高考數(shù)學(xué)試題經(jīng)常涉及幾何問題的最值題目，高中生在平時的學(xué)習(xí)過程中，對這方面知識的學(xué)習(xí)又是比較零碎的，所以面對這類題目，解題思路往往較為混亂，或者根本無從下手。進入總復(fù)習(xí)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的知識較為全面、系統(tǒng)，對于這類問題的一些常用解法、思路有必要加以整理，使之條理化。這樣能幫助學(xué)生形成固定的思考方向，使其遇到類似的問題時可以更快捷地找到解題方法。

與幾何問題的最值有關(guān)的題目，可總結(jié)為求平面圖形或空間幾何體中的線段、面積、體積等最值問題，或討論平面圖形或空間幾何體在什么條件下的存在問題。這些問題往往比較復(fù)雜，對于此類問題，通?？捎棉D(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，將其轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的有關(guān)數(shù)學(xué)問題再解決。

一、動態(tài)幾何問題，其最值與點、直線、平面位置有關(guān)。對于此類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想，將其轉(zhuǎn)化成某個函數(shù)，通常為二次函數(shù)的形式，再用二次函數(shù)的求最值方法加以解決。

例1 如圖1，正方體的棱長為，動點分別在上且。當(dāng)動點分別在上的什么位置時，線段的長度最小？并求出最小值。

解：作∥交于，連結(jié)。

由平面，平面得是直角三角形。

設(shè)，由等腰得，∴。

由是直角三角形

得

故當(dāng)時，即時，有最小值。

二、把與幾何問題的最值有關(guān)的問題，建立成某個函數(shù)的模型，再用導(dǎo)數(shù)的求最值方法加以解決。

例2 如圖2，已知曲線與曲線交于點，直線與曲線交于點。

（1）寫出四邊形的面積與的函數(shù)關(guān)系；

（2）求的最大值。

解：（1）由得交點坐標(biāo)分別是，。

，

∴。

（2），令，得。

當(dāng)時，，此時函數(shù)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)時，的最大值為。

三、幾何問題往往與角度有關(guān)，由三角函數(shù)的有界性可知（），相關(guān)問題如能轉(zhuǎn)化成用角度表示，然后利用三角函數(shù)來解決，不失為一種較為容易的方法。

此類方法的重點在于如何用角度來表示其他幾何量，我們只有很好地理解與掌握幾何圖形的性質(zhì)、相關(guān)的數(shù)量關(guān)系等，才能較好地駕馭此法。

例3 是橢圓上的動點，求動點到直線的最大值和最小值。

解：因為是橢圓上的動點，可設(shè)，設(shè)到的距離為，

由點到直線的距離公式得。

因為，故最大值；最小值。

四、把與幾何問題的最值有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為不等式模型，再求出最值。

常不等式：，。但要注意這些公式的使用條件和等號成立的條件。

三個正數(shù)的均值不等式：。

使用求最值時要滿足條件“一正、二定、三相等”。

例4 設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．

解：由題意可得動直線過定點，直線可化為。

令，可解，即。又，故兩直線垂直，

即交點為，。

由基本不等式可得

，

∴，

解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選．

例5 如圖3，已知為橢圓的左焦點，直線與橢圓交于兩點，軸，垂足為，與橢圓的另一個交點為，則（ ）

A．的最小值為 B．面積的最大值為

C．直線的斜率為 D．為鈍角

解：對于A選項，設(shè)橢圓的右焦點為，

連接、，則四邊形為平行四邊形，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A錯誤；

對于B選項，由得，

，

的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；

對于C選項，設(shè)，則，，

故直線的斜率，C正確；

對于D選項，設(shè)，直線的斜率額為，直線的斜率為，

則。

又點和點在橢圓上，

①，②，①②得，

易知，則，得，

，，D錯誤。

故選BC。

與幾何問題的最值有關(guān)的問題，難度較大，綜合性較強，但在高考數(shù)學(xué)試題中又經(jīng)常涉及，故須加以重視，希望本文能為廣大學(xué)子提供有益的參考。