【課前思考】

在概率（可能性）的學(xué)習(xí)中，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的理解至關(guān)重要。眾多隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性是可以預(yù)測(cè)的，而這種可能性正是對(duì)不確定性的一種量化描述。小學(xué)階段對(duì)可能性的教學(xué)主要集中在兩個(gè)方面：一是通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活中的不確定性，理解不同結(jié)果的可能性大?。欢且龑?dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)所有可能的情況，判斷特定結(jié)果發(fā)生的可能性大小。這要求我們?nèi)粘＝虒W(xué)要結(jié)合具體實(shí)例，讓學(xué)生從整體上感受簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的可能性，并做出定性描述。

在北師大版教材五年級(jí)上冊(cè)“可能性”單元學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中的確定與不確定有了初步的認(rèn)識(shí)。如，太陽(yáng)的升落和季節(jié)的更替是確定的，而擲硬幣的結(jié)果則是不確定的。我們將利用這些日常生活情境，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究可能性的知識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)與概率之間的緊密聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

可能性的概念看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不然，其背后的數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性。為此，我們特地準(zhǔn)備了球袋、撲克牌等教具，以游戲的形式引入，通過(guò)選球、摸球、摸牌、裝球、設(shè)計(jì)游戲轉(zhuǎn)盤(pán)等一系列活動(dòng)，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中，以小組合作的形式深入學(xué)習(xí)和探索，感受隨機(jī)現(xiàn)象的同時(shí)，培養(yǎng)歸納能力和創(chuàng)新意識(shí)。

【課堂實(shí)踐】

一、在選球袋的游戲中感受可能性中的確定事件

師：大家一定都喜歡玩游戲，今天我們的學(xué)習(xí)就從游戲開(kāi)始。游戲規(guī)則是這樣的：如果你們摸到紅球，老師贏；如果摸到其他顏色的球，你們贏。大家同意嗎？

生：同意。

師：好的，我們用這個(gè)編號(hào)為1的球袋，里面裝有2個(gè)紅球。（如圖1）

生：不同意。

師：剛才大家都同意，怎么現(xiàn)在又不同意了？

生：因?yàn)榍虼锩?個(gè)都是紅球，老師一定贏。

生：當(dāng)球袋里只有2個(gè)紅球時(shí)，摸出的一定是紅球。（師板書(shū)：一定）

師：幸好我還帶了另外2個(gè)球袋（注：2號(hào)球袋中有2個(gè)黃球，3號(hào)球袋中有1個(gè)紅球、1個(gè)黃球），你們會(huì)選擇哪個(gè)球袋呢？（如圖2）

生：選擇2號(hào)球袋。

師：為什么選擇2號(hào)球袋呢？

生：因?yàn)樵?號(hào)球袋摸球，摸到的一定會(huì)是黃球，不可能摸出紅球，我們一定可以贏。（師板書(shū)：不可能）

師：用上面的1號(hào)球袋和2號(hào)球袋來(lái)玩游戲，你認(rèn)為有趣嗎？

生：沒(méi)有趣，都是確定的。

師：我也同意，它們的結(jié)果是確定性的，我們稱(chēng)作確定性事件。（板書(shū)：確定性）

師：如果在上面的3號(hào)球袋摸球，結(jié)果會(huì)怎樣呢？

生：結(jié)果可能是紅球，6N2fGd/PNyRotWrOePOakMBvqMdJWpzIXm+NmDDaDzM=也有可能是黃球，它的結(jié)果是不確定的。（師板書(shū)：不確定性）

師：一個(gè)摸球游戲，有的結(jié)果是確定的，有的結(jié)果是不確定的。這些結(jié)果我們統(tǒng)稱(chēng)為可能性。（板書(shū)：可能性）

【設(shè)計(jì)意圖】引入游戲是為了讓學(xué)生在愉快的氛圍中感受隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，幫助他們理解確定事件和不確定事件的概念。在選球袋的活動(dòng)中，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到確定事件的特點(diǎn)，并通過(guò)比較確定事件和不確定事件來(lái)理解可能性的概念。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

二、在摸球活動(dòng)中感受可能性的不確定性

師：接下來(lái)我們進(jìn)行摸球游戲，活動(dòng)前我們先看看活動(dòng)要求。

出示活動(dòng)要求：

[1.摸球前，先攪拌均勻再摸球，四人一組，每組（10）次。

2.摸球后，把球放回，同時(shí)把結(jié)果用紅、黃圓片記錄下來(lái)。

]

師：我們先來(lái)看看第一組摸球的情況，他們既摸出了黃球又摸出了紅球，看來(lái)每次摸球的結(jié)果，與前面的結(jié)果并無(wú)關(guān)聯(lián)。我們?cè)俳y(tǒng)計(jì)一下每組摸出的紅球和黃球的數(shù)量是多少，你有什么發(fā)現(xiàn)？（如圖3）

生：每組的摸球結(jié)果都有所不同，有的組摸到的紅球多，有的組摸到的黃球多，還有的組摸到的紅球和黃球數(shù)量相等。

生：說(shuō)明了我們摸球的結(jié)果是不確定的。

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)旨在通過(guò)對(duì)比隨機(jī)事件和確定事件，幫助學(xué)生感受隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)。在摸球活動(dòng)中，學(xué)生能夠更直觀地理解隨機(jī)事件，能深刻體會(huì)到：每次摸球都有可能得到紅球或黃球；前一次的結(jié)果不會(huì)影響后一次的結(jié)果；每次摸球都有兩種可能的結(jié)果。這種直觀經(jīng)驗(yàn)將有助于學(xué)生理解不確定性。

師：倘若時(shí)間允許，我們繼續(xù)探索，摸球500次、1000次、5000次，又將如何？對(duì)此，你們有何感想？

生：我認(rèn)為隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，摸出紅球和黃球的可能性將會(huì)趨于相等。

生：我也贊同，多次嘗試后，摸出紅球和黃球的可能性應(yīng)該會(huì)一樣大。

師：真是令人驚喜，你們年紀(jì)雖小，卻擁有數(shù)學(xué)家的敏銳思維。數(shù)學(xué)家們正是如此思考，并付諸實(shí)踐的。接下來(lái)，讓我們一同觀看這段視頻。

（播放視頻）

師：拋擲一枚硬幣，或許正面朝上，或許反面朝上，充滿了不確定性。盡管數(shù)學(xué)家們每次拋擲硬幣的結(jié)果都是隨機(jī)的，但隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來(lái)越接近，這種趨勢(shì)穩(wěn)定而明顯。（如圖4）

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)旨在通過(guò)科學(xué)家們的實(shí)踐數(shù)據(jù)，使學(xué)生深刻體驗(yàn)拋硬幣等游戲，雖然結(jié)果不確定，但隨著實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的積累，結(jié)果會(huì)趨于公平，從而使學(xué)生深切感受大數(shù)據(jù)帶來(lái)的震撼與啟示。

師：老師準(zhǔn)備了2個(gè)球袋。（如圖5，1號(hào)球袋中有5個(gè)紅球，2號(hào)球袋中有2個(gè)紅球、3個(gè)藍(lán)球）接下來(lái)，請(qǐng)你用“一定”“可能”“不可能”來(lái)描述從這2個(gè)球袋中摸球的情況。

生：從1號(hào)球袋中摸球，一定能摸出紅球。

生：從1號(hào)球袋中摸球，不可能摸出藍(lán)球。

生：從2號(hào)球袋中摸球，可能摸出藍(lán)球，也可能摸出紅球。

師：確實(shí)，當(dāng)我們從1號(hào)球袋中摸球時(shí)，摸到的結(jié)果是確定的。當(dāng)我們從2號(hào)球袋中摸球時(shí)，摸到球的結(jié)果是不確定的。如果你換個(gè)角度思考，從2號(hào)球袋中摸球，結(jié)果真的完全不能確定嗎？

生：從2號(hào)球袋中不可能摸出黃球。

師：看來(lái)我們換個(gè)角度思考，不確定事件也可以轉(zhuǎn)化為確定事件。這種轉(zhuǎn)化思維在數(shù)學(xué)和生活中都非常重要。

【設(shè)計(jì)意圖】這一環(huán)節(jié)的教學(xué)旨在讓學(xué)生進(jìn)一步理解確定事件和不確定事件的概念。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，幫助他們認(rèn)識(shí)到，即使在看似不確定的事件中，也可能存在確定性的因素，這有助于培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。

三、在摸牌游戲中感受可能性的大小

師：老師還帶來(lái)了紅桃1、紅桃2、紅桃3、紅桃4這4張牌。如果把撲克牌反扣在桌上，并打亂次序任意摸出1張，可能摸出哪張？可能出現(xiàn)幾種結(jié)果呢？

生：可能是紅桃1、紅桃2、紅桃3、紅桃4中的任意1張?？赡艹霈F(xiàn)4種結(jié)果。

師：大家真會(huì)思考。想一想，如果把紅桃4換成黑桃4，把撲克牌反扣在桌上，并打亂次序，任意摸出1張，可能摸出哪張？可能出現(xiàn)幾種結(jié)果呢？

生：4張牌都有可能，可能出現(xiàn)的結(jié)果是4種。

師：咦？明明把紅桃4換成了黑桃4，可能出現(xiàn)的結(jié)果還是4種。

生：因?yàn)橛?張牌，每張牌都有可能被摸到，所以還是4種。

師：如果設(shè)定游戲規(guī)則是，摸到紅桃老師贏，摸到黑桃你們贏，你們同意嗎？

生：不同意。

師：不是既有可能摸到紅桃，也有可能摸到黑桃嗎？

生：紅桃有3張，黑桃只有1張，摸到紅桃的可能性比摸到黑桃的可能性大。

師：你們的意思是說(shuō)可能性還有大小，真的是這樣嗎？你們猜老師一定贏，那我可不相信，我們也像科學(xué)家那樣來(lái)驗(yàn)證一下，看看可能性是否有大小。誰(shuí)來(lái)讀一下活動(dòng)要求？

（出示摸牌活動(dòng)要求：1.拿出信封中的牌和記錄單，四人一組，每組摸10次；2.每次摸牌前都要重新洗牌，把牌打亂；3.任意摸出1張，把摸出的結(jié)果用“正”字記錄下來(lái)）

師：大家都知道怎么玩這個(gè)游戲了吧，那就開(kāi)始吧。

（學(xué)生活動(dòng)，教師巡視）

師：我們先來(lái)看看第一組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，（如圖6）從這些數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了什么？

生：既摸到了紅桃又摸到了黑桃，摸到紅桃7次，黑桃3次。

師：8個(gè)組中有6個(gè)小組摸到的結(jié)果都是紅桃比黑桃多，1個(gè)組摸到的紅桃和黑桃一樣多，1個(gè)組摸到的是黑桃比紅桃多。

師：我們?cè)賮?lái)看看所有組，一共摸到紅桃多少次？黑桃呢？你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：紅桃一共是50次，黑桃一共是30次。

師：如果實(shí)驗(yàn)500次、1000次、5000次，結(jié)果會(huì)怎么樣？你又有什么想法？

生：摸到紅桃的可能性確實(shí)比摸到黑桃的可能性大。

師：第8組與你們說(shuō)的不一樣啊，這是怎么回事？

生：雖然摸到紅桃的可能性大，但是也不能說(shuō)摸到的紅桃數(shù)量一定比黑桃多，因?yàn)槊看蚊绞裁搭伾际请S機(jī)的，所以摸到黑桃多也是有可能的。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)摸牌游戲，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)并理解可能性的大小。當(dāng)牌面更換為三紅一黑后，學(xué)生開(kāi)始意識(shí)到可能性是有大小的，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，逐步理解隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，可能性大小的趨勢(shì)會(huì)更為明顯。同時(shí)，第8組的情況也提醒我們，隨機(jī)性意味著每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都是獨(dú)立的，因此即使可能性小的事件也有可能發(fā)生，這是隨機(jī)現(xiàn)象的重要特征。

師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)可能性的確有大小?？赡苄源笮『兔糠N牌的數(shù)量有關(guān)系。如果真這么玩，你們有贏的可能嗎？

生：有可能贏。第8組就摸到了8次黑桃，2次紅桃，這組男生就勝利了。所以我們是有機(jī)會(huì)贏的。

師：分析得不錯(cuò)，雖然紅桃贏的可能性大，但是黑桃也有贏的機(jī)會(huì)。如果給你一次調(diào)整的機(jī)會(huì)，你打算怎么調(diào)整？

生1：把紅桃3換成黑桃3，這樣紅桃、黑桃各有2張，游戲就公平了。

師：他說(shuō)的“游戲就公平了”，是什么意思？

生：因?yàn)?張牌中，紅桃占4份中的2份，黑桃也占4份中的2份，所以這個(gè)游戲是公平的。

生2：把紅桃2、紅桃3都換成黑桃，這樣紅桃1張，黑桃3張，我們贏的可能性就大了。

生3：把紅桃都換成黑桃，我們就一定贏了。

師：你們真會(huì)想辦法，從開(kāi)始你們不能贏，調(diào)整到你們一定能贏。我們回頭看一看你們是怎么做到的，從4張紅桃開(kāi)始，1張1張地調(diào)整為黑桃，從一定摸到紅桃到可能摸到紅桃，再到不可能摸到紅桃，老師贏的可能性由最大逐步減小，直到?jīng)]有。（如圖7）

【設(shè)計(jì)意圖】在組織學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推理與交流，感悟到“可能性有大有小和相等”后沒(méi)有停止，而是鼓勵(lì)學(xué)生換牌，在換牌調(diào)整中，感受一件事如何由確定事件變成不確定事件，又由不確定事件變成確定事件，感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力。

四、在裝球游戲中進(jìn)一步體會(huì)可能性的大小

師：既然可能性有大小，我們?cè)僮鲆粋€(gè)裝球游戲。請(qǐng)看活動(dòng)要求：一是這里有一些球，請(qǐng)選擇5個(gè)球裝在透明袋子里；二是任意摸1個(gè)球，可能是藍(lán)色球。

（學(xué)生分組活動(dòng)，教師巡視）

師：我們先來(lái)判斷一下，這8組同學(xué)裝的袋子，都符合“任意摸1個(gè)球，可能是藍(lán)色球”的要求嗎？（如圖8）

生：1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、8號(hào)袋子符合要求，而5號(hào)和7號(hào)袋子不符合。因?yàn)?號(hào)袋子里全是藍(lán)色球，所以摸出的球一定是藍(lán)色的，這不符合要求。而7號(hào)袋子里沒(méi)有藍(lán)色球，所以不可能摸出藍(lán)色球，也不符合要求。

師：既然在這6個(gè)袋子里都可以摸到藍(lán)色球，你們能把這6個(gè)袋子排排隊(duì)嗎？

（學(xué)生排隊(duì)，如圖9）

師：為什么把3號(hào)和4號(hào)放一起，1號(hào)和8號(hào)放在一起了？

生：我們是按照藍(lán)色球的數(shù)量排的。3號(hào)和4號(hào)放一起，這2個(gè)袋子里摸出藍(lán)色球的可能性大小是一樣的，它們都只有1個(gè)藍(lán)色球。從1號(hào)袋子和8號(hào)袋子里摸出藍(lán)色球的可能性大小也是一樣的，它們都只有2個(gè)藍(lán)色球。

師：非常好。我們看2號(hào)袋子，這里有4個(gè)藍(lán)色球，1個(gè)紅球。你們認(rèn)為摸出藍(lán)色球的可能性最大。如果我再往2號(hào)袋里裝一些藍(lán)色球，我能說(shuō)一定摸到藍(lán)色球嗎？

生：不能。因?yàn)槔锩嬗?個(gè)紅球，即使藍(lán)色球再多，也有可能摸到紅球。

師：我再往袋里裝藍(lán)色的球，裝500個(gè)、5000個(gè)、50000個(gè)……這時(shí)我能說(shuō)一定摸到藍(lán)色球嗎？

生：還是不行，只能說(shuō)摸到藍(lán)色球的可能性更大，因?yàn)橹灰虼镉袆e的顏色的球，就不能說(shuō)一定摸到藍(lán)色球。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)裝球游戲，讓學(xué)生在實(shí)踐中深化對(duì)可能性大小的理解，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中，形成對(duì)可能性及其大小的理性認(rèn)識(shí)，發(fā)展判斷、推理和創(chuàng)新意識(shí)。

五、可能性在生活中的應(yīng)用

師：隨著“五一”假期的臨近，商場(chǎng)計(jì)劃推出一項(xiàng)轉(zhuǎn)盤(pán)100%抽獎(jiǎng)活動(dòng)（轉(zhuǎn)盤(pán)平分為10份），旨在吸引更多的顧客。其中，一等獎(jiǎng)是價(jià)值500元的商品（紅色），二等獎(jiǎng)是價(jià)值100元的商品（藍(lán)色），三等獎(jiǎng)則是價(jià)值10元的商品（黃色）。如果你是商場(chǎng)經(jīng)理，你會(huì)如何設(shè)計(jì)各種獎(jiǎng)項(xiàng)顏色的占比呢？如果你是顧客，你又會(huì)希望如何設(shè)計(jì)呢？

生：我身為經(jīng)理，會(huì)從商場(chǎng)利益的角度出發(fā)，確保一等獎(jiǎng)的比例盡可能小，因此，我設(shè)定一等獎(jiǎng)的紅色區(qū)域只占據(jù)1份，二等獎(jiǎng)的藍(lán)色區(qū)域占據(jù)2份，而三等獎(jiǎng)的黃色區(qū)域則占據(jù)7份。

生：作為顧客，我自然希望有更多的機(jī)會(huì)贏得大獎(jiǎng)，因此我設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí)，一等獎(jiǎng)的紅色區(qū)域占據(jù)7份，二等獎(jiǎng)的藍(lán)色區(qū)域占2份，三等獎(jiǎng)的黃色區(qū)域只占1份。

生：我既從顧客的角度出發(fā)，又兼顧商場(chǎng)的利益，希望設(shè)計(jì)出一個(gè)相對(duì)公平的轉(zhuǎn)盤(pán)。因此，我設(shè)定一等獎(jiǎng)的紅色區(qū)域占據(jù)3份，二等獎(jiǎng)的藍(lán)色區(qū)域也是占據(jù)3份，而三等獎(jiǎng)的黃色區(qū)域占據(jù)4份。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)不同的角色和轉(zhuǎn)盤(pán)顏色的面積大小設(shè)定，使學(xué)生能夠深刻感受幾何概率與面積大小之間的關(guān)聯(lián)，從而啟發(fā)他們深入思考可能性的本質(zhì)，理解一般情況下，數(shù)量多即意味著份額大，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)生活之間的緊密聯(lián)系。

六、交流歸納，回顧總結(jié)

師：回顧整堂課，我們從摸球游戲開(kāi)始，逐步認(rèn)識(shí)了可能性的概念，又在摸牌活動(dòng)中深入體驗(yàn)了可能性的大小。最后，在實(shí)際應(yīng)用可能性的大小中完成了裝球活動(dòng)。請(qǐng)運(yùn)用今天學(xué)到的關(guān)于可能性的知識(shí)，寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)日記。

【設(shè)計(jì)意圖】撰寫(xiě)數(shù)學(xué)日記，不僅有助于學(xué)生梳理思路，增強(qiáng)書(shū)面表達(dá)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能形成積極的學(xué)習(xí)情感和習(xí)慣。同時(shí)，老師也能從中了解學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)思考方面的水平，更有針對(duì)性地進(jìn)行學(xué)業(yè)的指導(dǎo)。

（作者單位：北京市朝陽(yáng)區(qū)教育科學(xué)研究院，北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)新升分校） [WJ]