摘 要：超大規(guī)模MIMO（extremely large-scale massive MIMO，XL-MIMO）是未來(lái)6G通信的關(guān)鍵技術(shù)之一。現(xiàn)有的XL-MIMO混合場(chǎng)信道模型大多對(duì)均勻線性陣列和單天線用戶之間信道建模，且采用散射體最后一跳模型。若收發(fā)雙端均配備線性陣列，現(xiàn)有的混合場(chǎng)信道估計(jì)方案將不再適用。為此，針對(duì)收發(fā)端均部署超大規(guī)模線性陣列的XL-MIMO場(chǎng)景，采用Saleh-Valenzuela模型進(jìn)行信道建模，并提出了一種基于正交匹配追蹤（OMP）的混合場(chǎng)信道估計(jì)算法。該算法首先利用角域變換矩陣對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)分量進(jìn)行估計(jì)，然后通過極域變換矩陣估計(jì)近場(chǎng)分量。此外，引入克拉美羅-下界（CRLB）對(duì)所提算法進(jìn)行評(píng)估。仿真結(jié)果表明，提出的混合場(chǎng)估計(jì)算法相較于僅考慮遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的估計(jì)算法在信道估計(jì)性能上有約0.6 dB的提升。

關(guān)鍵詞：超大規(guī)模MIMO； 信道估計(jì)； 混合場(chǎng)； 線性陣列； 克拉美羅-下界

中圖分類號(hào)：TP929.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2024）10-034-3124-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2024.01.0042

Hybrid field channel estimation algorithm for extremely large-scale MIMObased on uniform linear array

Wang Dan， Fang Jiening， Xie Changjiang

（School of Communications and Information Engineering， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China）

Abstract：Extremely large-scale massive MIMO （XL-MIMO） emerges as a crucial technology for future 6G communication. Existing XL-MIMO hybrid-field channel models primarily model channels between uniform linear arrays and single-antenna users， employing the last-hop model of scatterers. However， if both transmitter and receiver are equipped with linear arrays， existing hybrid-field channel estimation schemes become inadequate. To address this， this paper proposed a channel modeling approach for XL-MIMO scenarios with both transmitter and receiver equipped with large-scale linear arrays， utilizing the Saleh-Valenzuela model. Additionally，it introduced a hybrid-field channel estimation algorithm based on orthogonal matching pursuit（OMP）. This algorithm initially estimated far-field components using the angle-domain transformation matrix， followed by estimating near-field components using the polar-domain transformation matrix. Furthermore，it introduced the Cramér-Rao lower bound（CRLB） to evaluate the proposed algorithm. Simulation results demonstrate approximately 0.6 dB improvement in channel estimation performance compared to algorithms considering only far-field and near-field components.

Key words：XL-MIMO; channel estimation; hybrid field; linear arrays; CRLB

0 引言

超大規(guī)模MIMO （XL-MIMO）已被視為增強(qiáng)未來(lái)6G無(wú)線通信系統(tǒng)傳播環(huán)境的創(chuàng)新技術(shù)[1]。通過為基站（BS）配備極大量的天線，XL-MIMO可以有效地提高波束形成增益和頻譜效率。大規(guī)模MIMO的各種應(yīng)用已經(jīng)在文獻(xiàn)[2]得到了廣泛的研究。

主流的大規(guī)模MIMO低導(dǎo)頻開銷信道估計(jì)方法通常假設(shè)信道為遠(yuǎn)場(chǎng)信道模型或近場(chǎng)信道模型。由于遠(yuǎn)場(chǎng)的特性，其陣列導(dǎo)向矢量?jī)H取決于信道路徑的角度，所以遠(yuǎn)場(chǎng)在角度域中具有稀疏性。因此，可以使用離散傅里葉變換（DFT）矩陣將信道轉(zhuǎn)換為稀疏角度域的表示，并且文獻(xiàn)[3～5]已經(jīng)提出了基于壓縮感知的信道估計(jì)方法。而對(duì)于近場(chǎng)信道模型，其陣列導(dǎo)向矢量除與路徑角度有關(guān)外，還與距離參數(shù)有關(guān)。由于DFT矩陣不再適用于這種情況，所以文獻(xiàn)[6]提出了極域變換矩陣，利用極域中的信道稀疏性使用較少數(shù)量的導(dǎo)頻進(jìn)行準(zhǔn)確的信道估計(jì)。針對(duì)均勻平面陣列（UPA），文獻(xiàn)[7]提出了一種低復(fù)雜度的順序角度-距離信道估計(jì)算法（SADCE）。通過對(duì)角度和距離的解耦，設(shè)計(jì)了一種用于角度參數(shù)估計(jì)的二維傅里葉變化（2D-DFT）方法。同時(shí)提出了一種具有閉式解的低復(fù)雜度的距離估計(jì)方法。

在現(xiàn)有的遠(yuǎn)場(chǎng)或近場(chǎng)信道模型中，假設(shè)所有的散射體要么在遠(yuǎn)場(chǎng)，要么在近場(chǎng)。實(shí)際上，XL-MIMO系統(tǒng)的信道模型更可能為混合場(chǎng)，其中一些散射體位于遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，而另一些散射體位于近場(chǎng)區(qū)域[8]。因此，文獻(xiàn)[8]首次提出了混合場(chǎng)信道模型，并且結(jié)合混合場(chǎng)信道模型提出了一種基于混合場(chǎng)的OMP信道估計(jì)算法（HF-OMP）。

針對(duì)混合場(chǎng)信道，現(xiàn)有方法實(shí)現(xiàn)有效估計(jì)的最大困難是遠(yuǎn)場(chǎng)路徑和近場(chǎng)路徑的比例未知。文獻(xiàn)[9]提出了一種混合場(chǎng)信道估計(jì)方案，該方案的目標(biāo)是先確定遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)分量比例值，然后再完成混合場(chǎng)信道的估計(jì)。文獻(xiàn)[10]提出了一種混合場(chǎng)降秩MUSIC（H-RM）信道估計(jì)方法，利用MUSIC算法對(duì)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解，進(jìn)而可以估計(jì)出混合場(chǎng)接收信號(hào)中近場(chǎng)分量和遠(yuǎn)場(chǎng)分量。為了解決混合場(chǎng)信道估計(jì)性能嚴(yán)重依賴采樣角度和距離的分辨率問題，文獻(xiàn)[11]提出了一種基于交替方向乘法器（ADMM）的混合場(chǎng)上行信道估計(jì)方法，將XL-MIMO信道估計(jì)問題公式化為具有兩個(gè)范數(shù)約束的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[12]通過將近似消息傳遞（AMP）算法確定的信道參數(shù)饋送到特別設(shè)計(jì)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）中來(lái)實(shí)現(xiàn)兩步估計(jì)策略。在這個(gè)兩階段預(yù)測(cè)系統(tǒng)中，CNN增強(qiáng)了壓縮感知算法的輸出。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于卷積自動(dòng)編碼器（CAE）的混合場(chǎng)信道估計(jì)方法，提高了正交匹配追蹤（OMP）算法的錯(cuò)誤性能和魯棒性，特別是在低信噪比條件下。文獻(xiàn)[14]提出了一種去偽峰混合場(chǎng)信道估計(jì)方案，通過偽峰角度與真實(shí)角度之間的函數(shù)關(guān)系，判斷出信道的真實(shí)角，大大降低了信道估計(jì)的均方誤差。

上述XL-MIMO混合場(chǎng)信道估計(jì)算法中，都是對(duì)配置均勻線性陣列的基站以及單天線用戶之間信道進(jìn)行建模。但是在實(shí)際通信場(chǎng)景中，發(fā)送端和接收端都可能配備了超大規(guī)模天線陣列。例如，車輛頂部安裝了超大規(guī)模天線陣列[15，16]，同時(shí)發(fā)射端也部署了超大規(guī)模天線陣列。因此，上述混合場(chǎng)信道估計(jì)算法無(wú)法運(yùn)用到收發(fā)端均為線性陣列場(chǎng)景中。此外，現(xiàn)有的混合場(chǎng)信道模型都是基于散射體最后一跳模型，但是在實(shí)際的通信場(chǎng)景中，應(yīng)該考慮所有散射體路徑之間的影響?；谑瞻l(fā)端都部署超大規(guī)模均勻線性天線陣列并且采用Saleh-Valenzuela模型對(duì)混合場(chǎng)信道進(jìn)行建模，在該模型基礎(chǔ)上基于OMP算法提出了一種混合場(chǎng)信道估計(jì)算法。仿真結(jié)果表明，提出的混合長(zhǎng)信道估計(jì)算法在較低導(dǎo)頻開銷的情況下，比文獻(xiàn)[3，6，9]取得更好的信道估計(jì)性能，在XL-MIMO系統(tǒng)收發(fā)陣列均為線性陣列情況下提高了混合場(chǎng)信道估計(jì)的性能。

1 系統(tǒng)模型

如圖1所示，在XL-MIMO混合場(chǎng)系統(tǒng)模型中，發(fā)射端和接收端都部署了超大規(guī)模均勻線性陣列天線，其中發(fā)射端天線數(shù)為N1，接收端天線數(shù)為N2。

1.1 信號(hào)模型

由于天線陣列通常采用數(shù)字-模擬混合方式實(shí)現(xiàn)，并配備有一定數(shù)量的射頻（RF）鏈，所以假設(shè)發(fā)射陣列和接收陣列的RF鏈數(shù)為NRFt和NRFr。假設(shè)H∈Euclid ExtracBpN2×N1表示從發(fā)送端到接收端的信道，則接收端對(duì)應(yīng)信號(hào)可以表示為

ym=WHQsm+nm（1）

其中：ym∈Euclid ExtracBpNRFr×1，W∈Euclid ExtracBpNRFr×N2，Q∈Euclid ExtracBpN1×NRFt，sm∈Euclid ExtracBpNRF×1t分別表示第m個(gè)時(shí)隙的接收信號(hào)，混合合并矩陣，混合預(yù)編碼矩陣以及發(fā)送導(dǎo)頻信號(hào)，nm～Euclid Math OneCApEuclid Math OneNAp（0，σ2INRFr）表示第m個(gè)時(shí)隙均值為0，方差為σ2的高斯復(fù)噪聲。其中合并矩陣和預(yù)編碼矩陣中每個(gè)元素W［i］，Q［i］應(yīng)分別滿足1/N2，1/N1的恒模約束。令pm=Qsm∈Euclid ExtracBpN1×1，則接收端在M個(gè)時(shí)隙內(nèi)接收到的導(dǎo)頻信號(hào)可表示為

Y=WHP+N（2）

其中：P=［p1，p2，…，pM］∈Euclid ExtracBpN1×M，Y=［y1，y2，…，yM］∈Euclid ExtracBpNRFr×M表示發(fā)送導(dǎo)頻和接收導(dǎo)頻信號(hào)；N=［n1，n2，…，nM］∈Euclid ExtracBpNRFr×1表示接收噪聲，且N～Euclid Math OneCApEuclid Math OneNAp（0，σ2INRFrIM）。在XL-MIMO系統(tǒng)中，發(fā)送天線陣列N1的數(shù)量通常很大。因此，為了減少實(shí)際通信系統(tǒng)中的導(dǎo)頻開銷，應(yīng)當(dāng)利用具有低開銷的信道估計(jì)方案，即導(dǎo)頻數(shù)量應(yīng)小于發(fā)送天線數(shù)（M<N1）。

1.2 信道模型

天線孔徑為D1的發(fā)送陣列和天線孔徑為D2的接收陣列之間的混合場(chǎng)信道模型如圖2所示?，F(xiàn)有的XL-MIMO混合場(chǎng)信道估計(jì)算法大多都是只考慮散射體最后一跳模型，即只對(duì)散射體到接收陣列一方路徑進(jìn)行建模，忽略發(fā)送陣列到散射體一方路徑，這在實(shí)際場(chǎng)景中是不可行的。為了更好地描述信道特性，對(duì)發(fā)送陣列到散射體和散射體到接收陣列兩方路徑進(jìn)行建模。

1.2.1 近場(chǎng)信道模型

當(dāng)散射體與天線陣列之間距離小于瑞麗距離Z=2D2/λ時(shí)，其中D為天線陣列孔徑，λ表示波長(zhǎng)。此時(shí)模型應(yīng)建模為近場(chǎng)信道，利用近場(chǎng)陣列導(dǎo)向矢量代替遠(yuǎn)場(chǎng)陣列導(dǎo)向矢量來(lái)對(duì)近場(chǎng)XL-MIMO信道進(jìn)行建模[17]，其表示為

Hnear-field=∑lnl=1glb（θlr，dlr）bH（θlt，dlt）（3）

其中：ln表示近場(chǎng)路徑數(shù)；gl表示近場(chǎng)路徑復(fù)增益；b（θlr，dlr）、bH（θlt，dlt）分別表示基于球面波假設(shè)建模的發(fā)射端和接收端的近場(chǎng)陣列導(dǎo)向矢量，其表示為

b（θlt，dlt）=1N1［e-j2πλ（dlt（1）-dlt），…，e-j2πλ（dlt（N1）-dlt）］H（4）

b（θlr，dlr）=1N2［e-j2πλ（dlr（1）-dlr），…，e-j2πλ（dlr（N2）-dlr）］H（5）

其中：θlt、θlr分別表示發(fā)送陣列天線和接收陣列天線處第l條路徑的角度；dlt、dlr表示第l個(gè)散射體到發(fā)射陣列天線和接收陣列天線的中心距離；dlt（n1）、dlr（n2）為第l個(gè)散射體到發(fā)送陣列天線n1的距離和接收陣列天線n2的距離，可以表示為

dlt（n1）=dlt2+δ2n1d2-2dltδn1d sinθlt（6）

dlr（n2）=dlr2+δ2n2d2-2dlrδn2d sin θlr（7）

其中：d=λ/2表示天線間距;δn1、δn2分別表示發(fā)送天線n1和接受天線n2與中心陣列天線距離，其表達(dá)式如下：

δn1=2n1-N1-12 n1=1，2，…，N1（8）

δn2=2n2-N2-12 n2=1，2，…，N2（9）

由于近場(chǎng)導(dǎo)向矢量引進(jìn)了距離參數(shù)，導(dǎo)致其在角度域存在嚴(yán)重的能量擴(kuò)散問題，傳統(tǒng)的傅里葉變換矩陣（DFT）不適用于近場(chǎng)信道，如圖3所示。為了探究近場(chǎng)信道的稀疏性，文獻(xiàn)[6]提出了近場(chǎng)的極域表示，近場(chǎng)路徑在該域中具有稀疏性，其中極域變換矩陣表示為

Dt=［b（θ1，d11），…，b（θ1，dS11），…，b（θN1，d1N1），…，b（θN1，dSN1N1）］（10）

Dr=［b（θ1，d11），…，b（θ1，dS11），…，b（θN2，d1N2），…，b（θN2，dSN2N2）］（11）

其中：矩陣Dt、Dr中每列元素表示在角度θn1（θn2）和距離dsn1n1（dsn2n2）上采樣的近場(chǎng)陣列導(dǎo)向矢量，其中sn=1，2，…，Sn1（Sn2），Sn1（Sn2）表示在角度θn1（θn2）上的采樣距離點(diǎn)數(shù)。通過計(jì)算每個(gè)角度上的采樣距離點(diǎn)數(shù)，可以得出矩陣Dt、Dr的列數(shù)滿足S1=∑N1n1=1Sn1，S2=∑N2n2=1Sn2。

在構(gòu)造近場(chǎng)極域變換矩陣時(shí)，應(yīng)對(duì)角度θn進(jìn)行均勻采樣，對(duì)距離rs進(jìn)行非均勻采樣[6]，如式（12）～（14）所示。

rs=1sZΔ（1-θ2） s=0，1，2，3，…（12）

ZΔ=N2d22λcβ2Δ（13）

θn=2n-N+1N n=0，1，…，N-1（14）

其中：βΔ為門限閾值；基于上述極域變換矩陣Dtn、Drn，可將近場(chǎng)信道表示為

Hnear-field=DrHPnDtH（15）

其中：HPn∈Euclid ExtracBpS2×S1表示極域XL-MIMO信道，其在極域中具有稀疏性。

1.2.2 遠(yuǎn)場(chǎng)信道模型

當(dāng)散射體與天線陣列之間距離大于瑞麗距離時(shí)，信道位于遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，信道模型應(yīng)基于平面波進(jìn)行建模，此時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)陣列導(dǎo)向矢量只與角度參數(shù)有關(guān)。遠(yuǎn)場(chǎng)信道模型表示為

Hfar-field=∑lfl=1αla（θlr）a（θlt）（16）

其中：lf為遠(yuǎn)場(chǎng)路徑數(shù);αl表示遠(yuǎn)場(chǎng)路徑復(fù)增益;a（θlr）、a（θlt）分別表示接收陣列天線和發(fā)送天線處的遠(yuǎn)場(chǎng)陣列導(dǎo)向矢量。

a（θlt）=1N1［e-jη1n1πθlt，…，e-jηN1n1πθlt］（17）

a（θlr）=1N2［e-jη1n2πθlr529198ea8eb27618fc2d0835536a9dd6，…，e-jηN2n2πθlr］（18）

其中：θlt=2dλsin（φl(shuí)t），θlr=2dλsin（φl(shuí)r），其中φl(shuí)t，φl(shuí)r分別表示第l條遠(yuǎn)場(chǎng)路徑在發(fā)送天線陣列和接收天線陣列處的實(shí)際物理角度，取值為（-π2，π2），ηnn1=2n1-N1-12，ηnn2=2n2-N2-12。

在XL-MIMO通信環(huán)境中，由于散射體的數(shù)量是有限的，如圖3所示。此遠(yuǎn)場(chǎng)信道在角域具有稀疏性。為了減少信道導(dǎo)頻的開銷，上述遠(yuǎn)場(chǎng)非稀疏信道可通過稀疏角域信道表示：

Hfar-field=FrHPfHHt（19）

其中：HPf為遠(yuǎn)場(chǎng)稀疏角域信道；Ft、Fr分別表示發(fā)送端和接收端處陣列導(dǎo)向矢量的傅里葉（DFT）變換矩陣，其表示為

Ft=［a（β1t），…，a（βN1t）］（20）

Fr=［a（β1r），…，a（βN2r）］（21）

其中：βn1t=2n1-N1-12、βn2r=2n2-N2-12分別表示遠(yuǎn)場(chǎng)導(dǎo)向矢量在發(fā)送陣列和接收陣列處的采樣角度。對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)路徑分量的變換矩陣，其角度采樣滿足均勻采樣。

1.2.3 混合場(chǎng)信道模型

實(shí)際XL-MIMO通信環(huán)境中的散射體可能會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在近場(chǎng)區(qū)域和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，如圖1所示。此時(shí)的信道包含了遠(yuǎn)場(chǎng)路徑分量和近場(chǎng)路徑分量，因此考慮兩種路徑分量將信道建模為混合場(chǎng)信道是更合適且可行的。本文基于發(fā)送端和接收端都部署了超大規(guī)模的均勻線性陣列天線通信場(chǎng)景，并且考慮了所有散射體路徑的影響而非最后一跳模型，提出的混合場(chǎng)信道模型表示為

Hhybrid-field=Hfar-field+Hnear-field=

Fr（∑Llf=1αlfa（θlfr）aH（θlft））FHt+

Dr（∑Sln=1αlnb（θlnr，dlnr）b（θlnt，dlnt））DHt（22）

其中：第一項(xiàng)和第二項(xiàng)表示遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)路徑分量；L、S分別表示遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)路徑數(shù)；αlf～Euclid Math OneCApEuclid Math OneNAp（0，pf），αln～Euclid Math OneCApEuclid Math OneNAp（0，pn）分別表示遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)信道分量的路徑增益，其中pf和pn是兩個(gè)信道的大尺度衰落因子；θlft，θlfr為遠(yuǎn)場(chǎng)路徑的角度參數(shù)；θlnt，θlnr為近場(chǎng)路徑的角度參數(shù)；dlnt，dlnn為近場(chǎng)路徑的距離參數(shù)。

2 混合場(chǎng)信道估計(jì)算法

現(xiàn)有的混合場(chǎng)信道估計(jì)算法都是基于BS端部署了超大規(guī)模MIMO和單天線用戶通信模型，對(duì)于收發(fā)端都部署了超大規(guī)模MIMO的通信場(chǎng)景，這些算法將不再適用。在現(xiàn)有的OMP算法基礎(chǔ)上，結(jié)合提出的混合場(chǎng)信道模型，提出了一種混合場(chǎng)信道估計(jì)算法。其基本思想是基于不同的信道變換矩陣，首先估計(jì)出遠(yuǎn)場(chǎng)路徑分量，其次消除遠(yuǎn)場(chǎng)路徑分量的影響，再對(duì)近場(chǎng)路徑分量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)式（2）（6）（9）接收信號(hào)可以進(jìn)一步表示為

Y=WHfar-fieldP+WHnear-fieldP+N=

WFrHPfFHtP+WDrHPnDHtP+N（23）

其中：Hfar-field和Hnear-field分別表示XL-MIMO混合場(chǎng)信道的遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)路徑分量。HPf表示角度域中的遠(yuǎn)場(chǎng)路徑分量，而HPn表示極坐標(biāo)域中的近場(chǎng)路徑分量，它們都是稀疏的。因此可以利用較少的導(dǎo)頻開銷單獨(dú)估計(jì)HPf和HPn，進(jìn)而直接獲得整個(gè)混合場(chǎng)信道的估計(jì)結(jié)果。

相較于現(xiàn)有的混合場(chǎng)信道估計(jì)算法，本文算法更關(guān)注于矩陣而不是向量之間的運(yùn)算。本文混合場(chǎng)信道估計(jì)算法具體流程可以總結(jié)為算法1所示。算法中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)符號(hào)argmax‖·‖22、vec（·）、floor（·）、mod（·）、分別表示求向量模值的最大值位置、矩陣向量化、向下求整、取余數(shù)以及克羅內(nèi)克積。

算法1 本文混合場(chǎng)信道估計(jì)算法

輸入：接收信號(hào)Y；本地導(dǎo)頻P；混合預(yù)編碼矩陣W；遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)送端變換矩陣Ft;遠(yuǎn)場(chǎng)接收端變換矩陣Fr;近場(chǎng)發(fā)送端變換矩陣Dt;近場(chǎng)接收端變換矩陣Dr；遠(yuǎn)場(chǎng)路徑分量數(shù)L;近場(chǎng)路徑分量數(shù)S。

輸出：信道估計(jì)結(jié)果H^。

初始化：初始遠(yuǎn)場(chǎng)原子支撐集Ωf=，Ωtf=，Ωrf=，初始近場(chǎng)原子支撐集Ωn=，Ωtn=，Ωrn=，初始?xì)埐罹仃嘡=Y，初始遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)稀疏矩陣A=0N1N2×1，B=0S1S2×1。

階段一：遠(yuǎn)場(chǎng)路徑分量估計(jì)

a）計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)傳感矩陣At=FtHP，Ar=WFr；

b）根據(jù)表達(dá)式：nf=argmax‖vec（AHrRAHt）‖22，找到與當(dāng)前遠(yuǎn)場(chǎng)路徑lf相關(guān)性最強(qiáng)的支撐索引nf；根據(jù)計(jì)算的支撐索引nf，通過式子： ntf=floor（（nf-1）/N2）+1，nrf=mod（nf-1，N2）+1分別計(jì)算出傳感矩陣At，At的索引ntf，nrf；將索引更新到集合Ωf=Ωf∪nf，Ωtf=Ωtf∪ntf，Ωrf=Ωrf∪nrf；

c）更新遠(yuǎn)場(chǎng)稀疏矩陣A=［A At（Ωtf，：）HAr（：，Ωrf）］；基于更新的遠(yuǎn)場(chǎng)支撐集合Ωf，通過最小二乘算法h^f（Ωf）=（AHA）-1AHvec（Y）計(jì)算當(dāng)前遠(yuǎn)場(chǎng)稀向量h^f；將遠(yuǎn)場(chǎng)稀疏向量h^f轉(zhuǎn)成N2×N1維矩陣Hf^；

d）更新遠(yuǎn)場(chǎng)殘差矩陣：R=Y-ArH^fAt；

e）令t=t+1，如果t≤L返回步驟b）繼續(xù)迭代，否則結(jié)束迭代，保留最后一次迭代的遠(yuǎn)場(chǎng)稀疏矩陣H^f；

階段二：近場(chǎng)路徑分量估計(jì)

f）計(jì)算近場(chǎng)傳感矩陣Bt=DtHP，Br=WDr；

g）根據(jù)表達(dá)式：nn=argmax‖vec（BHrRBHt）‖22，找到與當(dāng)前近場(chǎng)路徑ln相關(guān)性最強(qiáng)的支撐索引nn；根據(jù)計(jì)算的支撐索引nn，通過式子： ntn=floor（（nn-1）/S2）+1，nrn=mod（nn-1，S2）+1分別計(jì)算出傳感矩陣Bt，Bt的索引ntn，nrn；將索引更新到集合Ωn=Ωn∪nn，Ωtn=Ωtn∪ntn，Ωrn=Ωrn∪nrn；

h）更新近場(chǎng)稀疏矩陣B=［B Bt（Ωtn，：）HBr（：，Ωrn）］；基于更新的近場(chǎng)支撐集合Ωn，通過最小二乘算法h^n（Ωn）=（BHB）-1BH vec（Y）計(jì)算當(dāng)前近場(chǎng)稀向量h^n；將近場(chǎng)稀疏向量h^n轉(zhuǎn)成S2×S1維矩陣H^n；

i）更新近場(chǎng)殘差矩陣：若Ωf≠，則R=Y-ArH^fAt-BrH^nBt，否則R=Y-BrH^nBt；

j）令t=t+1，如果t≤S返回步驟g）繼續(xù)迭代，否則結(jié)束迭代，保留最后一次迭代的遠(yuǎn)場(chǎng)稀疏矩陣H^n；

階段三：輸出信道估計(jì)結(jié)果

k）對(duì)估計(jì)信道矩陣初始化：H^=0N2×N1；

l）若遠(yuǎn)場(chǎng)支撐集合Ωf≠，則H^=H^+FrH^fFHt；若近場(chǎng)支撐集合

Ωn≠ ，則H^=H^+DrH^nDHt；

算法復(fù)雜度分析如下：階段一和二的計(jì)算復(fù)雜度主要來(lái)自步驟b）g）和步驟c）h）相關(guān)性的計(jì)算和最小二乘法的計(jì)算，可以分別表示為O（N1N2（N1+N2）L）和O（N1N2（S1+S2）S）。第三階段的計(jì)算復(fù)雜度來(lái)自步驟l）中混合場(chǎng)信道估計(jì)結(jié)果的計(jì)算，表示為O（（N1+N2）（S1+S2））。因此，算法總計(jì)算復(fù)雜度為O（N1N2（N1+N2）L）+O（N1N2（S1+S2）S）+O（（N1+N2）（S1+S2））。

3 克拉美-羅下界

為了評(píng)估算法的性能，引入了克拉美-羅下界（CRLB）對(duì)算法性能進(jìn)行評(píng)估。CRLB界是評(píng)估信道估計(jì)算法的MSE的理論界。利用克羅內(nèi)克積和矩陣乘積的結(jié)合性質(zhì)，即引理vec（ABC）=（CTA）vec（B），可將式（2）表示為

y=（PTW）h+n=Qh+n（24）

其中：y，Q，h，n可以表示為

y=vec（y）∈Euclid ExtracBpNRFrM×1，h=vec（H）∈Euclid ExtracBpN1N2×1（25）

n=vec（N）∈Euclid ExtracBpNRFrM×1，Q=（PTW）∈Euclid ExtraaBpNRFrM×N1N2（26）

由于Q為實(shí)數(shù)矩陣，y，h，n為復(fù)數(shù)向量，所以可以將式（24）分解成實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，如式（27）（28）所示。

yu=Qhu+nu（27）

yv=Qhv+nv（28）

其中：yu=Re（y），yv=Im（y），hu=Re（h），hv=Im（h），nu=Re（n），nv=Im（n）。若將信道估計(jì)結(jié)果表示為h^=h^u+h^v，則無(wú)偏估計(jì)量CRLB可以分為兩部分，如式（29）所示。

CRLB=CRLBu+CRLBv=E{‖h^-h‖2}=

E{‖h^u-hu‖2}+{‖h^v-hv‖2}（29）

在式（27）中，由于nu服從均值為0，方差為σ2的高斯分布。對(duì)于給定的hu，yu的條件概率密度函數(shù)可以表示為

pyu|hu（yu;hu）=1（2πσ2）NRFrM/2exp{-12σ2‖yu-Qhu‖2}（30）

通過計(jì)算條件概率密度函數(shù)pyu|hu（yu;hu）在參數(shù)hu處的負(fù)二階導(dǎo)數(shù)的期望，yu的費(fèi)舍爾信息矩陣可以由式（31）表示。

［J］m，n-Epyu|hu（yu;hu） hu，m hu，n=1σ2［QHQ］m，n（31）

其中：hu，m、hu，n分別表示矩陣hu的第m和n個(gè)元素。通過式（29）（31），yu的克拉美-羅下界CRLBu可以表示為

CRLBu=E{‖hu^-hu‖2}≥Tr{J-1u}=σ2Tr{（QHQ）-1}（32）

其中：Tr{·}表示矩陣的跡。由于Q=（PTW），式（32）中的（QHQ）-1可以進(jìn)一步表示為

（QHQ）-1=（（PTW）H（PTW））-1=

（（PPH）T（WHW））-1=

（（PPH）-1）T（WHW）-1（33）

通過式（33），Tr{（QHQ）-1}可以進(jìn)一步表示為

Tr（（QHQ）-1）=Tr（（（PPH）-1）T）Tr（（WHW）-1）=

Tr（（PPH）-1）Tr（（WHW）-1）=

（∑N1i=1λ-1i）（∑N2j=1η-1j）≥

N1（N1/∑N1i=1λi）N2（N2/∑N2j=1ηj）=

N21Tr{PPH}N22Tr{WWH}（34）

其中：λi，ηj分別表示矩陣PPH和WWH的特征值。若滿足λ1=λ2=…=λN1，η1=η2=…=ηN2，則式（34）等號(hào)成立，即導(dǎo)頻矩陣PH和混合預(yù)編碼矩陣W的列是正交的。由Hermite矩陣的性質(zhì)可得，此時(shí)Tr{PPH}=N1M，Tr{WWH}=N2NRFr。在這種情況下，可將式（35）表示為

CRLBu=E{‖h^u-hu‖2}=σ2N1N2MNRFr（35）

由于CRLBu和CRLBv有著相同的形式，所以CRLBu=CRLBv=σ2N1N2MNRFr，式（29）可以表示為

CRLB=CRLBu+CRLBv=2σ2N1N2MNRFr（36）

4 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提混合場(chǎng)信道估計(jì)算法的性能，與文獻(xiàn)[3]只考慮遠(yuǎn)場(chǎng)分量算法、文獻(xiàn)[6]的近場(chǎng)分量的信道估計(jì)算法、文獻(xiàn)[9]提出的混合場(chǎng)信道估計(jì)算法以及CRLB下界進(jìn)行歸一化均方誤差（NMSE）性能對(duì)比。其中信道估計(jì)算法和CRLB的NMSE定義如式（37）（38）所示。

NMSEh=E‖h-h^‖22‖h‖2（37）

NMSECRLB=ECRLB‖h‖22（38）

其中：E［·］表示數(shù)學(xué)期望；‖·‖22表示求向量模的平方；h為真實(shí)信道；為各種信道估計(jì)算法輸出的估計(jì)結(jié)果；CRLB是利用式（36）計(jì)算出來(lái)的克拉美-勞下界。

利用MATLAB仿真工具搭建XL-MIMO混合場(chǎng)信道模型進(jìn)行相關(guān)仿真，首先根據(jù)式（3）和（16）分別搭建近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)信道，再通過式（22）構(gòu)建混合場(chǎng)信道模型，其中遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的大尺度衰落因子分別為ρf=ρ0（dbr/d0）-αf，ρn=ρ0（dbr/d0）-αn，其中ρ0=-30 dB表示在參考距離d0=1 m處的大尺度衰落因子，dbr=100 m為收發(fā)天線距離，αf～Euclid Math OneUAp（2，4），αn～Euclid Math OneUAp（2，4）分別是遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的路徑損耗指數(shù)，最后通過式（2）構(gòu)造接收信號(hào)Y。通過文獻(xiàn)[7]中的算法1構(gòu)造近場(chǎng)極域變換矩陣Dt、Dr，遠(yuǎn)場(chǎng)變換矩陣Ft、Fr通過式（20）（21）構(gòu)造，其中N1，N2設(shè)置為256和128。本文算法中的導(dǎo)頻矩陣P和混合預(yù)編碼矩陣W通過MATLAB的rand函數(shù)生成分別滿足1M，1N2衡模約束的N1×M和NRFr×N2維均勻分布隨機(jī)矩陣。仿真過程中信噪比SNR定義為1/σ2，本文算法仿真涉及到參數(shù)如表1所示。

本文仿真對(duì)比結(jié)果中的遠(yuǎn)場(chǎng)，近場(chǎng)和混合場(chǎng)的NMSE性能分別由文獻(xiàn)[3]的算法1，文獻(xiàn)[6]的算法2和文獻(xiàn)[9]的算法1計(jì)算得出，本文算法NMSE性能由算法1計(jì)算得出。

如圖4所示，對(duì)比了本文算法與文獻(xiàn)[3]遠(yuǎn)場(chǎng)算法、文獻(xiàn)[6]近場(chǎng)算法、文獻(xiàn)[9]混合場(chǎng)算法以及CRLB界在信噪比為0～10 dB下的NMSE性能，其中導(dǎo)頻長(zhǎng)度設(shè)置為72，遠(yuǎn)場(chǎng)路徑數(shù)L和近場(chǎng)路徑數(shù)S都設(shè)置為3。由仿真結(jié)果可知，隨著信噪比的增大，所有信道估計(jì)算法的NMSE都隨之減小?；谶h(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的信道估計(jì)算法性能相近，本文算法均方誤差最小。由于導(dǎo)頻矩陣PH和混合預(yù)編碼矩陣W的列元素并不是正交的，導(dǎo)致實(shí)際的信道估計(jì)算法NMSE性能達(dá)不到CRLB下界。因此，在混合場(chǎng)信道條件下，本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)更好的信道估計(jì)結(jié)果，比文獻(xiàn)[3，6]道估計(jì)算法有0.6 dB左右的提升，比文獻(xiàn)[9]算法提升約0.3 dB。

圖5在信噪比為5 dB情況下，對(duì)比了不同算法在導(dǎo)頻長(zhǎng)度為40～80下的NMSE性能，遠(yuǎn)場(chǎng)路徑數(shù)L和近場(chǎng)路徑數(shù)S都設(shè)置為3。隨著導(dǎo)頻長(zhǎng)度的增加，NMSE都隨之下降。混合場(chǎng)算法的NMSE性能更接近CRLB下界，比文獻(xiàn)[3，6]信道估計(jì)算法有0.6 dB左右的提升，比文獻(xiàn)[9]提升了0.4 dB左右。結(jié)果表明，所提算法在使用較少導(dǎo)頻開銷的情況下，能夠獲得更好的信道估計(jì)結(jié)果。

圖6為在信噪比為5 dB條件下，不同算法在不同遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)路徑下的NMSE性能，其中導(dǎo)頻長(zhǎng)度設(shè)置為72。由式（36）可知，CRLB下界與路徑數(shù)量無(wú)關(guān)，因此在對(duì)比不同路徑數(shù)下算法的NMSE性能時(shí)不考慮CRLB下界。其中圖6（a）近場(chǎng)路徑數(shù)為3，遠(yuǎn)場(chǎng)路徑數(shù)量取值為[2，10]。圖6（b）遠(yuǎn)場(chǎng)路徑數(shù)為3，近場(chǎng)路徑數(shù)量取值為[2，10]。從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，不管是遠(yuǎn)場(chǎng)路徑增加還是近場(chǎng)路徑增加，本文算法NMSE性能均好于遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)信道估計(jì)算法，且NMSE穩(wěn)定在-4 dB左右。由此可知，本文算法在不同遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)路徑數(shù)量下都能夠達(dá)到良好的信道估計(jì)效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于收發(fā)端均部署了均勻線性陣列的超大規(guī)模MIMO混合場(chǎng)信道進(jìn)行建模。同時(shí)，為了更好地描述混合場(chǎng)信道，與基于散射體最后一跳模型相比，本文信道模型考慮了發(fā)送端到散射體，散射體到接收端兩方路徑分量。針對(duì)上述信道模型，基于OMP算法，提出了一種混合場(chǎng)信道估計(jì)算法。同時(shí)推導(dǎo)了CLRB對(duì)本文算法進(jìn)行評(píng)估。最后通過仿真，驗(yàn)證了本文算法在使用較小的導(dǎo)頻開銷情況下，信道估計(jì)性能相比于只考慮遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的信道估計(jì)算法在信道估計(jì)性能上提升了約0.6 dB，比文獻(xiàn)[9]中的混合場(chǎng)算法提升了0.4 dB。在未來(lái)的XL-MIMO信道估計(jì)研究中，相比于均勻線性陣列，基于均勻平面陣列（UPA）的信道模型將會(huì)成為熱門研究方向之一。

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