摘 要：九年級相似三角形學(xué)習(xí)之后的復(fù)習(xí)課或習(xí)題課往往涉及與圓有關(guān)的相似問題.與其零星出現(xiàn)一兩道圓的問題，教師不如安排“相似學(xué)后再看圓”的專題課，帶領(lǐng)學(xué)生從相似的角度研究圓相關(guān)的基本圖形，進行變式設(shè)問，生成一系列與相似有關(guān)的同類問題，切實提升解題教學(xué)效益.

關(guān)鍵詞：基本圖形；相似；圓

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對“相似”“圓”的學(xué)習(xí)要求都不高，很多知識或定理的教學(xué)要求都是“了解”或“選學(xué)”級別.不少版本的初中數(shù)學(xué)教材將“圓”安排在九年級上冊，將“相似”安排在九年級下冊，這樣就使得九上學(xué)習(xí)圓時不會涉及與圓有關(guān)的相似問題，而九下學(xué)習(xí)相似時，又很少與圓結(jié)合起來.筆者曾檢索過人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級下冊》，在“相似”一章中，僅章末練習(xí)中出現(xiàn)一道與圓的相交弦性質(zhì)有關(guān)的相似習(xí)題；蘇科版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級下冊》，在“相似”一章中，也只是在習(xí)題部分出現(xiàn)了兩道與圓有關(guān)的相似習(xí)題.為了引導(dǎo)學(xué)生從相似的視角看圓的一些基本圖形問題，筆者設(shè)計了一節(jié)“相似學(xué)后再看圓”的專題課，本文整理該課的教學(xué)設(shè)計，為廣大教師提供課例研討.

1 “相似學(xué)后再看圓”專題課教學(xué)設(shè)計@@教學(xué)環(huán)節(jié)1：從“垂徑定理”基本圖形出發(fā).##

問題1 如圖1所示，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P.證明CP2＝AP·BP.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生可選擇連接AC，BC.在Rt△ABC中，結(jié)合斜邊AB上高PC的位置關(guān)系，聯(lián)想到相似三角形學(xué)習(xí)過程中遇到的基本圖形（如圖2），利用△ACP∽△CBP，得到對應(yīng)直角邊成比例，進一步轉(zhuǎn)化為乘積式CP2＝AP·BP.

講評之后，安排以下變式問題.

變式1 如圖3所示，在⊙O中弦AB，CD相交于點P.證明AP·BP＝CP·DP.

變式2 如圖4所示，弦AB，DC的延長線相交于點P.證明AP·BP＝CP·DP.

變式3 如圖5所示，過⊙O外一點P，作⊙O的切線PC，割線PBA.證明PC2＝AP·BP.

教學(xué)預(yù)設(shè)：這組變式立意體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的過程.證明思路都是構(gòu)造相似三角形.三道變式題講評之后，教師可在圖5的基礎(chǔ)上，作射線PO與⊙O相交于M，N兩點（如圖6），連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，容易得到d2-r2＝PC2.同理，在圖4中，也可得到AP·BP＝CP·DP＝d2-r2.問題1及其變式的證明體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)上統(tǒng)一的精神”

@@教學(xué)環(huán)節(jié)2：研究“垂徑定理”基本圖形.##

問題2 如圖7所示，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P.連接AC，BC，BD，AD.證明AC·BD＋AD·BC＝AB·CD.

教學(xué)預(yù)設(shè)：考慮到垂徑定理基本圖形中具有很多軸對稱性質(zhì)的線段，可以將相等的線段進行等量代換.待證等式的左邊AC·BD＋AD·BC＝AC·BC＋AC·BC＝2AC·BC.待證等式的右邊＝AB·CD＝AB·2CP＝2AB·CP.由△ABC∽△CBP，可得AC·BC＝AB·CP.可得，等式左邊=等式右邊，接通證明思路.另外，如果從四邊形ACBD是特殊的四邊形“箏形”來看，基于面積的角度“算兩次”也可證明.在講評上述方法之后，教師出示以下不同的證法，安排學(xué)生“閱讀理解”.

閱讀理解：如圖8所示，在AB上取一點E，連接EC，使∠ACE＝∠DCB，結(jié)合∠CAE＝∠CDB，可證△AEC∽△DBC，得比例式ACDC＝AEDB，化為乘積式AC·DB＝AE·CD①.

由∠ACE＝∠DCB，可得∠ACD＝∠ECB，結(jié)合∠ADC＝∠EBC，可證△ADC∽△EBC，得比例式 ADEB＝CDBC，化為乘積式AD·BC＝BE·CD②.

將①＋②，可得AC·DB＋AD·BC＝（AE＋BE）·CD，即AC·BD＋AD·BC＝AB·CD.

教學(xué)組織：學(xué)生在“閱讀理解”之后，教師可安排學(xué)生在小組內(nèi)交流，簡述這種證明思路，然后每個小組推薦一名代表在組內(nèi)詳細(xì)講解，教師抽一兩名學(xué)生上臺講解上述解法.講評之后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，發(fā)現(xiàn)這種證明思路并不需要垂徑定理的特殊圖形，沒有使用直徑、垂徑弦等“強化條件”.教師引導(dǎo)學(xué)生猜測上述結(jié)論是否可以一般化，進而提出如下的挑戰(zhàn)問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：拓展挑戰(zhàn)與同類再練.##

挑戰(zhàn)問題 如圖9所示，四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓上，連接對角線AC，BD.證明AB·CD＋BC·AD＝AC·BD.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生結(jié)合上面的“閱讀理解”證明過程，發(fā)現(xiàn)挑戰(zhàn)問題的證明思路與其完全相同.在AC上取一點E，連接EB，使∠ABE＝∠DBC，分別“證兩次相似三角形”，得到兩組比例式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的乘積式后再相加即可.教師鼓勵最先獲得思路的學(xué)生上臺展示交流自己的證明思路.教師總結(jié)歸納該問題的結(jié)論就是著名的“托勒密定理”.

同類練習(xí)1 如圖10所示，點P在等邊三角形ABC的外接圓上，連接PA，PB，PC.證明PB＋PC＝PA.

教學(xué)預(yù)設(shè)：根據(jù)“挑戰(zhàn)問題”的結(jié)論可知AB·CP＋AC·BP＝AP·BC.結(jié)合等邊三角形ABC的三邊相等，化簡可得PB＋PC＝PA.

同類練習(xí)2 如圖11所示，AB是⊙O的直徑，點C在圓上，CD平分∠ACB，交⊙O于點D，分析線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

教學(xué)預(yù)設(shè)：連接AD，BD，可先證出△ABD是等腰直角三角形，有AB＝2AD＝2BD.結(jié)合“挑戰(zhàn)問題”的結(jié)論可知AC·BD＋AD·BC＝AB·CD，簡化為AC＋BC＝2CD.

@@教學(xué)環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)，布置作業(yè).##

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)本課是學(xué)習(xí)相似之后對與圓有關(guān)基本圖形的再認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問題中涉及的基本圖形性質(zhì).

教師布置如下作業(yè).

（1）題干條件同課上“問題1后的變式3”，當(dāng)PC＝4，PB＝2時，求AB的長.

（2）題干條件同課上訓(xùn)練的“同類練習(xí)2”，當(dāng)⊙O的半徑為2，∠BAC＝30°時，求CD的長.（用兩種不同的方法）

（3）圍繞本課所學(xué)內(nèi)容，選取某一個基本圖形問題的思路探究及“成果擴大”，整理成一篇解題隨筆.

2 教學(xué)立意的進一步解讀

2.1 精心選取基本圖形，變式追問成果擴大

李善良教授曾就“問題情境設(shè)計”提醒教師要“注重一境多用，讓學(xué)生形成整體的認(rèn)識，防止出現(xiàn)一個內(nèi)容一個情境、情境遍地開花的現(xiàn)象.”［1］在上文課例中，教師選取圓中“垂徑定理”基本圖形，從相似的角度探究基本圖形性質(zhì)，并通過變式追問促進學(xué)生對該圖形的深刻理解，達(dá)到研究一個圖形，學(xué)會一類問題的教學(xué)目標(biāo).

2.2 深刻理解問題本質(zhì)，概括性質(zhì)應(yīng)用鞏固

日本數(shù)學(xué)家、教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中曾提到“充滿在整個數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一建設(shè)的精神”，并指出很多同類問題“無論表面上看來多么不同，都可用同樣的方法處理”.［2］在上文課例中，筆者基于圓的“垂徑定理”基本圖形提出一個圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線之積的命題，先安排學(xué)生從相似或面積法的思路進行證明，隨后給出一個不同方法的“閱讀理解”，引導(dǎo)學(xué)生理解這種證明思路，并將命題概括為“一般化”的結(jié)論（即“托勒密定理”）.進一步安排兩個經(jīng)典問題鞏固所學(xué)性質(zhì)，并理解這類“形異質(zhì)同”問題的解法具有一致性.

參考文獻

［1］李善良.高中數(shù)學(xué)課程改革：探索與實踐［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

［2］米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，1986.