光是人類獲取和傳遞信息的重要載體。近幾十年來，在先進(jìn)微納加工技術(shù)的推動(dòng)下，光學(xué)研究前沿經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，從宏觀到微觀的高速變革。然而，相較發(fā)展成熟的集成電路體系，盡管片上光子器件已經(jīng)有了長足的發(fā)展，但大規(guī)模、芯片化集成還面臨諸多困境。最為突出的是，光信息的傳遞往往需要通過波導(dǎo)表面的倐逝波耦合來實(shí)現(xiàn)，因此對結(jié)構(gòu)極其敏感?，F(xiàn)有的片上波導(dǎo)工藝仍然不可避免存在幾十納米量級(jí)的加工誤差，這將嚴(yán)重影響光子集成器件的性能。為解決這一問題，研究人員做了諸多嘗試與努力。其中，拓?fù)涔庾訉W(xué)作為一項(xiàng)有趣而富有潛力的課題，逐漸走進(jìn)人們的視野[1]。

拓?fù)涔庾訉W(xué)的概念與發(fā)展

拓?fù)涫且粋€(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語，研究幾何對象在連續(xù)形狀變換下的守恒性質(zhì)。例如水杯和甜甜圈，看似具有兩種完全不同的幾何形狀，但如果對它們進(jìn)行連續(xù)操作（彎曲、拉伸等），水杯的形狀可以變成甜甜圈的形狀，同樣，甜甜圈的形狀也可以變成水杯的形狀。從拓?fù)鋵W(xué)的角度看二者完全等價(jià)——均具有一個(gè)孔洞。該孔洞數(shù)可由物體表面上高斯曲率的表面積分得到，雖然水杯和甜甜圈的高斯曲率完全不同，但由表面積分得到的孔洞數(shù)始終是恒定的，如果不對它們執(zhí)行拆分或連接這類操作，孔洞數(shù)就不會(huì)發(fā)生突變。這里的孔洞數(shù)就是一種拓?fù)洳蛔兞?，叫作歐拉示性數(shù)。

GhMqBrnG+u7OKehsFbDXs/jjKYByClzEo35w29t1XKs=

此后研究人員發(fā)現(xiàn)，在凝聚態(tài)物理中物體動(dòng)量空間的能帶也具有類似的物理特性，存在一類拓?fù)浣^緣體，它在整體上絕緣，但表面存在導(dǎo)通的表面態(tài)。這種表面態(tài)的物理性質(zhì)非常穩(wěn)定，環(huán)境條件發(fā)生一定程度的改變都不會(huì)對其有影響——就像揉捏橡皮泥不會(huì)改變其孔洞數(shù)一樣。在描述波的性質(zhì)中，最重要的參量便是波矢（反映波的傳播動(dòng)量）。波矢在動(dòng)量空間的變化和演化同樣可以產(chǎn)生各種形狀，這些形狀通過傅里葉變換能反映出波在實(shí)空間中的運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)上的高斯曲率在動(dòng)量空間中對應(yīng)貝里曲率，孔洞數(shù)對應(yīng)陳數(shù)等拓?fù)洳蛔兞俊Ｕ缤負(fù)鋵W(xué)中幾何表面的連續(xù)變換（即不額外打開或閉合孔洞）不會(huì)影響歐拉示性數(shù)的取值一樣，拓?fù)浣^緣體中的擾動(dòng)同樣不會(huì)改變動(dòng)量空間中的拓?fù)洳蛔兞?。因此，拓?fù)浣^緣體所支持的表面態(tài)受到了拓?fù)浔Ｗo(hù)——不會(huì)因?yàn)槲_而被破壞。

研究人員在光子晶體結(jié)構(gòu)中實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一現(xiàn)象，通過施加均勻的磁場在光子能帶的帶隙中得到拓?fù)溥吔鐟B(tài)。這種拓?fù)溥吔鐟B(tài)的傳播不會(huì)被散射體破壞，從而驗(yàn)證了其基于拓?fù)浔Ｗo(hù)產(chǎn)生的對結(jié)構(gòu)擾動(dòng)的魯棒性[2]。

近十幾年來，光子拓?fù)浣^緣體在諸如光波導(dǎo)、微環(huán)陣列等更加精細(xì)的結(jié)構(gòu)中被構(gòu)造出來。拓?fù)涔庾訉W(xué)的理論和實(shí)驗(yàn)研究也得以迅速發(fā)展。研究人員在絕緣體上硅波導(dǎo)陣列中構(gòu)造出了支持拓?fù)浞瞧接菇缑鎽B(tài)的結(jié)構(gòu)，標(biāo)志著硅基光子學(xué)與拓?fù)湎到y(tǒng)的結(jié)合[3]。由于對缺陷和擾動(dòng)具有較好的魯棒性，光子拓?fù)鋺B(tài)也逐漸應(yīng)用于構(gòu)造多種光器件，諸如具有拓?fù)浔Ｗo(hù)的定向光耦合/分束器和激光陣列等[4，5]。與傳統(tǒng)光器件相比，基于光子拓?fù)鋺B(tài)的拓?fù)涔馄骷哂懈玫姆€(wěn)定性，展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力。

光子拓?fù)鋺B(tài)激發(fā)的難點(diǎn)

光子拓?fù)鋺B(tài)展現(xiàn)出卓越的光場調(diào)控能力。拓?fù)鋺B(tài)通常局域在拓?fù)湎啵ň哂型瑯油負(fù)洳蛔兞康墓庾討B(tài)集合）不等價(jià)的界面，具有獨(dú)特的性質(zhì)，特別是抵抗結(jié)構(gòu)缺陷與無序的魯棒性。這一性質(zhì)對于光子集成和量子計(jì)算尤為重要。這是因?yàn)?，光學(xué)芯片中往往需要大規(guī)模、高精度的波導(dǎo)和集成元件，稍有擾動(dòng)就會(huì)使光場的振幅和相位出現(xiàn)較大波動(dòng)，錯(cuò)誤疊加累積，最終使系統(tǒng)偏離預(yù)期功能。

利用光波導(dǎo)的拓?fù)鋺B(tài)有望緩解這一問題。但是光波導(dǎo)陣列中的拓?fù)鋺B(tài)通常具有復(fù)雜的場分布，很難被實(shí)際激發(fā)并加以利用。比如，僅僅采取常規(guī)的單波導(dǎo)輸入，將不可避免地激發(fā)一些多余的模式。而這些模式是不受拓?fù)浔Ｗo(hù)的，會(huì)降低光傳遞信息的質(zhì)量。為了更好地發(fā)掘拓?fù)鋺B(tài)的潛能，對拓?fù)鋺B(tài)的完美激發(fā)（即精準(zhǔn)激發(fā)）十分重要，在先前的工作中，研究人員嘗試使用分叉波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，利用光程差實(shí)現(xiàn)相位匹配，通過分光和彎曲損耗實(shí)現(xiàn)振幅匹配，盡可能更加準(zhǔn)確地激發(fā)拓?fù)鋺B(tài)[6]。然而這種設(shè)計(jì)思路僅在設(shè)計(jì)波長下起到較好的效果，當(dāng)波長偏離設(shè)計(jì)波長時(shí)，激發(fā)效果明顯下降，并且該方案對于結(jié)構(gòu)誤差極為敏感。

因此，尋找一種能夠簡單、普遍地激發(fā)光子拓?fù)鋺B(tài)，且激發(fā)過程具備寬帶性和魯棒性的方法，對于拓?fù)涔庾訉W(xué)的發(fā)展與應(yīng)用十分有必要。

超對稱變換準(zhǔn)確激發(fā)拓?fù)鋺B(tài)

在諸多探索中， 超對稱（supersymmetry， SUSY）的概念給予研究人員啟發(fā)。SUSY變換最早誕生于量子場論中，用于在玻色子和費(fèi)米子之間建立聯(lián)系。應(yīng)用SUSY變換，可以靈活地調(diào)控光學(xué)勢（模式的等效折射率），利用光學(xué)勢的保護(hù)來調(diào)節(jié)模式的場分布，但其傳播常數(shù)（即模式的波矢大小）依然保持不變。這為諸多難以實(shí)現(xiàn)的光子集成功能提供了新的可能性，例如片上模式轉(zhuǎn)換、單模激光陣列等。2024年，研究人員將SUSY、絕熱演化的概念與拓?fù)鋺B(tài)結(jié)合，在一維波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生了精確的拓?fù)淞隳?，展現(xiàn)了SUSY調(diào)控拓?fù)鋺B(tài)的優(yōu)秀能力。

在這一工作中，以一維SSH（Su-SchriefferHeeger）模型為例展示SUSY的設(shè)計(jì)原理。SSH模型是一維體系中常見的一種拓?fù)淠Ｐ停?位科學(xué)家的名字命名，他們在聚乙炔鏈中發(fā)現(xiàn)一種孤子態(tài)電子波，具有拓?fù)浔Ｗo(hù)的特性，這一概念后來被推廣到光學(xué)領(lǐng)域。在波導(dǎo)系統(tǒng)中，SSH模型描述一種耦合系數(shù)交替強(qiáng)弱調(diào)制的波導(dǎo)陣列，如果交替耦合出現(xiàn)缺陷（如相鄰為“強(qiáng)-強(qiáng)”或“弱-弱”耦合），在弱耦合的邊界上會(huì)出現(xiàn)拓?fù)淞隳＃▊鞑コ?shù)保持與原單根波導(dǎo)一致，不會(huì)被耦合影響）。研究人員以一維的硅波導(dǎo)陣列為體系，基于耦合模理論，調(diào)控波導(dǎo)間距實(shí)現(xiàn)耦合系數(shù)的調(diào)制。對SSH模型的哈密頓量矩陣進(jìn)行SUSY變換，可以得到對應(yīng)的SUSY伙伴結(jié)構(gòu)。SUSY伙伴結(jié)構(gòu)具有與原結(jié)構(gòu)完全一致的本征能譜（即傳播常數(shù)），類似孿生兄弟具有相似的基因，但卻表示出不同的個(gè)性（所支持的模式分布不同）。在得到的SUSY伙伴中，零模被單獨(dú)隔離開，從而集中在單根波導(dǎo)中?？梢钥醋鱏USY變換將光子拓?fù)鋺B(tài)“選擇”出來，“投影”到單獨(dú)隔離的格子里。將SUSY伙伴作為輸入端，目標(biāo)的SSH晶格作為輸出端，并將二者絕熱連接，從而可以使單波導(dǎo)模式絕熱地演化為目標(biāo)拓?fù)淞隳！?/p>

通過這樣的SUSY設(shè)計(jì)，可以用“簡單”的單波導(dǎo)輸入，得到“復(fù)雜”的拓?fù)涔庾討B(tài)輸出，并且由于在傳播過程中，所需模式一直固定在零能級(jí)上，因此也不會(huì)因?yàn)椴ㄩL的變化或結(jié)構(gòu)的微擾而導(dǎo)致光信號(hào)串?dāng)_到其他不需要的模式上，使得光波導(dǎo)陣列具有良好的魯棒性。此外，由于波長的變化不會(huì)破壞系統(tǒng)的絕熱條件，也可以視為一種對結(jié)構(gòu)的微擾，并不會(huì)對光傳輸過程造成顯著破壞。因此，SUSY波導(dǎo)也具有良好的寬帶性。

與此同時(shí)，研究人員在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證單波導(dǎo)輸入的情況，發(fā)現(xiàn)由于不可避免地激發(fā)出其他模式，光場在傳播中會(huì)發(fā)生空間干涉的現(xiàn)象，并且在一些波長下失去拓?fù)鋺B(tài)的局域性質(zhì)，預(yù)示其不再受到拓?fù)浔Ｗo(hù)。

此外，如果要求一個(gè)系統(tǒng)滿足絕熱條件，即光模式之間不會(huì)串?dāng)_，那么它在傳播距離上的變化應(yīng)當(dāng)極為緩慢，這勢必會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)尺寸較大。上述設(shè)計(jì)思路中，在傳播方向上，SUSY波導(dǎo)的相鄰波導(dǎo)間的耦合系數(shù)線性變化，使得各處的變化速率一致，從而能夠滿足絕熱條件。但對于光子拓?fù)鋺B(tài)完美激發(fā)這一目標(biāo)而言，絕熱要求顯然只是充分條件。如何找到更加緊湊的結(jié)構(gòu)，使得SUSY光波導(dǎo)在打破絕熱條件的同時(shí)，依然能準(zhǔn)確得到目標(biāo)的拓?fù)鋺B(tài)？由于耦合模方程的含時(shí)演化是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，似乎很難找到某種合適的絕熱捷徑理論來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。

受逆向設(shè)計(jì)的思想啟發(fā)，研究人員發(fā)展出一套目標(biāo)導(dǎo)向的設(shè)計(jì)方法——以最終模式的吻合度為評(píng)價(jià)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)受約束的最優(yōu)化問題。在波導(dǎo)總長給定的情況下，連接方式單獨(dú)決定了輸入將轉(zhuǎn)化為何種輸出。利用Matlab軟件的最優(yōu)化函數(shù)得到波導(dǎo)參數(shù)，使逆向設(shè)計(jì)后得到的波導(dǎo)陣列可以在長度減半的情況下依舊準(zhǔn)確激發(fā)出拓?fù)鋺B(tài)。對其過程分析發(fā)現(xiàn)，光場在傳播過程中被允許暫時(shí)偏離拓?fù)淞隳?，但最終仍然回歸。這一設(shè)計(jì)使得連接方式更加特殊，盡管體系的寬帶性能有所下降，但卻極大減少了波導(dǎo)器件的占用面積，這對于大規(guī)模光子集成來說也相當(dāng)重要。

SUSY方法在復(fù)雜拓?fù)潴w系中的可能應(yīng)用

SUSY方法不僅能應(yīng)用在光波導(dǎo)體系中，對于勢能能夠含時(shí)調(diào)控的聲學(xué)波導(dǎo)、冷原子、微波系統(tǒng)等領(lǐng)域也可以適用。當(dāng)然，有了這一強(qiáng)有力的拓?fù)鋺B(tài)激發(fā)手段，不由得讓人暢想，對于更加復(fù)雜的拓?fù)涔庾酉到y(tǒng)，其中的拓?fù)鋺B(tài)能否得到更好的研究？例如，對于高維的拓?fù)浣^緣體，由于晶格變得更加復(fù)雜，拓?fù)鋺B(tài)的模式也隨之更加復(fù)雜，亦可能出現(xiàn)能級(jí)簡并的情況，這使得傳統(tǒng)的激發(fā)方式可能不再有效[8]。把SUSY方法拓展到更高維度，將有助于對高維拓?fù)湫?yīng)的進(jìn)一步觀察和研究。

例如，近期研究人員通過亞波長光柵波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)了Ⅱ型外爾異質(zhì)結(jié)，構(gòu)造出新穎的拓?fù)浣缑鎽B(tài)[9]。通過SUSY方法，有望與外爾界面處的光場實(shí)現(xiàn)更好的模式匹配，使得其中的拓?fù)浣缑鎽B(tài)以及界面處光的透反射調(diào)控等現(xiàn)象變得更加顯著。此外，研究人員以非厄米自由度作為新的人工合成維度，在片上彎曲波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中成功構(gòu)建了新的外爾界面態(tài)，發(fā)現(xiàn)了合成維度中的外爾環(huán)，大大拓寬了拓?fù)鋺B(tài)的存在空間和調(diào)控的靈活性[10]。SUSY方法則為研究不同外爾結(jié)構(gòu)之間的界面模式提供了更多可能性。

除了這些新奇有趣的拓?fù)涔庾咏Y(jié)構(gòu)，SUSY方法亦有可能與非線性效應(yīng)、非阿貝爾物理等概念結(jié)合。由于克爾效應(yīng)等非線性效應(yīng)，在強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu)中，光強(qiáng)的增加將使得局部折射率發(fā)生變化，這使得輸入的初態(tài)能夠影響后續(xù)光場演化，甚至改變整個(gè)器件的性質(zhì)；而在非阿貝爾系統(tǒng)中，物理場作用的效果將不再可交換，輸出的結(jié)果將與中途的結(jié)構(gòu)順序直接相關(guān)。利用SUSY方法，可以自由地制備初態(tài)和中間態(tài)，從而可能在這些體系中探索發(fā)現(xiàn)新的拓?fù)湫?yīng)，開發(fā)新的應(yīng)用。

總結(jié)與展望

SUSY方法為拓?fù)涔庾訉W(xué)提供了無限的可能，借助這一思想，研究人員可以更加自由地設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)以調(diào)控光子拓?fù)鋺B(tài)，從而發(fā)現(xiàn)新的物理效應(yīng)，有助于拓?fù)湫?yīng)的觀測，以及提升拓?fù)涔庾悠骷男剩诖笠?guī)模光子集成和光量子計(jì)算中具有應(yīng)用潛力。

[1]Lu L， Joannopoulos J D， Solja？i？ M. Topological photonics. Nature Photonics， 2014， 8（11）： 821-829.

[2]Wang Z， Chong Y D， Joannopoulos J D， et al. Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states. Nature， 2009， 461： 772-775.

[3]Blanco-Redondo A， Andonegui I， Collins M J， et al. Topological optical waveguiding in silicon and the transition between topological and trivial defect states. Physical Review Letters， 2016， 117（16） ：129901.

[4]Song W G， Sun W Z， Chen C， et al. Robust and broadband optical coupling by topological waveguide arrays. Laser & Photonics Reviews， 2020， 14（2）：1900193.

[5]Zhao H， Miao P， Teimourpour M H， et al. Topological hybrid silicon microlasers. Nature Communications， 2018， 9（1）： 981.

[6]Song W G， Sun W Z， Chen C， et al. Breakup and recovery of topological zero modes in finite non-Hermitian optical lattices. Physical Review Letters， 2019， 123（16）： 165701.

[7]Liu X Y， Lin Z Y， Song W G， et al. Perfect excitation of topological states by supersymmetric waveguides. Physical Review Letters， 2024， 132（1）： 016601.

[8]Cerjan A， Jürgensen M， Benalcazar W A， et al. Observation of a higher-order topological bound state in the continuum. Physical Review Letters， 2020， 125： 213901.

[9]Song W G， Lin Z Y， Ji J T， et al. Bound-extended mode transition in type-Ⅱ synthetic photonic Weyl heterostructures. Physical Review Letters， 2024， 132： 143801.

[10]Song W G， Wu S J， Chen C， et al. Observation of Weyl interface states in non-Hermitian synthetic photonic systems. Physical Review Letters， 2023， 130： 043803.

關(guān)鍵詞：拓?fù)涔鈱W(xué)模式 波導(dǎo)陣列 SUSY變換 完美激發(fā) ■