīng)歷“怎么想到的—怎么來的—怎么做”的思維提升過程.最后，教師引導(dǎo)學(xué)生將思路和眼界放得更寬，進(jìn)行總結(jié)提煉.教師引導(dǎo)學(xué)生不斷歸納解題過程中的思考策略，學(xué)生通過不斷調(diào)整思維來適應(yīng)新的情境，經(jīng)過長期的順應(yīng)和同化，在提升數(shù)學(xué)能力的同時，形成探究思維習(xí)慣.在這樣的過程中聚焦學(xué)生思維品質(zhì)的提升和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)課從技能訓(xùn)練到素養(yǎng)發(fā)展的轉(zhuǎn)變.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］張東.基于發(fā)現(xiàn)和提出問題推進(jìn)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的實(shí)踐與思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（4）：37.