“了解代數推理”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》新增的內容. 近兩年，全國中考代數推理試題逐漸增多且考法靈活. 為幫助同學們了解此類題的中考命題趨勢，下面分類介紹其解題思路.

一、合情推理

1. 歸納推理

例1 在綜合實踐活動中，數學興趣小組對1～n這n個自然數中，任取兩數之和大于n的取法種數k進行了探究. 發(fā)現：當n = 2時，只有{1，2}一種取法，即k = 1；當n = 3時，有{1，3}和{2，3}兩種取法，即k = 2；當n = 4時，可得k = 4…… 若n = 6，則k的值為 ；若n = 24，則k的值為 .

解析：本題考查數字變化規(guī)律，解題的關鍵是讀懂題意，運用歸納推理，找到符合題意的兩個數的規(guī)律. 當n = 6時，從1，2，3，4，5，6中，取兩個數的和大于6，這兩個數分別是{6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4，3}，

∴k = 5 + 3 + 1 = 9；

當n = 24時，從1，2，3，…，22，23，24中，取兩個數的和大于24，這兩個數分別是：

{24，1}，{24，2}，…，{24，23}，

{23，2}，{23，3}，…，{23，22}，

{22，3}，{22，4}，…，{22，21}，

…………

{14，11}，{14，12}，{14，13}，

{13，12}，

∴k = 23 + 21 + 19 + … + 3 + 1 = 144.

故填9，144.

2. 類比推理

例2 閱讀以下材料，并解決問題：

欲求1 + 3 + 32 + 33 + 34 + … + 330的值，可以按照如下步驟進行：

令S = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + … + 330①，

等式兩邊同時乘3，得3S = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 330 + 331②，

由①得3 + 32 + 33 + 34 + … + 330 = S - 1，代入②中，得3S = S - 1 + 331，

解得[S=12]（[331-1]），

所以[1+3+32+33+34+…+330=12]（[331-1]）.

（Ⅰ）請解答下列問題：

計算：（1）1 + 5 + 52 + 53 + 54 + … + 520；（2）[12+122+123+124+…+122023].

（Ⅱ）拓展運用：用上面學到的方法，將無限循環(huán)小數0.212 121 212 1…寫成分數形式（寫出解答過程）.

解析：本題考查類比推理能力，需仿照例子中的做法完成計算. 解題的關鍵是明確題意，發(fā)現題目中數字的變化特點.

（Ⅰ）（1）令S = 1 + 5 + 52 + 53 + 54 + … + 520①，

等式兩邊同時乘5，得5S = 5 + 52 + 53 + 54 + … + 521②，

由①得，5 + 52 + 53 + 54 + … + 520 = S - 1，代入②，得5S = S - 1 + 521.

解得[S=521-14]，∴[1+5+52+53+54+…+520=521-14].

（2）令[S=12+122+123+124+…+122023]①，

等式兩邊同時乘2，得[2S=1+12+122+123+…+122022]②，

由①得[12+122+123+…+122022=S-122023]，代入②，得[2S=1+S-122023]，

解得[S=1-122023]，所以[12+122+123+124+…+122023=1-122023].

（Ⅱ）拓展運用：

設0. 212 121 212 121… = x，

則0. 212 121 212 121… × 100 = 100x，即21.212 121 21… = 100x，

21 + 0. 212 121 21… = 100x，即21 + x = 100x，

解得[x=733]，即0. 212 121 212 121… = [733].

二、演繹推理

例3 我們規(guī)定：若一個正整數A能寫成m2 - n，其中m與n都是兩位數，且m與n的十位數字相同，個位數字之和為8，則稱A為“方減數”，并把A分解成m2 - n的過程稱為“方減分解”. 例如：因為602 = 252 - 23，25與23的十位數字相同，個位數字5與3的和為8，所以602是“方減數”，602分解成602 = 252 - 23的過程就是“方減分解”. 按照這個規(guī)定，最小的“方減數”是 . 把一個“方減數”A進行“方減分解”，即A = m2 - n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數B，若B除以19余數為1，且2m + n = k2（k為整數），則滿足條件的正整數A為 .

解析：本題考查因式分解的應用，涉及新定義，解題的關鍵是讀懂題意，用含字母的式子表示相關的數.

①設m = 10a + b，則n = 10a + 8 - b（1 ≤ a ≤ 9，0 ≤ b ≤ 8），

由題意得m2 - n = （10a + b）2 - （10a + 8 - b）.

∵1 ≤ a ≤ 9，

∴要使“方減數”最小，需a = 1，

∴m = 10 + b，n = 18 - b，

∴m2 - n = （10 + b）2 - （18 - b） = 100 + 20b + b2 - 18 + b = 82 + b2 + 21b，

當b = 0時，m2 - n最小為82.

②設m = 10a + b，則n = 10a + 8 - b（1 ≤ a ≤ 9，0 ≤ b ≤ 8），

∴B = 1000a + 100b + 10a + 8 - b = 1010a + 99b + 8.

∵B除以19余數為1，

∴1010a + 99b + 7能被19整除，

∴[B-119=53a+5b+3a+4b+719]為整數.

又∵ 2m + n = k2（k為整數），

∴2（10a + b） + 10a + 8 - b = 30a + b + 8是完全平方數.

設3a + 4b + 7 = 19t，t為正整數，∵1 ≤ [a] ≤ 9，0 ≤ [b] ≤ 8，∴10 ≤ 19t ≤ 66，∴1 ≤ t ≤ 3.

（a）當t = 1時，3a + 4b = 12，

則b = 3 - [34]a，30a + b + 8 = 30a + 3 - [34]a + 8是完全平方數.

又∵1 ≤ a ≤ 9，0 ≤ b ≤ 8，此時無整數解.

（b）當t = 2時，3a + 4b = 31，

則b = [31-3a4]，30a + b + 8 = 30a + [31-3a4] + 8是完全平方數.

又∵1 ≤ a ≤ 9，0 ≤ b ≤ 8，此時無整數解.

（c）當t = 3時，3a + 4b = 50，則b = [50-3a4]，[30a+b+8=30a+50-3a4+8]是完全平方數.

當a = 6，b = 8時，3a + 4b + 7 = 57 = 19 × 3，30[a] + [b] + 8 = 30 × 6 + 8 + 8 = 196 = 142，

∴t = 3，k = 14.

此時m = 10a + 8 = 68，n = 10a + 8 - b = 60，

∴A = 682 - 60 = 4564.

故填82，4564.

代數推理對理性思考和推理能力的培養(yǎng)有著不可替代的作用. 同學們在日常學習中要牢牢扣住計算中的算理算法和算法優(yōu)化，重視推理論證中的思維過程和證明方法，同時多結合數學文化，加強與其他學科和生活的聯系.

拓展訓練

1. （2024·四川·德陽）將一組數[2]，2，[6]，2[2]，[10]，2[3]，…，[2n]，…按以下方式進行排列，則第八行左起第一個數是（ ）.

第一行 [2]

第二行 2 [6]

第三行 2[2] [10] 2[13]

…………

A. 7[2] B. 8[2] C. [58] D. 4[7]

2. （2024·四川·宜賓）如果一個數等于它的全部真因數（含1，不含它本身）的和，那么這個數稱為完美數. 例如：6的真因數是1，2，3，且6 = 1 + 2 + 3，則稱6為完美數. 下列數中為完美數的是（ ）.

A. 8 B. 18 C. 28 D. 32

3. （2024·福建）已知實數a，b，c，m，n滿足3m + n = [ba]，mn = [ca]．

（1）求證：b2 - 12ac為非負數；

（2）若a，b，c均為奇數，m，n是否可以都為整數？說明你的理由．

答案：1. C

2. C

3. （1）提示：b = a（3m + n），c = amn，則b2 - 12ac = a2（3m - nm）2.

（2）m，n不可能都為整數．

理由如下：若m，n都為整數，其可能情況有：

①m，n都為奇數；②m，n其中至少有一個為偶數.

①當m，n都為奇數時，則3m + n必為偶數.

∵3m + n = [ba]，∴b = a（3m + n）.

∵a（3m + n）必為偶數，∴這與b為奇數矛盾.

②當m，n其中至少有一個為偶數時，則mn必為偶數.

又∵mn = [ca]，∴c = amn.

∵amn必為偶數，∴這與c為奇數矛盾.

綜上所述，m，n不可能都為整數．

（作者單位：沈陽市南昌初級中學）