函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要板塊，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體．在綜合題的復(fù)習(xí)中，要突出函數(shù)的本體特征，以函數(shù)的具體形式為出發(fā)點(diǎn);科學(xué)選擇工具輔助分析，合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．

２０２４年北京市海淀區(qū)高三期末測試第２０題，立足于函數(shù)自身的特征，要求學(xué)生通過對函數(shù)形式的分析，逐漸抽絲剝繭，合理轉(zhuǎn)化函數(shù)形態(tài)，并適當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)解決問題．該題以不等式為研究起點(diǎn)、以函數(shù)極值為主要研究對象、以曲線切線為創(chuàng)新點(diǎn)逐漸展開，函數(shù)形式新穎，深度考查了學(xué)生對函數(shù)極值概念的理解以及基于函數(shù)自身性質(zhì)和圖像分析的解題方法，對函數(shù)綜合題的復(fù)習(xí)有一定的啟發(fā)意義．題目涉及的概念都是學(xué)生非常熟悉的，但是通過試卷反饋，學(xué)生對概念的準(zhǔn)確把握和函數(shù)形式的合理應(yīng)用還存在一定困難．本文通過對題目第（２）問的切線討論，探尋分析復(fù)雜問題的優(yōu)選路徑．此外，本文將重點(diǎn)研究題目第（１）問，結(jié)合變式，突出函數(shù)本體，優(yōu)化解題策略．

１ 題目分析解讀

題目 已知函數(shù)f（x）＝ax２－xsinx＋b．

（１）當(dāng)a＝１時，求證：

（?。┊?dāng)x＞０時，f（x）＞b;

（ⅱ）函數(shù)f（x）有唯一極值點(diǎn)．

（２）若曲線C１ 與曲線C２ 在某公共點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為C１ 和C２ 的“優(yōu)切線”．若曲線y＝f（x）與曲線y＝－cosx 存在兩條相互垂直的“優(yōu)切線”，求a，b 的值．

分析 從直觀上看，本題考查函數(shù)極值的概念與判定方法，以及基于新定義的曲線切線問題．更深層次地看，本題考查了函數(shù)形式的轉(zhuǎn)化以及題目設(shè)問的轉(zhuǎn)化，突出函數(shù)的本體功能和導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基本函數(shù)自身的變形，是設(shè)問由淺到深、分析問題的抓手由易到難的優(yōu)秀案例．

本題第（１）問和第（２）問的設(shè)問方式看似獨(dú)立，實(shí)則考查了同一內(nèi)核，即函數(shù)為體，導(dǎo)數(shù)為用．實(shí)際上，兩問都可以從函數(shù)的基本性質(zhì)入手，例如，求解第（１）問時，可對函數(shù)f（x）的解析式合理分拆重組，求解第（２）問時，先初步判斷三角函數(shù)的有界性，再借助導(dǎo)數(shù)解決問題．如果選擇一味地求導(dǎo)，只會讓問題越來越撲朔迷離，與原本的問題實(shí)質(zhì)漸行漸遠(yuǎn)．特別是第（２）問的切線問題，首先需要抓住簡單函數(shù)進(jìn)行處理，得到結(jié)論后再代入較復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，如果簡單列出導(dǎo)數(shù)求切線的基本步驟，很有可能止于復(fù)雜的計(jì)算，無功而返．接下來，我們從第（２）問開始談起．

２ 關(guān)于第（２）問中“優(yōu)切線”的分析與思考

在研究一般曲線在某點(diǎn)處的切線問題時，若導(dǎo)數(shù)f′（x）存在，可以運(yùn)用以下方法解決：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x０，f（x０）），函數(shù)f（x）在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，故得到切線方程

y－f（x０）＝f′（x０）（x－x０）．

就題目第（２）問而言，應(yīng)該先從函數(shù)本身出發(fā)，考慮到函數(shù)解析式的簡潔性，先處理y ＝ －cosx，記g（x）＝－cosx．根據(jù)題意，首先要求曲線自身存在相互垂直的兩條切線，這對于g（x）＝－cosx 而言非常直觀易得;而后再研究兩條曲線在公共點(diǎn)處的“優(yōu)切線”．g（x）＝－cosx 的導(dǎo)函數(shù)g′（x）＝sinx，其值域?yàn)閇－１，１]．設(shè)曲線y＝f（x）與曲線g（x）＝－cosx的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x１，x２，其斜率分別為k１，k２，則k１k２＝－１．因此兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值只能?。?和－１，即{sinx１，sinx２}＝{－１，１}，故切點(diǎn)的橫坐標(biāo)基本確定．

我們先選定一個符合條件的切點(diǎn)x１＝２kπ＋π／２（k∈Z），滿足sinx１＝１．根據(jù)題目的描述，兩條曲線在x１ 處有“優(yōu)切線”，其草圖大致如圖１所示．

條件等價于{f′（x１）＝g′（x１），f（x１）＝g（x１）． 函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為